6.2.4 第1课时 组合数公式 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排种数为(　　) A．A B．C C．2C D．A 解析：选B．由于从5名学生中选出3名学生值日，即选出3人值日即可，是一个组合问题，故不同的安排有C种．故选B． 2．若A＝6C，则m的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B．依题意，A＝6C，即m·(m－1)·(m－2)＝6·，即1＝，得m＝7.故选B． 3．我国数学家陈景润在对哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40＝3＋37.在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，则不同的取法有(　　) A．14 B．21 C．28 D．36 解析：选C.不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从中随机选取两个不同的数，共有C＝28种取法．故选C. 4．从4名女生、6名男生中，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为(　　) A．1 440 B．120 C．60 D．24 解析：选B．从4名女生、6名男生中，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5名学生，所以抽取的女生人数为2，男生人数为3，共有抽取方法为CC＝120(种).故选B． 5．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．15 B．30 C．35 D．42 解析：选B．由于甲企业有2人参加会议，所以问题需要分两类：含有甲企业的选法有CC种，不含有甲企业的选法有C种，共有CC＋C＝30(种).故选B． 6．(多选)下列有关排列数、组合数计算正确的有(　　) A．C＝ B．(n＋2)(n＋1)A＝A C．C＋C＋C＋…＋C＝C D．C＋C是一个常数 解析：选BD．因为C＝，故A不正确；因为(n＋2)(n＋1)A＝(n＋2)(n＋1)n(n－1)…(n－m＋1)＝A，故B正确；因为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋…＋C－1＝C－1，故C不正确；因为式子C＋C有意义，则式中n应满足 解得n＝2.所以C＋C＝C＋C＝2(常数)，故D正确．故选BD． 7．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是________． 解析：最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C＝20(种). 答案：20 8．某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有________种． 解析：需分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有C种选法； 第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有C种选法．根据分步乘法计数原理，此人有CC＝20×5＝100种不同的投资方式． 答案：100 9．从2名男生，4名女生中任选3人参加活动，则男生、女生都有人被选中的选法共有________种． 解析：由题可知，3人中1男2女的选法有CC＝12(种)，3人中2男1女的选法有CC＝4(种)，故男生、女生都有人被选中的选法共有12＋4＝16(种). 答案：16 10．若C＋C＋C＋…＋C＝55，求正整数n. 解：C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1 ＝C＋C＋C＋…＋C－1 ＝C＋C＋…＋C－1＝C－1＝55， 故C＝56＝C，解得n＝7. 11．算盘起源于中国，迄今已有2 600多年的历史，在电子计算机发明以前，算盘是广为使用的计算工具．图1展示的是一把算盘的初始状态，自右向左每一档分别表示个位、十位、百位、千位……，上面的一粒珠子表示5，下面的一粒珠子表示1.例如图2中个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠靠梁，表示数字17.现将初始状态的算盘上个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子靠梁，则可以表示能被3整除的六位数的个数为(　　) A．30 B．24 C．22 D．18 解析：选C.由题意知，得到的六位数的各个数位上均为数字1或5，要使这个六位数能被3整除，则有三种情况：①6个1，只有111 111；②6个5，只有555 555；③3个1和3个5，有C＝20(个).所以满足条件的六位数有22个．故选C. 12．(多选)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是(　　) A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法 解析：选ACD．对于A，6门中选2门共有C＝15种选法，故A正确； 对于B，利用间接法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有A种排法，然后与其他4门课程全排列有A＝120种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有AA＝240种，没有限制条件时共有A＝720种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有A－AA＝480种排法，故B错误； 对于C，课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有A＝6种排法，然后与其他3门课程全排列有A＝24种排法，根据分步乘法计数原理，共有AA＝144种排法，故C正确； 对于D，先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有C＝4种排法，再把剩下4个全排列，有A＝24种排法，根据分步乘法计数原理，共有CA＝96种排法，故D正确．故选ACD． 13．男、女学生共有8人，若从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，则其中女生有________人． 解析：设男生有x人，则女生有(8－x)人．因为从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，所以CC＝30，所以x(x－1)(8－x)＝30×2＝2×6×5或x(x－1)(8－x)＝3×4×5，所以x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.所以女生有2人或3人． 答案：2或3 14．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货，现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (2)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解：(1)从34种可选商品中，选取3种，有C＝5 984(种). 所以某一种假货不能在内的不同的取法有 5 984 种． (2)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，　 有CC＝2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种． (3)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同的取法有 2 555 种． (4)从35种商品中选取3种的种数为C，选取3种假货有C种，因此共有C－C＝6 545－455＝ 6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同的取法有 6 090 种． 15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共有________条． 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地的路线为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条． 答案：126 16．规定C＝，其中x∈R，m∈N，且C＝1，这是组合数C(n∈N*，m∈N且m≤n)的一种推广． (1)求C的值； (2)组合数具有两个性质：①C＝C；②C＋C＝C.这两个性质是否都能推广到C(x∈R，m∈N)？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由． 解：(1)由题意得C ＝＝－84. (2)性质①不能推广，如当x＝时，C有意义，但C无意义； 性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C(x∈R，m∈N). 证明如下： 当m＝0时，有C＋C＝1＋x＝C； 当m≥1时，有C＋C ＝＋ ＝ ＝＝C. 综上，性质②的推广得证． 学科网（北京）股份有限公司 $