6.2.2 第1课时 函数的导数与极值(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“函数的导数与极值”第1课时，涵盖极值概念、导数与极值关系、极值求法及参数问题。以群山截面图为情境导入，关联前期函数单调性知识，通过思考问题搭建从几何直观到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以情境启思培养数学眼光，如用山峰山谷类比极值引导观察；分层例题与即时练发展数学思维，如例1表格分析导数符号变化，即时练纠正“导数为0即极值点”误区；小结强调定义域与导数值异号检查，规范数学语言。助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

6．2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 1.理解函数极值的概念．　2.会从几何方面理解函数极值与导数的关系．　3.掌握函数极值的求法．　4.掌握函数在某一点存在极值的条件． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 　　同学们，前面我们通过对函数的求导，得到了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．这就是我们今天要研究的函数的极值． 新知学习 探究 返回导航 思考1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示：x1，x3，x5处是山峰，x2，x4处是山谷． 思考2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示：以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0. 新知学习 探究 返回导航 一　函数的导数与极值 1．极值点与极值的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)________________，则称__________为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； (2)________________，则称__________为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值． f(x)＜f(x0) x0 f(x)＞f(x0) x0　 新知学习 探究 返回导航 2．函数的导数与极值的关系 (1)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0. (2)设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. ①如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的____________． ②如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的____________． ③如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 极大值点 极小值点 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)导数为0的点一定是极值点．(　　) (2)函数的极大值一定大于极小值．(　　) (3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(　　) (4)单调函数不存在极值. (　　) × × × √ 新知学习 探究 返回导航 2．若函数f(x)存在一个极大值f(x1)与一个极小值f(x2)满足f(x2)>f(x1)，则f(x)的单调区间的个数至少为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 新知学习 探究 返回导航 3．(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则(　　) A．函数f(x)在区间(1，3)上单调递减 B．f(1)<f(2) C．函数f(x)在x＝1处取极大值 D．函数f(x)在区间(－2，5)内有两个极小值点 √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数f(x)在(1，2)上单调递增，在(2，3)上单调递减，故f(1)<f(2)，故A错误，B正确； 由导函数的图象可知f(x)在(－1，2)上单调递增，故1不是函数的极大值点，C错误； 由导函数图象可得在区间(－2，5)内有f′(－1)＝f′(2)＝f′(4)＝0，且在(－2，－1)与(2，4)上导函数小于0，在(－1，2)和(4，5)上导函数大于0，故－1和4为函数的两个极小值点，2为函数的一个极大值点，故在区间(－2，5)内有两个极小值点，D正确．故选BD． 新知学习 探究 返回导航 　　对于有关函数极值概念的理解，关键是弄清导函数的图象，在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近的导数值是如何变化的：若是由正值变为负值，则原函数在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则原函数在该点处取得极小值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 已知函数f(x)＝x4－8x3＋18x2－1，求函数f(x)的极值． 解：f′(x)＝4x3－24x2＋36x＝4x(x2－6x＋9)＝4x(x－3)2， 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x) 的变化情况如下表所示：       所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝－1，无极大值． x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x) 单调递减 －1 单调递增 26 单调递增 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 解析式中含参数的函数极值的求法 　　由于求函数的极值时首先需要确定函数的单调区间，因此解析式中含参数的函数极值的求法是：先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨论的标准(导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小)，然后根据函数的单调区间确定函数的极值． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝aex－x(a∈R).求f(x)的极值． 