5.3.1 第2课时 等比数列的性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学中等比数列的性质，以类比等差数列的学习支架，先通过等比中项概念的辨析（如非零同号实数才有等比中项），再推导等比数列核心性质（下标和相等则项积相等），最后延伸至等差与等比数列的综合应用。 资料以“类比思想”为核心设计，通过思考问题链（如对比等差中项与等比中项）引导学生推理，结合即时练（如等比中项计算）和跟踪训练（如等差等比综合题），培养抽象能力、推理意识与应用意识。课中助力教师引导学生构建知识网络，课后学生可通过习题巩固，查漏补缺。

第2课时　等比数列的性质 |1.理解等比中项的概念．　2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质． 3．能运用等比数列的性质简化计算并能解决与等比数列有关的问题． 有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”．在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质． 思考1　根据等差中项的定义，任意两个实数a，b中插入一个数A，均可以构成等差数列，那么，任意两个实数a，b中插入一个数G，能否构成等比数列？ 提示：不一定，若a，G，b成等比数列，则有G2＝ab，若实数a，b有一个为0或者异号，a，G，b不能构成等比数列． 思考2　我们知道，如果数列{an}为等差数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.类比等差数列，若数列{an}为等比数列，则有什么类似的结论？ 提示：如果数列{an}为等比数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项． 【即时练】 1．3－2与3＋2的等比中项为__________． 解析：3－2与3＋2的等比中项为±＝±1. 答案：±1 2．若a，b，c均为实数，试从①b2＝ac；②b＝；③＝中选出“a，b，c成等比数列”的充要条件为________．(填序号) 解析：由等比数列的定义可知：a，b，c成等比数列⇔＝⇔＝⇒b2＝ac⇒b＝±. 答案：③ 3．若公差不为0的等差数列满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a2，a5成等比数列，所以a＝a1a5.又因为a3＝5，则＝(a3－2d)(a3＋2d)，即(5－d)2＝(5－2d)(5＋2d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，则a1＝a3－2d＝1. 答案：1 4．已知数列满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列．证明：为等比数列． 证明：因为lg an ，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，所以2lg an＋1＝lg an＋lg an＋2， 所以a＝anan＋2，即数列为等比数列． 对等比中项的理解 (1)若G2＝xy，则x，G，y不一定成等比数列；只有同号的两个不为0的实数才有等比中项． (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． (3)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列．　 二 　等比数列的性质 1．一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则____________．特别地，如果2s＝p＋q，则a＝apaq. 2．等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝__________________＝…＝________________＝…. 点拨　等比数列的性质可以推广为： 当m＋n＋s＝x＋y＋z(m，n，s，x，y，z∈N＋)时，amanas＝axayaz. [答案自填] asat＝apaq　a2·an－1 ak·an－k＋1 　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，(a2＋2a4＋a6)a4＝25，则a3＋a5＝(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 (2)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝，a4a5＝－，则＋＋＋＋＋＋＋＝________． 【解析】　(1)由题意得(a2＋2a4＋a6)a4＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，而{an}各项均为正数，则a3＋a5＝5.故选A． (2)因为等比数列{an}中，a4a5＝－， 而a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝－， 所以＋＋＋＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8) ＝－×＝－6. 【答案】　(1)A　(2)－6 应用等比数列性质的解题策略 (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题． (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的序号之间的关系，充分利用等比数列项的运算性质进行求解．　 [跟踪训练1] (1)(2023·全国乙卷)已知为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 解析：设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2. 答案：－2 (2)在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则log2a2＋2log2a6＋log2a10＝________． 