6.3.2 二项式系数的性质 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．(－x)n展开式中的各二项式系数之和为256，则n的值为(　　)

A．10     B．9   

C．8     D．7

解析：选C.(－x)n展开式中的各二项式系数之和为2n＝256，解得n＝8.故选C.

2．已知(－2x2)n的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是(　　)

A．－240     B．－240x6

C．240x6     D．240

解析：选C.由题可得，＋1＝4，解得n＝6，所以T5＝C()2(－2x2)4＝240x6.故选C.

3．在(－)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数之和为(　　)

A．1     B．－32   

C．0     D．32

解析：选D．依题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，则(－)5＝(3－1)5＝25＝32，所以展开式中所有项的系数之和为32.故选D．

4．已知n∈N*，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为(　　)

A．81     B．64   

C．27     D．32

解析：选D．a1＝C·2＝2n，a2＝C·22＝4C，所以4×2n＋4C＝

80，解得n＝5或n＝－8(舍去)，所以该展开式各项的二项式系数和为25＝32. 故选D．

5．已知(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4＝(　　)

A．－54     B．－52   

C．－50     D．－48

解析：选A.(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－1)3－(1＋2)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝－80；

令x＝－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝－28；

由两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝－108，所以a0＋a2＋a4＝－54.故选A.

6．(多选)已知函数f(x)＝(3x－)n，则下列关于f(x)的展开式的结论中正确的是(　　)

A．当n＝11时，f(x)的展开式共有11项

B．当n＝8时，f(x)的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1∶2

C．当n＝7时，f(x)的展开式中，各项系数之和为－1

D．若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则n＝7

解析：选BD．对于A，当n＝11时，f(x)的展开式共有12项，A错误；对于B，当n＝8时，f(x)的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为C∶C＝28∶56＝1∶2，B正确；对于C，当n＝7时，f(x)＝(3x－)7，此时，f(x)的展开式中，各项系数之和为f(1)＝(3－2)7＝1，C错误；对于D，若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则函数f(x)的展开式中共8项，即n＋1＝8，故n＝7，D正确．故选BD．

7．已知(1＋2x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为________．

解析：由题意可得，C＝C，所以n＝10，则(1＋2x)10的二项式系

数之和为210.所以所有偶数项的二项式系数之和为＝29＝512.

答案：512

8．已知(x－)n的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则其展开式中有理项共有________项．

解析：由题意得2n＝64，解得n＝6，(x－)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C·(－)rx，当r＝0，2，4，6时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项．

答案：4

9．若(2x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．

解析：依题意，(2x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，

令x＝0，得a0＝1；

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，

所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.

答案：0

10．已知(3x＋)n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是.求：

(1)二项展开式中各二项式系数和；

(2)二项展开式中系数最大的项．

解：(1)由题意得C∶C＝1∶3，即＝，解得n＝7，故二项展开式中各二项式系数和为27＝128.

(2)(3x＋)7展开式的通项为Tr＋1＝C·37－r·2r·x7－，