新知学习 探究 返回导航 当x∈(－ln a，＋∞)时， f′(x)>0，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增， 故f(x)在x＝－ln a时取得极小值， 且f(－ln a)＝1＋ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，f(x)无极值； 当a>0时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值． 新知学习 探究 返回导航 三　利用函数极值确定参数 　　　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值8，则f(1)＝(　　) A．－4 B．16 C．－4或16 D．16或18 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)若函数f(x)＝(x2－a)ex在R上无极值点，则实数a的取值范围是________________． 【解析】　由f(x)＝(x2－a)ex得f′(x)＝(x2＋2x－a)ex， 由于f(x)＝(x2－a)ex在R上无极值点，所以y＝f′(x)在R上无变号零点， 所以y＝x2＋2x－a在R上无变号零点， 所以Δ＝4＋4a≤0，故a≤－1. (－∞，－1] 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(条件变式)本例(2)“无极值点”变为“有极值点”，则实数a的取值范围是__________________． 解析：由于f(x)＝(x2－a)ex在R上有极值点， 所以y＝f′(x)＝(x2＋2x－a)ex在R上有变号零点，所以y＝x2＋2x－a在R上有变号零点， 所以Δ＝4＋4a>0，故a>－1. (－1，＋∞) 新知学习 探究 返回导航 2．(条件变式)本例(2)“在R上无极值点”变为“在区间[1，2]上无极值点”，则实数a的取值范围是________________________． 解析：由f(x)＝(x2－a)ex得f′(x)＝(x2＋2x－a)ex， 由于f(x)＝(x2－a)ex在区间[1，2]上无极值点， 所以f(x)在[1，2]上单调， 当f(x)单调递增时，故f′(x)≥0， 即f′(x)＝(x2＋2x－a)ex≥0⇒a≤x2＋2x恒成立， 故a≤(x2＋2x)min， 而y＝x2＋2x在[1，2]上单调递增，故a≤3； (－∞，3]∪[8，＋∞) 新知学习 探究 返回导航 当f(x)单调递减时，故f′(x)≤0，即f′(x)＝(x2＋2x－a)ex≤0⇒a≥x2＋2x恒成立，故a≥(x2＋2x)max， 而y＝x2＋2x在[1，2]上单调递增，故a≥8. 综上可知，f(x)在区间[1，2]上无极值点， 则实数a的取值范围是a≤3或a≥8. 新知学习 探究 返回导航 已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．特别注意，求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处有极大值，则m的值为(　　) A．1　　 B．2 C．3 D．1或3 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (－1，0) 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 35 √ 1．(教材P100T2改编)函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(　　) A．极大值5，无极小值 B．极小值－27，无极大值 C．极大值5，极小值－27 D．极大值5，极小值－11 解析：y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，x∈(－2，2)， 由y′>0，得－2<x<－1，由y′<0，得－1<x<2， 所以函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，2)上单调递减， 所以y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)在x＝－1时，取得极大值5，无极小值．故选A． 课堂巩固 自测 返回导航 2.(多选)(教材P100练习AT1改编)函数f(x)的定义域为R，它 的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论中不 正确的有(　　)  A．1是f(x)的极小值点 B．f(－2)>f(－1) C．函数f(x)在(－1，1)上有极大值 D．函数f(x)有三个极值点 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 解析：由题图可知，当x<－3时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－3<x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以有f(－2)>f(－1)，因此选项B正确； 当－1<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在(－1，1)上没有极大值，因此选项C不正确； 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，于是x＝1附近导函数f′(x)不变号，因此1不是f(x)的极值点，只有－3和－1为函数的极值点，因此选项A不正确，选项D不正确．故选ACD． 课堂巩固 自测 返回导航 3．(教材 P101练习BT3改编)若函数f(x)＝x3＋ax2＋6x－3在R上存在极值，则正整数a的最小值为________． 5 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：函数的导数与极值，利用函数的导数求极值，利用函数的极值求参数． 2．须贯通：求函数的极值需考虑两个问题：一是函数的定义域，二是检查导数值为0(即f′(x0)＝0)的点x＝x0的附近左右两侧的导数值是否异号，若异号，则x0是极值点，否则不是极值点． 3．应注意：(1)导数值等于零不是此点为极值点的充要条件；(2)极值点不是点，而是一个数． 课堂巩固 自测 返回导航 当x变化时，f′(x) ，f(x) 的变化情况如下表所示： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 ＋1 单调递减 所以当x＝e时，f(x)有极大值，极大值为f(e)＝＋1，无极小值． 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，0) (0，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) 单调递增 －2＋1 单调递减 单调 递减 2＋1 单调递增 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表， x 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 3－4ln 3 单调递增 －1 单调递减 故f(x)的极大值为f(1)＝－1，f(x)的极小值为f()＝3－4ln 3. $