6.1.4 第1课时 导数四则运算法则及应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦导数四则运算法则及应用核心知识点，前承基本初等函数导数公式，通过具体函数（如f(x)=x²与g(x)=x）的导数计算引导学生推导和差积商法则，构建从具体到抽象的学习支架，后接法则在综合运算、切线方程等场景中的应用。 以思考问题链（如从具体函数导数推导和的法则）引导探究，培养数学眼光，注重法则证明过程（如差商计算推导）发展数学思维，例题与分层练习结合，课中辅助教师引导学生理解，课后帮助学生巩固查漏补缺。

6．1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数四则运算法则及应用 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．　2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导公式，我们知道，可以对基本初等函数进行加、减、乘、除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要学习的内容． 思考1　已知f(x)＝x2，g(x)＝x，由基本初等函数的求导公式写出两函数的导数． 提示：f′(x)＝2x，g′(x)＝1. 思考2　已知f(x)＝x2，g(x)＝x，利用定义求函数y＝f(x)＋g(x)的导数． 提示：Δy＝[f(x＋Δx)＋g(x＋Δx)]－[f(x)＋g(x)]＝2Δx·x＋(Δx)2＋Δx；＝＝2x＋Δx＋1，y′＝ ＝2x＋1. 思考3　由思考1与思考2，可猜想到什么结论？ 提示： [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x). 一　函数和与差的求导法则 一般地，如果f(x)，g(x)都可导，则[f(x)±g(x)]′＝________________． 点拨　推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x). [答案自填] f′(x)±g′(x) 【即时练】 求下列函数的导数． (1)y＝ln x＋；(2)f(x)＝ex＋ln x＋sin x；(3)f(x)＝x2－2x－；(4)y＝cos x＋x；(5)y＝x2＋＋. 解：(1)y′＝′＝′＋′＝－＝. (2)f′(x)＝ex＋＋cos x. (3)f′(x)＝2x－2x ln 2＋. (4)y′＝(cos x)′＋(x)′＝－sin x＋1. (5)y′＝′＝2x－＋. 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的求导公式求导即可． 二　函数积与商的求导法则 1．当f(x)，g(x)都可导时，有[f(x)g(x)]′＝____________________________，特别地，[C·f(x)]′＝________． 2．当f(x)，g(x)都可导，且g(x)≠0时，有′＝________________，特别地，当f(x)＝1时，′＝____________． 点拨　在两个函数的积f(x)g(x)的求导法则中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“＋”，而两个函数的商(g(x)≠0)的求导法则中，f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之间为“－”． [答案自填] f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　Cf′(x)　　－ 　求下列函数的导数． (1)y＝x3ex；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝；(4)y＝. 【解】　(1)因为y＝x3ex，则y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2ex(x＋3). (2)方法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′ ＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 方法二：因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－1′＝18x2＋4x－3. (3)y′＝ ＝＝. (4)方法一：y′＝′ ＝＝3x2－. 方法二：因为y＝＝x3＋1＋，所以y′＝(x3)′＋1′＋′＝3x2－. 一般情况下，使用积、商的求导法则运算量较大，可考虑先利用代数恒等变形，化简为代数式的加、减形式，再求导． [跟踪训练1] 求下列函数的导数． (1)y＝x ln x；(2)y＝；(3)y＝(x－1)(x－2)(x－3)；(4)f(x)＝. 解：(1)y′＝(x ln x)′＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1. (2)y′＝′＝ ＝. (3)因为y＝(x－1)(x－2) (x－3)＝x3－6x2＋11x－6，所以y′＝3x2－12x＋11. (4)f′(x)＝′＝＝. 三　导数的运算法则与求导公式的应用 角度1　导数的运算法则与求导公式的综合运算 　(对接教材例1)求下列函数的导数． (1)y＝x2＋x ln x；(2)f(x)＝ex ln x＋sin x；(3)y＝；(4)y＝ex tan x. 【解】　(1)y′＝(x2＋x ln x)′＝(x2)′＋(x ln x)′＝2x＋x′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1. (2)f′(x)＝(ex ln x＋sin x)′＝ex ln x＋＋cos x. (3)y′＝ ＝. (4)因为y＝ex tan x＝， 可得y′＝ ＝ ＝＝ex. 