10.1.2 复数的几何意义 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

1．在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于　(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为(－3，4)，位于第二象限． 2．已知i为虚数单位，若复数z＝1－i，则|z|＝(　　) A． B．2 C．4 D．8 解析：选B.|z|＝＝2.故选B. 3．在复平面内，点M对应的复数为－2＋2i(i为虚数单位)，且向量＝(－1，3)，则点N对应的复数为(　　) A．－3＋5i B．－3－5i C．－1－5i D．－1＋5i 解析：选A.设N(x，y)，由题意知M(－2，2)，则由＝(－1，3)，可得(x＋2，y－2)＝(－1，3)，则x＝－3，y＝5，即N(－3，5)，则点N对应的复数为－3＋5i.故选A. 4．已知复数z＝1＋i的共轭复数是，z，在复平面内对应的点分别是A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积是(　　) A． B．1 C．2 D．4 解析：选B.复数z＝1＋i，则＝1－i，又z，在复平面内对应的点分别是A，B，所以A(1，1)，B(1，－1)，又O(0，0)，则OA＝，OB＝，AB＝2，可得△OAB是直角边长为的等腰直角三角形，其面积S＝××＝1.故选B. 5．(多选)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝.点Z与Z1关于实轴对称，则点Z对应的复数z＝(　　) A.1－i B．1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选CD.由于复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝，所以||＝＝，所以a＝±1，Z1(1，1)或Z1(1，－1)，又点Z与Z1关于实轴对称，所以点Z(1，－1)或Z(1，1)，所以复数z为1－i或1＋i.故选CD. 6．(多选)(2024·营口月考)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　) A．|z|＝ B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为－1＋2i D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x 上 解析：选AC.|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC. 7．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝____________． 解析：因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4，3)，＝(2a，－3)，因为⊥，所以8a＝9，故a＝. 答案： 8．写出一个满足①模为，②在复平面内对应的点位于第二象限的复数：z＝___________________________________. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝.由于z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a＜0，b＞0.令a＝－2，b＝，则z＝－2＋i(答案不唯一). 答案：－2＋i(答案不唯一) 9．设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且|x|＝|y|，则满足|z|＝1的复数z共有________个． 解析：方法一(代数运算)：由|z|＝1，得x2＋y2＝1.又|x|＝|y|，联立，解得z＝±±i，故满足题意的复数z共有4个． 方法二(几何意义)：由|z|＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆．又|x|＝|y|，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点，故满足题意的复数z共有4个． 答案：4 10．已知复数z＝(m2＋2m)＋(m2－m－6)i，m∈R，i是虚数单位． (1)若复数z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，求m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 解：(1)复数z在复平面内对应的点为(m2＋2m，m2－m－6)，所以m2－m－6＝－(m2＋2m)，整理得3m2－12＝0，解得m＝±2. (2)由题意得 解得0＜m＜3，即实数m的取值范围是(0，3). 11．已知复数z在复平面内对应的点与复数3－2i在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数z的共轭复数＝(　　) A．3＋2i B．2－3i C．－3－2i D．－3＋2i 解析：选D.复数3－2i在复平面内对应的点为(3，－2)，其关于虚轴对称的点为(－3，－2)，所以复数z在复平面内对应的点为(－3，－2)，即z＝－3－2i，所以＝－3＋2i. 12．(多选)(2024·北京市西城区期中)已知复数z＝cos α＋(sin α)i(α∈R，i为虚数单位)，则下列说法正确的有(　　) A．当α＝－时，复平面内表示复数z的点位于第二象限 B．当α＝时，z为纯虚数 C．|z|的最大值为 D．z的共轭复数为＝－cos α＋(sin α)i 解析：选BC.对于A，当α＝－时，z＝cos (－)＋i＝－i，复平面内复数z对应的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos ＋(sin )i＝i，为纯虚数，故B正确；对于C，|z|＝＝，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cosα－(sin α)i，故D错误．故选BC. 13．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|＝2，z2＝3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为________． 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 因为|z1|＝2，所以a2＋b2＝4， 因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2＝3i， 所以Z1(a，b)，Z2(0，3)， 所以|Z1Z2|＝＝，故当b＝－2时，|Z1Z2|取得最大值，为＝5. 答案：5 14．在①z＞0，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知复数z＝m2－m－6＋(m2－9)i. (1)若________，求实数m的值； (2)若m为整数，且|z|＝10，求z在复平面内对应点的坐标． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)选择条件①. 因为z＞0，所以 解得m＝－3. 选择条件②. 因为z的实部与虚部互为相反数， 所以m2－m－6＋m2－9＝0， 解得m＝3或m＝－. 选择条件③. 因为z为纯虚数，所以 解得m＝－2. (2)因为|z|＝10， 所以(m2－m－6)2＋(m2－9)2＝100， 即(m－3)2(2m2＋10m＋13)＝100. 因为m为整数， 所以(m－3)2为平方数，2m2＋10m＋13为奇数． 因为100＝(±10)2×1或100＝(±2)2×25， 所以验证可得m－3＝－2，即m＝1. 因为m＝1，所以z＝－6－8i，其在复平面内对应点的坐标为(－6，－8). 15．在复平面内，由z1＝1－2i，z2＝1＋2i，z3＝－i对应的三个点确定圆P，则以下复数所对应的点在圆P上的是(　　) A．z＝＋i B．z＝1－i C．z＝－i D．z＝2－3i 解析：选C.因为|z1|＝|1－2i|＝， |z2|＝|1＋2i|＝， |z3|＝|－i|＝， 即|z1|＝|z2|＝|z3|， 所以z1，z2，z3对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上． 结合选项，只有|z|＝＝，所以C选项复数所对应的点在圆P上． 16．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. (1)求，，对应的复数； (2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积． 解：(1)由题意得A(1，0)，B(2，1)，C(－1，2)， 所以＝(2，1)－(1，0)＝(1，1)， ＝(－1，2)－(2，1)＝(－3，1)， ＝(－1，2)－(1，0)＝(－2，2)， 所以，，对应的复数分别为1＋i，－3＋i，－2＋2i. (2)因为||＝，||＝，||＝2， 所以||2＋||2＝||2， 所以△ABC为直角三角形， 所以S△ABC＝××2＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $