5.2.1 第1课时 等差数列的定义(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等差数列的定义、通项公式、与一次函数的关系及判定证明，通过冬奥会时间、鞋号排列等生活实例引入，引导学生抽象概念，再经即时练、例题及变式构建从具体到抽象的学习支架。 以生活实例培养数学眼光，通过定义辨析和公式推导发展数学思维，用通项公式表达数列关系强化数学语言。课中例题变式助教师高效授课，课后跟踪训练与总结帮学生查漏补缺，提升学习效果。

5．2　等差数列 5．2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 |1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念．　2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题．　3.体会等差数列与一次函数的关系．　4.掌握等差数列的判定与证明方法． 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 思考1　以上数列有什么共同特征？ 提示：对于(1)，我们发现2010－2006＝4，2014－2010＝4，2018－2014＝4，2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于(2)有44－45＝－1，43－44＝－1，….对于(3)，10－10＝0，有同样的取值规律． 思考2　第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京和张家口举行，北京冬奥会创造了历史，为奥运留下了一套全新的标准，将开启全球冰雪运动新篇章．你能预测26届冬奥会在哪一年举行吗？ 提示：2030年． 一般地，如果数列{an}从________起，每一项与它的________之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的________． [答案自填] 第2项　前一项　公差 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列1，1，1，1，1是等差数列．(　　) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (3)等差数列至少有三项．(　　) (4)等差数列的公差是相邻两项的差．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1 111，… C．－5，－3，－1，1，3，… D．，，1，，，… 解析：选ACD．根据等差数列的定义可知A，C，D是等差数列．故选ACD． 3．若数列1，3，a＋3，b是等差数列，则a＝__________，b＝__________． 解析：由a＋3－3＝3－1，所以a＝2，公差d＝3－1＝2，所以b＝5＋2＝7. 答案：2　7 关于等差数列的理解 (1)等差数列的代数表示：an＋1－an＝d. (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)注意作差顺序，且差必须是同一个常数． (4)公差可以是正数、负数、零．　 二　等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝________________． 点拨　通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋). [答案自填] a1＋(n－1)d 　(对接教材例4、例5)在等差数列{an}中， (1)已知a2＝31，a7＝76，求a1，d； (2)已知a3＝7，a6＝16，求a10. 【解】　(1)在等差数列{an}中，由a2＝31，a7＝76得，解得a1＝22，d＝9. (2)方法一：设等差数列{an}的公差为d，由a3＝7，a6＝16得，解得a1＝1，d＝3，所以a10＝a1＋9d＝28. 方法二：设等差数列的公差为d, a6＝a3＋3d＝16，由a3＝7，得d＝3，所以a10＝a3＋7d＝28. 【变式探究】 1．(综合变式)本例的中，若a1＋a6＝12，a4＝7，求an. 解：设等差数列的公差为d，由a1＋a6＝12，a4＝7得，解得所以an＝a1＋d＝2n－1. 2．(综合变式)本例的中，若a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n. 解：由an＝a1＋d，得－15＝9－2，解得n＝13. 等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．　 [跟踪训练1] (1)已知在等差数列{an}中，a4＝8，a5＝a2＋a3，则a1＝ (　　) A．－2 B．1 C．2 D．4 解析：选C．设等差数列{an}的公差为d，则解得a1＝d＝2.故选C． (2)已知数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝2(a2＋1)，则{an}的公差为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知a1＋a4＝2(a2＋1)，即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2. 答案：2 三　等差数列与函数的关系 在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d，如果记f(x)＝dx＋a1－d，则an＝f(n). (1)当公差d＝0时，f(x)是常数函数，数列{an}是________； (2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，当d>0时，{an}是__________数列；当d<0时，{an}是________数列． [答案自填] 常数列　递增　递减 　已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}是递增数列还是递减数列． 【解】　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点，所以a2＝－1，a4＝－7，即解得 因此an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋5. (2)等差数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝－3x＋5上的一系列离散的点，如图所示． (3)因为公差d＝－3＜0，所以等差数列{an}为递减数列． 等差数列的单调性 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性：当d>0时，数列{an}为递增数列；当d＝0时，数列{an}为常数列；当d<0时，数列{an}为递减数列．　 [跟踪训练2] 已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－7. (1)求首项a1和公差d，并判断数列是递增数列还是递减数列； (2)画出数列的图象． 解：(1)等差数列{an}的通项公式为an＝2n－7，所以首项a1＝2×1－7＝－5， 公差d＝an＋1－an＝2(n＋1)－7－(2n－7)＝2. 因为公差d＝2>0，所以an＋1>an， 所以数列是递增数列． (2)数列的图象，如图． 四　等差数列的判定与证明 　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解】　(1)证明：因为数列{an}满足a1＝2， an＋1＝. 两边取倒数可得，＝2＋，即－＝2， 所以数列是等差数列，首项为＝，公差为2. (2)由(1)可得，＝＋2(n－1)＝， 解得an＝. 用定义法证明数列{an}是等差数列的基本步骤 (1)作差：an＋1－an； (2)变形：化简an＋1－an； (3)下结论：若化简结果是与n无关的常数，则{an}为等差数列，否则不是等差数列．　 [跟踪训练3] 已知数列满足a1＝4，an＝4－，记bn＝. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 解：(1)证明：bn＋1－bn＝－＝－ ＝＝， 所以数列是首项为b1＝＝， 公差为的等差数列． (2)由(1)可知bn＝＝＋×＝， 解得an＝＋2. 1．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上选项都不对 解析：选B．等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2＜0，则直线呈下降趋势，故数列{an}为递减数列．故选B． 2．(多选)下列数列中是等差数列的有(　　) A．a－d，a，a＋d B．2，4，6，8，…，2(n－1)，2n C．a－2d，a－d，a＋d，a＋2d(d≠0) D．an－1＝an－(n∈N＋，n＞1) 解析：选ABD．对于A选项，由于(a＋d)－a＝a－(a－d)＝d，故是等差数列，故A正确； 对于B选项，2，4，6，8，…，2(n－1)，2n中，2n－2(n－1)＝2，是等差数列，故B正确； 对于C选项，因为a－d－(a－2d)＝d，(a＋d)－(a－d)＝2d，又d≠0，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差，不是等差数列，故C错误； 对于D选项，由an－1＝an－(n∈N＋，n＞1)得an－an－1＝(n∈N＋，n＞1)，满足等差数列定义，故D正确．故选ABD． 3．(教材P21T1改编)已知数列是等差数列，a1＝1，a2＋a7＝7，则a8＝________． 解析：因为数列是等差数列，设公差为d，所以a2＋a7＝a1＋d＋a1＋6d＝2＋7d＝7，解得d＝，所以a8＝a1＋7d＝6. 答案：6 4．已知数列{an}是等差数列(n∈N＋)，若a1＝2，a5＝－14. (1)求{an}的通项公式； (2)证明{an＋1＋an}是等差数列． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，a1＝2，a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4d＝－14，解得d＝－4， 所以an＝2＋(－4)×(n－1)＝－4n＋6，n∈N＋. (2)证明：因为(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝[a1＋(n＋1)d]－[a1＋(n－1)d]＝2d＝2×(－4)＝－8， 所以{an＋1＋an}是公差为－8的等差数列． 1．已学习：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的判定与证明． 2．须贯通：(1)应用等差数列的通项公式可以将an，a1，n，d四个元素互求，可以知三求一，体现方程思想； (2)证明等差数列的方法有定义法，而判断等差数列的方法还有通项公式法． 3．应注意：在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．　 学科网（北京）股份有限公司 $