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 角度2　含f′(c)函数的求导问题 　(1)已知函数f(x)满足f(x)＝f′()sin x－cos x，则f′()的值为(　　) A． B． C．－ D．－ (2)曲线f(x)＝3ln x －x2f′(1)在点(3，m)处的切线方程为______________． 【解析】　(1)由已知可得，f′(x)＝f′()cos x＋sin x， 则f′()＝f′()cos ＋sin ＝f′()＋，所以f′()＝.故选A． (2)因为f(x)＝3ln x－x2f′(1)， 所以f′(x)＝－2f′(1)x， 所以f′(1)＝3－2f′(1)，解得f′(1)＝1， 所以f(x)＝3ln x－x2， 将点(3，m)代入f(x)＝3ln x－x2得，m＝3ln 3－9， 所以切点为(3，3ln 3－9). 因为f′(x)＝－2x，所以f′(3)＝1－6＝－5， 所以切线斜率为－5， 所以曲线f(x)＝3ln x－x2f′(1)在点(3，m)处的切线方程为y－(3ln 3－9)＝－5(x－3)， 整理得5x＋y－3ln 3－6＝0. 【答案】　(1)A　(2) 5x＋y－3ln 3－6＝0 含f′(c)函数的求导问题的解题策略 含f′(c)函数在求导时，一定要抓住f′(c)为常数这一特点，也就是说，不管应用和、差、积、商哪一个法则，求导时，一律把f′(c)当常数处理． 角度3　求导法则在导数几何意义中的应用 　(1)若曲线y＝在x＝m处的切线的斜率为3，则该切线在x轴上的截距为　(　　) A．－ B．2 C．±2 D．± (2)写出曲线y＝(2x＋1)ex过坐标原点的一条切线的方程________________． 【解析】　(1)因为y＝＝x3(x≠1)， 所以y′＝3x2(x≠1)， 由3m2＝3，得m＝－1或m＝1(舍去). 当m＝－1时，y＝－1, 所以该切线的方程为y－(－1)＝3(x＋1)，整理得y＝3x＋2，令y＝0，得x＝－， 所以该切线在x轴上的截距为－.故选A． (2)y′＝(2x＋3)ex，设切点为(t，(2t＋1)et)， 故切线方程为y－(2t＋1)et＝(2t＋3)et(x－t)， 由于切线过原点，故0－(2t＋1)et＝(2t＋3)·et·(0－t)，整理得2t2＋t－1＝(t＋1)(2t－1)＝0，解得t＝－1或t＝.当t＝－1时，切线方程为y＋e－1＝e－1(x＋1)，即y＝x.当t＝时，切线方程为y－2e＝4e，即y＝4x. 【答案】　(1)A　(2)y＝4x或y＝x(任写一个即可) (1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式． (2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题． [跟踪训练2] (1)已知曲线f(x)＝2x cos x在x＝0处的切线为l，则l的斜率为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C．1 D．－1 解析：选A．对f(x)＝2x cos x求导得，f′(x)＝(ln 2)×2x·cos x－2x·sin x，由题意得曲线f(x)＝2x cos x在x＝0处的切线l的斜率为kl＝f′(0)＝(ln 2)×20·cos 0－20·sin 0＝ln 2.故选A． (2)已知f(x)＝f′(2 026)ln x－x2＋x，则f′(2 026)＝(　　) A．0 B．－2 025 C．－2 026 D．2 025 解析：选C．求导得f′(x)＝－x＋1， 所以f′(2 026)＝－2 026＋1， 即f′(2 026)＝－2 025，解得f′(2 026)＝－2 026.故选C． (3)曲线y＝－ln x在x＝1处的切线的倾斜角为α，则cos (2α－)＝________． 解析：由y＝－ln x，则y′＝－－， 所以当x＝1时，tan α＝－3， 所以cos (2α－)＝sin 2α＝＝＝＝－. 答案：－ 1．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为　(　　) A．y＝5x＋2 B．y＝5x－2 C．y＝－5x－2 D．y＝－5x＋2 解析：选A．因为y′＝＝， 所以所求切线斜率k＝＝5， 所以所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.故选A． 2．(多选)(教材P91T2改编)若f(x)＝cosx＋2xf′，则(　　) A．f′＝－ B．f′＝ C．f′＝1－ D．f′＝1＋ 解析：选BC．由f(x)＝cos x＋2xf′可得f′(x)＝－sin x＋2f′， 令x＝，则f′＝－sin ＋2f′， 解得f′＝sin ＝，故B正确，A不正确； 所以f′(x)＝－sin x＋1，令x＝，则f′＝ －sin ＋1＝－＋1，故C正确，D不正确．故选BC． 3．已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′＝0，则a＝________． 解析：函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，求导得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，于是f′(e)＝2ae＋2＝0，所以a＝－. 答案：－ 4．(教材P89练习BT2改编)求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝；(3)y＝x sin x＋ex ln x－2；(4)y＝. 解：(1)y′＝ ＝. (2)y＝＝－， 可得y′＝＋. (3)y′＝sin x＋x cos x＋ex ln x＋. (4)y′＝ ＝ ＝. 1．已学习：导数的四则运算法则及其应用． 2．须贯通：对于函数求导运算，一般遵循先化简、再求导的基本原则． 3．应注意：在两个函数的商的导数法则中，分母函数不能为0，否则无意义． 学科网（北京）股份有限公司 $