解析：在正项等比数列{an}中，因为a4a8＝2， 可得a＝a2a10＝a4a8＝2， 则log2a2＋2log2a6＋log2a10＝log2(a2a10)＋log2a ＝log22＋log22＝2. 答案：2 三　等差数列与等比数列的综合问题 角度1　对称设项求数列的项 ________________________________________________ 　(对接教材例7)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 【解】　根据题意设前三个数依次为，x，xq， 则·x·xq＝216，解得x＝6， 设后三个数依次是6，6＋d，6＋2d， 则6＋(6＋d)＋(6＋2d)＝12，解得d＝－2. 所以后三个数分别是6，4，2. q＝＝，所以第一个数为6÷＝9. 综上可得，这四个数分别是9，6，4，2. 等比数列设元技巧 (1)某两个数是等比数列中的连续两个数且知其积，可设这两个数为 , aq，公比为q2； (2)若三个数成等比数列，常设成 ，a，aq或a，aq，aq2； (3)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2；若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.　 [跟踪训练2] 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即 整理得解得 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 答案：45 角度2　等差、等比数列的综合应用 ________________________________________________ 　已知公比大于1的等比数列{an}满足：a1＋a4＝18，a2a3＝32. (1)求{an}的通项公式； (2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝2bn－an，n∈N＋，证明：是等差数列． 【解】　(1)方法一：设公比为q(q>1)， 因为{an}是等比数列，所以a2a3＝a1a4＝32， 又a1＋a4＝18，解得或 又q>1，所以 所以q3＝8，q＝2. 因此an＝a1qn－1＝2n. 方法二：设公比为q(q>1)， 由等比数列性质得出 解得或又q>1，所以 因此an＝a1qn－1＝2n. (2)证明：由(1)得Sn＝2bn－2n，所以Sn＋1＝2bn＋1－2n＋1， 两式作差可得Sn＋1－Sn＝2bn＋1－2n＋1－(2bn－2n)， 即bn＋1＝2bn＋1－2n－2bn，整理得bn＋1－2bn＝2n，n∈N＋. 等式两边同除以2n＋1得，－＝， 即－＝(n∈N＋ ). 所以数列是公差为的等差数列． 解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想． (3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题． (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系．　 [跟踪训练3] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1，2，…)，且a2＝3，S5＝25. (1)求{an}的通项公式； (2)等比数列{bn}的首项为1，公比q＝3，使得{bn}的每一项都是{an}中的项．若bk＝am(k，m∈N＋)，求m.(用含k的式子表示) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a2＝3，S5＝25， 所以解得 所以an＝2n－1. (2)因为b1＝1，q＝3，所以bn＝3n－1， 因为am＝bk，即2m－1＝3k－1，得m＝， 因为k∈N＋，3k－1为奇数，3k－1＋1为偶数， 所以m∈N＋，可得m＝. 1．(教材P37T5改编)在等比数列中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝(　　) A．6 B．9 C．±6 D．±9 解析：选A．因为a5a7a9a11＝a＝36，所以a＝6(负值已舍去)，所以a2a14＝a＝6.故选A． 2．(多选)已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前3项，则数列{an}的第4项可能是(　　) A．8 B．2 C． D． 解析：选AC．不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前3项为1，2，4，则第4项为8；若数列前3项为4，2，1，则第4项为.故选AC． 3．(教材P36练习AT3改编)已知3为a，b的等差中项，2为a，b的等比中项，则＋＝________． 解析：由等差、等比中项可得a＋b＝6，ab＝4，所以＋＝＝＝. 答案： 4．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＞0，a4a6＝4，求a3. 解：(1)设{an}的公比为q，因为a1为a2，a3的等差中项， 所以2a1＝a2＋a3，a1≠0，所以q2＋q－2＝0， 因为q≠1，所以q＝－2. (2)因为a1＞0，a4a6＝4，由等比数列的性质可得： a4a6＝a＝4，所以a5＝2(负值舍去). 所以a3＝＝＝. 1．已学习：等比中项的概念、等比数列的性质及应用、等差数列与等比数列的综合问题． 2．须贯通：(1)灵活利用等比数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想；(2)解决等差、等比数列综合问题，一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系，然后利用两种数列的性质求解． 3．应注意：等比数列中，下标和相等的项的积相等，要求等式两边项的个数必须相同．　 学科网（北京）股份有限公司 $