第5章 数列 章末复习提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等差与等比数列核心知识，系统梳理基本运算（求项、公差、公比及前n项和）、判定方法（定义法、中项法等）、求和技巧（转化、错位相减等）及实际应用，构建从基础到综合的知识支架。 资料通过血药浓度、幻方等实例培养数学建模能力，分层训练题（选择、解答）提升逻辑推理与运算素养，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺，有效落实数学思维与应用意识。

章末复习提升 要点一　等差与等比数列的基本运算 1．数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小． 2．通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 训练1　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝2，S9＝36，则S6＝(　　) A．12 B．15 C．18 D．24 解析：选B．设等差数列{an}的公差为d， 由a1＋a3＝2，S9＝36，得 解得 故S6＝6a1＋15d＝15.故选B． 训练2　设数列是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为________． 解析：当q＝1时，S3＝a1＋a2＋a3＝3a3成立； 当q≠1时，S3＝，a3＝a1q2， 又S3＝3a3，所以＝3q2， 化简得2q2－q－1＝0， 解得q＝－ 或q＝1(舍去). 综上可知，公比q的值为1或－. 答案：1或－ 训练3　记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S7＝14，且a3，a4，a6成等比数列，则a2 024的值为　. 解析：设等差数列{an}的公差为d， 则S7＝7a1＋21d＝14，① 又因为a3，a4，a6成等比数列， 所以a＝a3a6， 即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋5d)，② 由①②解得或 所以a2 024＝a1＋2 023d＝－1＋2 023＝2 022， 或a2 024＝a1＋2 023d＝2＋0＝2. 答案：2 022或2 要点二　等差、等比数列的判定 1．判定等差数列的方法 (1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法． 2．判定等比数列的方法 (1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法． 注：以上的第三种方法只能作为判定方法，而不能作为证明方法． 3．通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 训练4　已知数列满足a1＝4，an＋1＝4－. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 解：(1)证明：－＝－＝－＝为常数， 所以为公差为的等差数列． (2)由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以＝n，所以an＝＋2. 训练5　设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，Sn－an＋1＋2＝0. (1)数列{an}是否是等比数列？若是，求出通项公式，若不是，请说明理由； (2)设bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，证明：Tn<. 解：(1)由题设an＝Sn－Sn－1＝(an＋1－2)－(an－2)＝an＋1－an，即an＋1＝2an，且n≥2， 又n＝1时，S1－a2＋2＝a1－a2＋2＝0， 可得a2＝4＝2a1， 综上，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，通项公式为an＝2n. (2)证明：由题设bn＝log2an＝n，故＝ ＝， 所以Tn＝(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝ ＝－ ，又＋>0， 所以Tn<得证． 要点三　数列求和 1．数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等． 2．通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 训练6　已知数列{an}，a1＝2，a2＝0，且an＋2＝an＋2·(－1)n，则数列{an}的前32项之和为(　　) A．128 B．64 C．32 D．16 解析：选C．数列{an}中，a1＝2，a2＝0， 且an＋2＝an＋2·(－1)n， 则当n为奇数时，an＋2＝an－2，当n为偶数时，an＋2＝an＋2， 因此数列{an}的奇数项构成首项为2，公差为－2的等差数列，偶数项构成首项为0，公差为2的等差数列， 则S32＝16×2＋×(－2)＋16×0＋×2＝32.故选C． 训练7　已知数列{an}满足a1＝16，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，则{an}的前100项和为(　　) A．25×2102 B．25×2103 C．25×2104 D．25×2105 解析：选D．因为a1＝16，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an， 所以＝，＝8， 所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列， 则＝2n＋2，即an＝(n＋1)2n＋2.设{an}的前n项和为Tn，则 Tn＝2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)2n＋2， 2Tn＝2×24＋3×25＋4×26＋…＋(n＋1)2n＋3， 两式相减，得－Tn＝2×23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)2n＋3 ＝2×23＋－(n＋1)2n＋3 ＝2n＋3－(n＋1)2n＋3＝－n·2n＋3， 所以Tn＝n·2n＋3，T100＝100×2103＝25×2105.故选D． 训练8　已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2a1＝4，当n∈N＋，且n≥2时，Sn＋1＝3Sn－2Sn－1. (1)证明：{an}为等比数列； (2)设bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，若Tm＋>1，求正整数m的最小值． 解：(1)证明：当n≥2时，Sn＋1＝3Sn－2Sn－1⇒Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1＝2an， 又a2＝2a1＝4，故an＋1＝2an在n∈N＋上都成立，且a1＝2， 所以{an}是首项、公比均为2的等比数列． (2)由(1)知，an＝2n， 则bn＝＝－， 所以Tn＝1－＋－＋…＋－＋－＝1－， 则Tm＋＝1－＋>1， 即7×2m－2<2m＋1－1＝8×2m－2－1， 所以2m－2>1，可得m>2，而m∈N＋，故m≥3， 所以正整数m的最小值为3. 要点四　数列在实际问题中的应用 1．数列本身是一类特殊的函数，高考命题中常将数列与一次函数、指数函数、三角函数、不等式等知识综合在一起，在知识的交汇处命题，或与数阵、点列结合命题一些创新性问题．同时，以实际问题和古代数学问题为背景的数列问题也时有出现，难度中等或以上． 2．通过此类问题，综合考查抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 训练9　血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为(　　) A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时 解析：选B．设检测第n次时(n∈N＋)，给药时间为bn，则{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1，设当给药时间为2n＋1小时的时候，患者血药浓度为an，血药浓度峰值为a，则数列{an}是首项为a，公比为0.4的等比数列，所以an＝a×0.4n－1， 令an＝0.010 24a， 即0.45a＝a×0.4n－1，解得n＝6， 当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为b6＝2×6＋1＝13.故选B． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 训练10　我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将1，2，3，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n的方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方. 记n阶幻方的每列数字之和为Nn，如图三阶幻方的N3＝15，那么N5＝________． 解析：由n阶幻方填入1，2，3，…，n2，共n列，这n2个数字之和为1＋2＋3＋…＋n2，由这n列之和都相等，则每一列的数字之和Nn＝＝＝. 故N5＝＝5×13＝65. 答案：65 训练11　某牧场今年年初牛的存栏数为1 000，预计以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为b1，b2，b3，…. (1)写出一个递推公式来表示bn＋1与bn之间的关系； (2)将(1)中的递推公式表示成bn＋1－k＝r(bn－k)的形式，其中k，r为常数； (3)求其前10项和S10的值．(结果精确到1，其中1.210≈6.192) 解：(1)由题意，得b1＝1 000，第n＋1年年初的计划存栏数是在第n年年初的计划存栏数的基础上增长20%，再减去100，则bn＋1＝bn－100. (2)将bn＋1－k＝r化成bn＋1＝rbn－rk＋k， 对比bn＋1＝bn－100， 可得解得 所以(1)中的递推公式可表示为bn＋1－500＝. (3)由(2)可知，数列是以b1－500＝500为首项，为公比的等比数列， 所以bn－500＝500·n－1， 则bn＝500＋500·n－1， 所以S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝500×10＋500×[0＋1＋2＋…＋9]＝5 000＋500×＝5 000＋2 500×≈17 980. 学科网（北京）股份有限公司 $