9.1.1 第2课时 正弦定理的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学正弦定理的应用，系统梳理三角形解的个数判断（代数与几何双角度）、形状判断及证明问题，以思考问题引入，通过例题与跟踪训练构建从基础变形到综合应用的学习支架。 资料通过“思考”引导学生用数学眼光观察三角形解的确定性，结合代数推理与几何图形培养数学思维，例题解析与证明题强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后练习与解析帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　正弦定理的应用 |1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题．　2.能根据条件判断三角形的解的个数和形状．　3.能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题． 思考1　已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，三角形的解是否唯一确定？ 提示：三角形被唯一确定，有唯一解． 思考2　已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，三角形的解是否唯一确定？ 提示：三角形不能被唯一确定，可能出现两解的情况． 一　三角形解的个数 现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明． (1)代数角度： 由正弦定理得sin B＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. (2)几何角度： 类别 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a＝b sin A； ②a≥b 一解 b sin A< a<b 两解 a<b sin A 无解 A为钝角 或直角 a>b 一解 a≤b 无解 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，A＝，则满足条件的△ABC(　　) A．无解　　　　　　　 B．有一个解 C．有两个解 D．不能确定 【解析】　因为a＝，b＝2，所以a<b. 又A＝，所以B>A＝. 由＝，得sin B＝＝＝， 所以B＝或B＝，经检验，均满足条件． 若B＝，则C＝；若B＝，则C＝. 因此满足条件的△ABC有两个解． 【答案】　C (1)若已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理解三角形时，则需要判断三角形有几个解，防止漏解或增解． (2)判断三角形解的个数时可以选择代数法，也可以根据条件画出图形，通过图形直观判断三角形解的个数． [跟踪训练1] 在△ABC中，a＝x，b＝，A＝，若该三角形有两个解，则x的取值范围是(　　) A．(，6) B．(2，2) C． D． 解析：选D.因为三角形有两个解， 所以b sin A<x<b，即<x<.故选D. 二　判断三角形的形状 　在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状． 【解】　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)， 得a＝2R sin A，b＝2R sin B， c＝2R sin C，＝2R tan A， ＝2R tan B, ＝2R tan C， 即tan A＝tan B＝tan C，因为A，B，C∈(0，π)，且A＋B＋C＝π，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形． 判断三角形形状的两种途径 [注意]　在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． [跟踪训练2] (2024·东营期中)在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则此三角形为(　　) A．等边三角形 B．等腰且非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.在△ABC中， 由a cos C＋c cos A＝b sin B以及正弦定理可知， sin A cos C＋sin C cos A＝sin2B， 即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B， 因为0<B<π，所以sinB≠0， 所以sin B＝1，B＝，所以△ABC为直角三角形． 三　证明问题 (对接教材例5)在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0. 【证明】　由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，所以a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，左边＝2R(sin A sin B－sin A sin C＋sin B sin C－sin Bsin A＋sin C sin A－sin C sin B)＝0＝右边，所以等式成立． 观察、分析问题，确定解题的基本方向是“边化角”，还是“角化边”，再灵活运用相应的公式或其变形公式．在化简有关三角函数的表达式时，应注意利用三角形的有关性质、三角函数的有关公式解决问题，由繁向简的转化是解决问题的关键． [跟踪训练3] 如图，AD是△ABC外角的平分线，且BC＝CD.证明：＝＝. 证明：由题设知S△ABD＝2S△ACD， sin ∠BAD＝sin (π－∠CAD)＝sin ∠CAD， 所以＝＝＝＝. 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，则△ABC是(　　) A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C.由题及正弦定理可知bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，又因为bc＝a2，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．故选C. 2．下列关于△ABC的说法正确的是(　　) A．若a＝7，b＝14，A＝30°，则B有两解 B．若a＝30，b＝25，A＝150°，则B只有一解 C．若a＝6，b＝9，A＝45°，则B有两解 D．若b＝9，c＝10，B＝60°，则C无解 解析：选B.A项中，由正弦定理，得sin B＝＝＝1，所以B＝90°，即只有一解，A项错误． B项中，由正弦定理， 得sin B＝＝<1， 又A为钝角，故B只有一解，B项正确． C项中，由正弦定理， 得sin B＝＝>1， 所以B不存在，即无解，C项错误． D项中，由正弦定理， 得sin C＝＝<1， 因为b<c，B＝60°，所以sin C>sin 60°，60°<C<120°，所以C有两解，D项错误． 3．(多选)在△ABC中，若a＝2b sin A，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选AC.由正弦定理， 得sin A＝2sin B sin A， 因为0<A<π，0<B<π， 所以sin A≠0， 所以sin B＝， 解得B＝或B＝. 4．(教材P7练习AT3改编)在△ABC中，求证：＝. 证明：因为左边＝＝＝＝＝＝＝＝右边，所以原等式成立． 1．已学习：利用正弦定理求解三角形解的个数以及判断三角形的形状． 2．须贯通：理解并掌握求解三角形解的个数的条件，灵活运用正弦定理证明相关式子． 3．应注意：求解三角形的解的个数时，一定要注意检验． 学科网（北京）股份有限公司 $