9.1.1 第1课时 正弦定理的概念(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学正弦定理的概念，以实际问题（河对岸两点距离测量）引入，通过三角形面积公式推导正弦定理，系统梳理其变形公式及两类应用（已知两角及一边、两边及其中一边的对角解三角形），辅以跟踪训练与练习题，构建完整学习支架。 该资料以情境化问题培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分类讨论（如已知两边及对角的多解情况）发展数学思维中的推理能力，以规范解题步骤强化数学语言表达。课中助力教师引导学生探究，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

9．1　正弦定理与余弦定理 9．1.1　正弦定理 第1课时　正弦定理的概念 |1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形公式．　2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状． 如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小． 思考　你能借助这3个量，求出AB的长吗？ 提示： 如图， 作BD⊥AC，垂足为D，根据三角形内角和定理计算∠BAC，易知BD＝AB·sin ∠BAC＝BC·sin ∠ACB， 所以AB＝. 一　三角形的面积公式 一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝________＝________＝________． [答案自填] ab sin C　ac sin B　bc sin A (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝3，c＝2，则△ABC的面积为(　　) A．1 B．2 C．2 D． (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝，b＝2，且△ABC的面积为，则c＝________． 【解析】　(1)因为cos A＝，所以sin A＝， 所以S△ABC＝bc sin A＝2.故选C. (2)因为S△ABC＝bc sin A， 所以×2c×sin ＝， 解得c＝3. 【答案】　(1)C　(2)3 三角形面积的求法 在应用三角形面积公式时，要注意根据已知条件中的边角选择合适的形式，若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A.　 [跟踪训练1] 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，若△ABC的面积为，则C＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：选C.因为S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，即××1×sin A＝， 所以sin A＝1. 因为0°<A<150°，所以A＝90°，所以C＝60°. 二　正弦定理 1．正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的________的比相等，即＝________＝. 2．正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径) (1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A． (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC． (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. (5)＝2R. 3．解三角形 我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． [答案自填] 正弦　 角度1　已知两角及一边解三角形 _______________________________________________ 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形． 【解】　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2＋2. 已知两角及一边解三角形的一般步骤 [跟踪训练2] (1)在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则b＝(　　) A．5 B．10 C．10 D．5 解析：选A.由正弦定理＝， 得b＝＝＝5. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，cos B＝，a＝10，则b＝____________． 解析：因为cos B＝，B∈(0，π)， 所以sin B＝.又sin A＝，a＝10， 所以由正弦定理＝， 得＝，解得b＝. 答案： 角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形 _______________________________________________ 　(对接教材例2)在△ABC中，已知B＝45°，b＝，a＝，解三角形． 【解】　由正弦定理＝， 知sin A＝＝， 因为b<a，所以A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 所以c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， 所以c＝＝＝. 故当A＝60°时，C＝75°，c＝； 当A＝120°时，C＝15°，c＝. 【变式探究】 (条件变式)若本例中，“B＝45°”改为“A＝60°”，其他条件不变，解三角形． 解：由正弦定理＝， 知sin B＝＝， 因为b<a，所以B＝45°，所以C＝75°， 所以c＝＝＝. 已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角； (3)如果已知的角为小边所对的角，不能判断另一边所对的角为锐角时，这时要根据正弦值分类讨论． [跟踪训练3] (多选)在△ABC中，a＝3，b＝4，sin A＝，则sin C＝(　　) A．1 B． C．－ D． 解析：选AB.由正弦定理＝， 知sin B＝＝＝. 又a＝3，b＝4，所以b>a， 所以B>A，所以A一定为锐角， 所以cos A＝＝＝. 当B为锐角时， cos B＝＝＝， 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝1； 当B为钝角时， cos B＝－＝－＝－， 所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝. 综上，sin C＝1或sin C＝. 1．(教材P7练习AT1改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，A＝，C＝，则b＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 解析：选C.因为A＝，C＝， 所以B＝π－A－C＝， 因为＝， 所以b＝＝＝＝2.故选C. 2．(多选)在△ABC中，a＝4，b＝6，S△ABC＝6，则C＝(　　) A．135° B．45° C．60° D．120° 解析：选AB.△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝×4×6sin C＝6，所以sin C＝，又0°<C<180°，故C＝45°或C＝135°. 3．(多选)在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　) A．a>b sin A B．a sin B＝b sin A C．a<b sin A D．a≥b sin A 解析：选BD.在△ABC中，由正弦定理＝，得a sin B＝b sin A，所以a＝，因为B∈(0，π)，所以sin B∈(0，1]，所以a＝≥b sin A，所以A不一定成立，C不成立，B，D一定成立．故选BD. 4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，求△ABC的面积． 解：在△ABC中，因为cos C＝，所以sin C＝，所以S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝4. 1．已学习：正弦定理及其变形公式、利用正弦定理解三角形． 2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及其变形公式实现边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：已知两边及其中一边的对角解三角形时一般要分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $