10.2.1 复数的加法与减法 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

1．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(　　) A．3　　　　 B．4 C．－11i D．－i 解析：选C.原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.故选C. 2．i为虚数单位，若1＋z＝2＋3i，则复数z的虚部为(　　) A．1 B．3 C．i D．3i 解析：选B.因为1＋z＝2＋3i，所以z＝2－1＋3i＝1＋3i，故复数z的虚部为3.故选B. 3．已知复数z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数．若z1－z2＝0，则m的值为(　　) A．4 B．－1 C．6 D．0 解析：选B.z1－z2＝(m2－3m－4)＋[m2－(5m＋6)]i＝0，则解得m＝－1.故选B. 4．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若z1＝1，z3＝－2＋i，则z2＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选C.由题意及复数加法的几何意义可得z2＝z1＋z3＝1－2＋i＝－1＋i.故选C. 5．在平行四边形ABCD中，若点A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　) A． B．5 C．2 D．10 解析：选B.依题意得对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝＝5.故选B. 6．(多选)(2024·北京市西城区期末)若z－＝－14i，||＝5，则z可能为(　　) A．1－7i B．1＋7i C．－1－7i D．－1＋7i 解析：选AC.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由题意可得 解得或 所以z＝1－7i或z＝－1－7i.故选AC. 7．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝__________． 解析：原式＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i. 答案：－10i 8．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数为________________________________________________________________________． 解析：依题意有＝＝－， 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i， 故对应的复数为4－2i. 答案：4－2i 9．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数：z＝__________． 解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i.由|z－2i|＝|z|知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i. 答案：1＋i(答案不唯一) 10．已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O是原点，点A，B分别对应复数3＋i，2＋4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M对应的复数，及点C，M间的距离|CM|. 解：因为，分别对应复数3＋i，2＋4i， 所以＝＋对应的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i，即点C对应的复数为5＋5i. 又＝，所以对应的复数为＋i， 即点M对应的复数为＋i. 所以|CM|＝＝. 11．(2024·东营月考)设z为复数，若|z＋2i|＝1，则|z|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.设z＝a＋bi，a，b∈R， 由|z＋2i|＝1，得 ＝1， 所以a2＝1－(b＋2)2＝－b2－4b－3， 由a2＝1－(b＋2)2≥0，解得－3≤b≤－1， 则|z|＝＝＝， 所以当b＝－1时，|z|min＝1. 12．(多选)已知复数z1＝－1＋2i，z2满足|z2－i|＝1，且在复平面内z1所对应的点为A，z2所对应的点为B，则下列结论正确的是(　　) A．z1的虚部为2i B．点A在第二象限 C．点B的轨迹是圆 D．点A与点B距离的最大值为 解析：选BC.z1＝－1＋2i的虚部为2，故A错误；点A的坐标为(－1，2)，所以点A在第二象限，故B正确；由|z2－i|＝1，可知点B的轨迹是以M(0，1)为圆心，1为半径的圆，故C正确；|AB|max＝|AM|＋1＝＋1＝＋1，故D错误．故选BC. 13．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为________． 解析：由题意可得z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，因为z1＋z2是纯虚数， 则 解得a＝－2. 答案：－2 14．已知复数z满足|z＋＋i|≤1，求： (1)|z|的最大值和最小值； (2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值． 解：(1)设在复平面内复数z对应的点为Z，则满足|z＋＋i|≤1的点Z的集合是圆心为M(－，－1)，半径为1的圆内区域(包括边界)，|z|表示点Z到原点O的距离． 如图所示，对应的复数的模为|z|的最大值，对应的复数的模为|z|的最小值． 因为||＝＝2， 所以|z|max＝2＋1＝3， |z|min＝2－1＝1. 即|z|的最大值为3，最小值为1. (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|2＝a2＋b2， |z－1|2＋|z＋1|2＝|a－1＋bi|2＋|a＋1＋bi|2＝(a－1)2＋b2＋(a＋1)2＋b2＝2(a2＋b2)＋2＝2|z|2＋2. 由(1)知1≤|z|≤3， 所以|z－1|2＋|z＋1|2的最大值为2×32＋2＝20，最小值为2×12＋2＝4. 15．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中所求的点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点．根据以上材料，若z∈C，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为(　　) A．2－2 B．2＋2 C．－1 D．＋1 解析：选B.设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|表示点(x，y)到△ABC三个顶点A(2，0)，B(－2，0)，C(0，－2)的距离之和．依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时|PA|＋|PB|＋|PC|＝×2＋(2－2tan 30°)＝2＋2.故选B. 16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t，使＝－3ati成立． (1)求证：2a＋b为定值； (2)若|z－2|≤a，求实数a的取值范围． 解：(1)证明：因为＝－3ati＝＋(－3at)i， 则a－bi＝＋(－3at)i， 由复数相等得 消去t得2a＋b＝6，故2a＋b为定值． (2)因为z－2＝a－2＋bi，且|z－2|≤a， 所以 又因为2a＋b＝6，即b＝6－2a， 则(a－2)2＋(6－2a)2≤a2， 整理得a2－7a＋10≤0， 所以原不等式组即为 解得2≤a≤5， 故实数a的取值范围为[2，5]. 学科网（北京）股份有限公司 $