5.2.1 第2课时 等差数列的性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦等差数列的性质，承接等差数列概念，系统构建等差中项（含定义、判定）、项的性质（下标和相等则项和相等）及实际应用的知识支架，形成从概念到性质再到应用的递进学习路径。 资料通过“取正整数数列奇偶项”等情境引导学生用数学眼光观察规律，结合例题对比方程法与性质法培养数学思维，以海拔气温、节气日影长问题强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后可通过跟踪训练帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

第2课时　等差数列的性质 |1.能理解等差中项的概念．　2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质． 3．能运用等差数列的性质简化计算．　4.能运用等差数列解决实际问题． 同学们，前面我们学习了等差数列的概念，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质． 思考1　如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？ 提示：因为x，A，y是等差数列，所以A－x＝y－A，即A＝. 思考2　设数列{an}的通项公式为an＝3n－1，求出a2＋a7，a3＋a6，并比较它们的大小． 提示：a2＋a7＝3×2－1＋3×7－1＝25， a3＋a6＝3×3－1＋3×6－1＝25， 所以a2＋a7＝a3＋a6. 一　等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项．根据等差中项与等差数列的定义可知A－x＝y－A，因此A＝. 点拨　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)，则{an}为等差数列． 　(1)已知a，m∈R，m是a和10－a的等差中项，则m的值为________． (2)已知数列满足2an＋an－1＝nan＋a1，证明：数列为等差数列． 【解】　(1)因为m是a和10－a的等差中项，故2m＝a＋(10－a)＝10，则m＝5.答案为5. (2)证明：依题意，2an＋an－1 ＝nan＋a1， 以n＋1替换n得2an＋1＋nan＝an＋1＋a1， 两式相减并整理得an＋1－an ＝an－an－1， 由于n≥2，所以an＋1－an＝an－an－1， 即2an＝an＋1＋an－1， 所以数列为等差数列． 等差中项法证明等差数列 在等差数列{an}中，有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．　 [跟踪训练1] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 由已知条件，得a1＋a4＝2(a2＋1)， 即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2. 答案：2 (2)若，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 证明：因为，，成等差数列，所以＝＋， 因此2·－－ ＝(＋)(a＋c)－－－－ ＝2－b(＋)＝0， 所以，，也成等差数列． 二　等差数列的性质 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝__________．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝________________________________________________________. 点拨　(1)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同，可以推广为：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az. (2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…(n∈N＋). [答案自填] ap＋aq　ap＋aq 　(1)已知在等差数列中，a2＋a10＝16，a5＝4，则a7＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 (2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32 B．27 C．24 D．16 (3)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________． 【解析】　(1)方法一：设等差数列{an}的公差为d，则解得 所以a7＝a1＋6d＝12. 方法二：在等差数列中，a5＋a7＝a2＋a10＝16，得a7＝12， 故选D． (2)方法一：设等差数列{an}的公差为d， 则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24. 方法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq， 所以a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， 所以5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7. 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5. 所以5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24. (3)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列， 现假定a＝，则b＝2－＝. 根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和， 所以这个等差数列为，c，d，，则c＝，d＝， 所以m＝ab＝，n＝cd＝. 所以|m－n|＝＝. 【答案】　(1)D　(2)C　(3) 等差数列运算的两种常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.　 [跟踪训练2] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋2a3＋a8＝32，则a4＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C．由题设a2＋2a3＋a8＝2a3＋2a5＝4a4＝32，故a4＝8.故选C． (2)在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________． 解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4， 所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝(a1＋a2＋…＋a10)log22＝4×5＝20. 答案：20 三　等差数列的实际应用问题 　(对接教材例7)在通常情况下，从海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值．如果海拔1 km高空的气温是9 ℃，海拔5 km高空的气温是－15 ℃，那么海拔8 km高空的气温是多少？ 【解】　设海拔n km高空的气温为an(1≤n≤10)，则{an}成等差数列，且a1＝9，a5＝－15，设公差为d， 则d＝＝＝－6，所以an＝－6n＋15， 所以a8＝－6×8＋15＝－33， 所以海拔8 km高空的气温是－33 ℃. 解答等差数列实际问题的基本步骤 　 [跟踪训练3] 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为(　　) A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺 解析：选D．由题意得，设日影长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝18.5，a4＝15.5，则a4－a1＝3d＝－3，解得d＝－1，则a7＝a1＋6d＝18.5－6＝12.5，故春分的日影长为12.5尺．故选D． 1．在等差数列中，若a7＋a17＝12，则a12＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：选B．在等差数列中，2a12＝a7＋a17＝12， 所以a12＝6.故选B． 2．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　) A．公差d＝－4 B．a2＝7 C．数列{an}为递增数列 D．a3＋a4＋a5＝84 解析：选BC．因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7.因为a1＝3，所以d＝4.所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选BC． 3．(教材P21T2改编)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为________． 解析：由题意知，2(2a＋1)＝a－1＋4a－2，则a＝5. 答案：5 4．(教材P22练习BT4改编)假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位．若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有多少个座位？ 解：由题意可知，体育场该角看台的座位数成等差数列，设为{an}，则a3＝10，a9＝28. 由通项公式可得解得 所以a12＝4＋(12－1)×3＝37. 故体育场该角看台的第12排有37个座位． 1．已学习：等差中项的概念，等差数列的性质及实际应用． 2．须贯通：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想． 3．应注意：(1)对等差数列的性质不理解而致错； (2)忽略基本方法如方程(组)法的应用，过分强调性质的作用．　 学科网（北京）股份有限公司 $