第6章 计数原理 章末综合检测(一)(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

章末综合检测(一)

 

 (时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为(　　)

A．A     B．C   

C．34     D．43

解析：选C.根据分步乘法计数原理的应用，第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，第三封信的投法有3种，第四封信的投法有3种，故一共有3×3×3×3＝34种投法．故选C.

2．如图所示，由电键组A，B组成的串联电路中，要接通电源使电灯发光的方法有(　　)

A．4种     B．5种   

C．6种     D．7种

解析：选C.要想通电，则需满足电路通畅，则并联电路中，至少有一个键闭合，利用分步乘法计数原理，可得共有2×3＝6(种).故选C.

3．(1＋x2－)(1＋x)6展开式中x2的系数是(　　)

A．－24     B．－9   

C．24     D．9

解析：选A.依题意，(1＋x2－)·(1＋x)6展开式中含x2的项为1×C×x2＋x2×C＋(－)×C×x3＝－24x2，所以x2的系数是－24.故选A.

4．用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为(　　)

A．24     B．46   

C．48     D．120

解析：选D． 完成这件事需要分三步：第一步，确定百位数，有6种方法；第二步，确定十位数，有5种方法；第三步，确定个位数，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120个无重复数字的三位数，所以这个数列的项数为120.故选D．

5．对任意的实数x，x6＝a0＋a1(x－2)1＋a2(x－2)2＋…＋a6(x－2)6，则a2值为(　　)

A．60     B．120   

C．240     D．480

解析：选C.因为x6＝[(x－2)＋2]6＝C(x－2)6＋C(x－2)5×2＋C(x－2)4×22＋C(x－2)3×23＋C(x－2)2×24＋C(x－2)1×25＋C×26，所以a2＝C×24＝240.故选C.

6．用四种颜色给如图所示的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则不同的涂色方法的种数为(　　)

A．72     B．96   

C．108     D．144

解析：选B．设四种颜料为1，2，3，4，

①先涂区域B，有4种涂色方法，不妨设涂颜色1；

②再涂区域C，有3种涂色方法，不妨设涂颜色2；

③再涂区域E，有2种涂色方法，不妨设涂颜色3；

④若区域A填涂颜色2，则区域D，F填涂颜色分别为1，4或4，3，有2种不同的涂色方法；

若区域A填涂颜色4，则区域D，F填涂颜色分别为1，3或4，3，有2种不同的涂色方法，由分类加法计数原理知，共有4种不同的涂色方法，综合①②③④，由分步乘法计数原理可得，共有4×3×2×4＝96

种不同的涂色方法．

7．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，比如：35≡25(mod 10).已知：n＝C－C10＋C102－C·103＋…＋C1010，满足n≡p(mod 7)，则p可以是(　　)

A．26     B．31   

C．32     D．37

解析：选D．因为n＝C－C10＋C·102－C103＋…＋C1010＝(1－10)10＝(7＋2)10，而n＝(7＋2)10＝C710＋C79×2＋…＋C7×29＋C210，因此n除以7的余数为C210＝1 024除以7的余数2，而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题意，37除以7的余数为2，即D满足．故选D．

8．四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为(　　)

A．141     B．144   

C．150     D．155

解析：选A.从10个点中任取4个点有C种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不符合题意，所以不同的取法共有C－4C－6－3＝141(种).故选A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．对于(x2－)6的展开式，下列说法正确的是(　　)