培优2 数列中的构造问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦数列构造求通项公式这一核心知识点，系统梳理待定系数法（处理递推公式中f(n)为常数或指数函数）、作差法（解决Sn与an关系问题）、取倒数法（转化分式型递推关系）三种类型，构建从递推关系到新数列构造的学习支架。 资料通过分类例题解析与尝试训练，引导学生用数学眼光观察递推式特征，用数学思维推理构造新数列的逻辑，用数学语言规范解题步骤。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生巩固方法，查漏补缺，提升数列问题解决能力。

　数列中的构造问题 　　数列中的构造问题一直是高考的热点内容，主、客观题均可考查，一般都是通过构造新的数列，从而求出数列的通项公式．常见的类型有如下几种： 类型一 待定系数法构造等差、等比数列 递推公式an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)中，若f(n) 是常数，则可以变形为an＋1＋λ＝p，借助等比数列求得an ；当f(n)与n的指数函数有关时，则往往可以变形为＝q·＋λ，再利用待定系数法转化为等比数列(q≠1)或转化为等差数列(q＝1)求得an或变形为an＋1＋A·tn＋1＝p(an＋A·tn)，再利用待定系数法转化为等比数列(p≠1)或转化为常数列(p＝1)，求得an. 　(1)已知数列满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则的通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝2n－1－1 C．an＝2n D．an＝2n－1 (2)已知数列中，a1＝3，an＋1＝4an＋3×4n，则此数列的通项公式an＝________． 【解析】　(1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.故选D． (2)将an＋1＝4an＋3×4n两边同时除以4n＋1，得＝＋，即－＝，又＝，则是首项为，公差为的等差数列，则＝＋＝n， 得an＝3n×4n－1. 【答案】　(1)D　(2)3n×4n－1 类型二 作差法构造等差、等比数列 对于Sn与an的递推关系求an时，常常采用作差法构造等差、等比数列，一般有两种思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解；二是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 　(1)已知数列为等比数列，Sn为数列的前n项和，an＝Sn＋，则S6＝(　　) A．36 B．45 C．157 D．189 (2)已知各项为正的数列的前n项和为Sn，且an＝2－1，则通项公式an＝________． 【解析】　(1)由an＝Sn＋得Sn－Sn－1＝Sn＋(n≥2)，整理得Sn＋3＝2， 又a1＝S1＋得S1＝a1＝3， 故数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以Sn＋3＝6×2n－1，即Sn＝3×2n－3， 所以S6＝3×26－3＝189. (2)由各项为正的数列，得an>0， 因为an＝2－1，所以Sn＝2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2－2， 化为＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2， 又a1＝2－1，解得a1＝1. 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以an＝1＋2＝2n－1. 【答案】　(1)D　(2)2n－1 类型三 取倒数法构造等差数列 对于an＋1＝(p，q，r为常数)型数列，取倒数后可得＝·＋，视为一个整体，当p＝r时，转化为等差数列；当p≠r时，用待定系数法转化为等比数列求得an. 　(1)已知数列中，a1＝1且an＋1＝，则a16＝(　　) A． B． C． D． (2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝，则此数列的通项公式an＝______． 【解析】　(1)由an＋1＝得＝＝＋，又＝1， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以＝1＋＝， 所以an＝，所以a16＝.故选A． (2)由an＋1＝，取倒数得＝＋1， 所以＋1＝2， 因为＋1＝2≠0，所以＋1≠0，所以＝2， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以＋1＝2×2n－1＝2n，则＝2n－1，所以an＝. 【答案】　(1)A　(2) 【尝试训练】 1．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a9＝(　　) A．29－3 B．29＋3 C．210－3 D．210＋3 解析：选C．因为an＋1＝2an＋3，则an＋1＋3＝2，且a1＋3＝4≠0，可知数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3，所以a9＝210－3.故选C． 2．(多选)设数列满足a1＝－1，an＋1＝(n∈N＋)，则(　　) A．为等比数列 B．的通项公式为an＝ C．为递减数列 D．的前n项和Tn＝2n＋2－5n－4 解析：选ABD．因为an＋1＝，则＝＝＋5，整理得＋5＝2，且＋5＝4≠0，所以是首项为4，公比为2的等比数列，故A正确；可得＋5＝4×2n－1＝2n＋1，解得an＝，故B正确；因为a1＝－1，a2＝，即a2>a1，所以不是递减数列，故C错误；因为＝2n＋1－5，所以的前n项和Tn＝－5n＝2n＋2－5n－4，故D正确．故选ABD． 3．在数列中，若a1＝2，an＋1＝3an＋2n＋1，则an＝________． 解析：方法一：已知an＋1＝3an＋2n＋1，两边同除2n＋1，得＝×＋1，转化为＋2＝×(＋2).令bn＝＋2，又b1＝＋2＝3， 所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以bn＝＋2＝3×n－1，得an＝2×3n－2n＋1. 方法二：令an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)，则an＋1＝3an＋A·2n，结合an＋1＝3an＋2n＋1可得A＝2，所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)，又a1＋22＝6≠0，所以数列{an＋2n＋1}是首项为6，公比为3的等比数列，所以an＋2n＋1＝6×3n－1＝2×3n，故an＝2×3n－2n＋1. 答案：2×3n－2n＋1 4．数列满足a1＋＋＋…＋＝3n－2(n∈N＋，n≥1)，则an＝________． 解析：因为a1＋＋＋…＋＝3n－2(n∈N＋，n≥1)， 当n＝1时，a1＝31－2＝1， 当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝3n－1－2， 所以＝3n－3n－1＝2×3n－1，所以an＝2n×3n－1， 当n＝1时，a1＝1不满足上式， 所以an＝ 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $