9.2 正弦定理与余弦定理的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦正弦定理与余弦定理的应用，先明确测量术语（基线、仰角俯角、方位角等），再将距离、高度、角度等实际问题转化为解三角形问题，形成“术语理解—问题转化—定理应用”的学习支架。 资料以故宫角楼高度测量等真实情境引入，通过即时练巩固术语，分类例题（距离、高度、角度）及表格梳理方法，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理转化的能力。课中辅助教师清晰教学，课后助力学生练习巩固、查漏补缺。

9．2　正弦定理与余弦定理的应用 |1.理解测量中有关名词、术语的确切含义．　2.能将实际问题转化为解三角形问题．　3.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量． 思考　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？ 提示： 问题转化为求不便到达的两点A，B之间的距离(如图)，可选定可到达位置C，D，用米尺测量CD＝m，用测量角度的工具测得∠ACB＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ，先在△BCD中求出BC，再在△ACD中求出AC，最后在△ABC中求AB即可． 一　实际测量中有关名词、术语 1．基线的概念与选取原则 (1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．测量中相关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示). 【即时练】 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．(　　) (2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．(　　) (3)方位角的范围是(0，π).(　　) (4)“视角”就是“仰角”．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上 解析：选C.如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C. 3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α>β　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B. 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． 二　距离问题 　(1)(对接教材例1)海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．5 n mile D．5 n mile (2)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km. 【解析】　(1)如图，由题意得 A＝60°，B＝75°，AB＝10，则C＝45°， 所以＝，所以BC＝＝5，即B，C间的距离为5 n mile. (2)因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，① AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，② 联立①②，解得AC＝7. 【答案】　(1)D　(2)7 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB　 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB　 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB [跟踪训练1] 一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　) A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km 解析：选B. 如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2 km，BC＝2 km，依题意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得， AC＝＝ ＝2( km)，由正弦定理得，sin ∠ACB＝＝，在△ACD中，cos ∠ACD＝cos (90°＋∠ACB)＝－sin ∠ACB＝－，由余弦定理得， AD＝ ＝＝3( km)，所以A地到D地的直线距离是3 km.故选B. 三　高度问题 　(1)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(　　) A．5 000(＋1) m B．5 000(－1) m C．5 000(3－) m D．5 000(5－) m (2)如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　) A.15 m B．20 m C．25 m D．30 m 【解析】　(1) 如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意知A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°， AB＝900×80×＝20(km). 在△ABC中，由正弦定理， 得BC＝＝10(km). 在△BCD中，CD＝BC sin ∠CBD＝BC·sin 75°＝10×sin 75°＝5＋5(km)，所以山顶的海拔高度为[20－(5＋5)] km＝5 000(3－)m.故选C. (2)设建筑物的高度为h m．由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h.在△PBA和△PBC中，由余弦定理的推论得， cos ∠PBA＝，① cos ∠PBC＝.② 因为∠PBA＋∠PBC＝180°， 所以cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去).即建筑物的高度为30 m. 【答案】　(1)C　(2)D 测量高度问题的基本类型及方案 类型 图形 方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA，AB＝a·tan ∠BCA 底部不可达 点B与C，D共线　　 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．在△ACD中，先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 [跟踪训练2] 在200 m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为(　　) A． m B． m C． m D． m 解析：选C.如图，从塔顶向山体引一条垂线CM，垂足为M. 则AB＝BD·tan 60°，AM＝CM·tan 30°， 因为BD＝CM， 所以CM＝BD＝， 所以AM＝CM·tan 30°＝·tan 30°＝×＝(m)，所以塔高CD＝BM＝AB－AM＝200－＝(m)，故选C. 四　角度问题 　某货船在一海域航行中遭遇突发情况，发出求救信号，如图，某海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 n mile/h的速度向前行驶，该海军护航舰立即以10 n mile/h的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 【解】　设所需时间为t h，在△ABC中，根据余弦定理，有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 120°，可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos 120°， 整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去). 故护航舰靠近货船需1 h. 此时AB＝10，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°. 测量角度问题的解题思路 [跟踪训练3] 某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝(　　) A．－1 B．－1 C． D． 解析：选D.在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，由正弦定理得PD＝·sin 15°＝ m，在△PDC中，CP＝10 m，故sin ∠PCD＝·PD＝，易知cos θ＝sin ∠ACB＝sin ∠PCD，所以cos θ＝. 1．(教材P15T3改编)从地面上观察一处建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为(　　) A．α＋β　　　　　　　 B．α－β C．β－α D．α 解析：选C.如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C. 2．如图，某研究小组为测量某楼房MN的高度，在地面D处测得房顶M的仰角为45°，在距离D处10 m的地面C处测得房顶M的仰角为60°，并测得∠NCD＝120°，则该楼房的高度为(　　) A.10 m B．10 m C．20 m D．30 m 解析：选B.根据题意可知，△MNC，△MND均为直角三角形，∠NDM＝45°，∠MCN＝60°，设NC＝x，则MN＝x，ND＝x， 在△NCD中，由余弦定理的推论得cos 120°＝＝－，解得x＝10或x＝－5(舍去)，所以楼房的高度为10 m. 3．(教材P15T2改编)如图，已知现存某斜塔塔身高CD为10 m，塔身向北偏东12°方向倾斜．为寻找适当观察视角，某游客在地面A处测得斜塔塔尖C的仰角为45°，向斜塔方向前行至B点，测得仰角为60°(若A，B，D三点共线，A，B，C，D四点共面)，则AB间距离约为(sin 78°≈0.98，≈1.73，≈1.41)(　　) A．2.3 m B．4.1 m C．3.3 m D．3.2 m 解析：选B.由题意可得∠CAB＝45°， ∠CBD＝60°，∠CDB＝78°，CD＝10，在△CBD中，根据正弦定理可得，＝，解得CB≈11.3 m．在△ABC中，因为∠ACB＝180°－120°－45°＝15°，所以根据正弦定理可得＝， 又因为sin 15°＝sin (45°－30°)＝， 故AB≈11.3××≈4.1(m). 4．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a n mile的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a n mile，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过t h两船在C点相遇， 则在△ABC中，BC＝at n mile， AC＝at n mile，B＝180°－60°＝120°. 由＝， 得sin ∠CAB＝＝＝＝. 因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°， 所以∠DAC＝60°－30°＝30°， 所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法． 3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角． 学科网（北京）股份有限公司 $