6.2.2 第2课时 排列中的综合应用 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

1．五名同学排成一排照相留念，若甲、乙两人不相邻，则不同的排法共有(　　) A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 解析：选C.先将除甲、乙两人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙两人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有AA＝6×12＝72(种).故选C. 2．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有(　　) A．A种 B．2AA种 C．8A种 D．9A种 解析：选D． 将剩余的4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A＝9A(种).故选D． 3．若从1，2，3，4，5中任选3个不同数字，则组成能被3整除的三位数的个数为(　　) A．12 B．20 C．24 D．36 解析：选C.要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有A＝3×2×1＝6(个)；数字为1，3，5时，有A＝3×2×1＝6(个)；数字为2，3，4时，有A＝3×2×1＝6(个)；数字为3，4，5时，有A＝3×2×1＝6(个)，则组成能被3整除的三位数，共有24个．故选C. 4．若从8人中任选3人排队，其中甲、乙不能分开参排，则不同的排法共有(　　) A．252种 B．278种 C．144种 D．362种 解析：选C.若甲、乙不参排，不同的排法有A＝120(种)；若甲、乙参排，不同的排法有AAA＝24(种)，所以共有不同的排法120＋24＝144(种).故选C. 5．从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，则不同的参赛方案种数为(　　) A．24 B．48 C．72 D．120 解析：选C.由题意知，可分为以下两步：第一步，先从除甲之外的4人中选2人参加A，B两科竞赛，有A＝12种方案；第二步，再从剩下的3人中选2人参加C，D两科竞赛，有A＝6种方案，所以由分步乘法计数原理，可得共有12×6＝72种方案．故选C. 6．(多选)某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是(　　) A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序 B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序 C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序 D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 解析：选AD．A中，从3个歌唱类节目选1个作为开场，有A＝3种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有3A＝360(种)，故A正确； B中，将2个舞蹈类节目捆绑在一起，有A＝2种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有2A＝240(种)，故B错误； C中，除了2个舞蹈类节目以外的4个节目全排列，有A＝24(种)，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈类节目，所以符合题意的方法有24A＝480(种)，故C错误； D中，符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，所以不同的选法共AA＋AA＋AA＝11(种)，故D正确．故选AD． 7．一排6个座位坐了2个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为________．(用数字作答) 解析：由题可知，同一家人座位相邻，将6个座位分成两组，每组3个座位，同一家人相邻的不同坐法种数为2AA＝72. 答案：72 8．航天员在空间站进行某个科学实验，要先后实施A，B，C，D，E，F共6个步骤，其中步骤A只能在第一步或最后一步进行，步骤B，C要求相邻，则不同的实验顺序安排方案有________种．(用数字作答) 解析：首先将步骤B和C捆绑在一起，再和除步骤A之外的3个步骤进行全排列，最后将步骤A排在第一步或最后一步，根据分步乘法计数原理可得AAA＝96(种). 答案：96 9．由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各个数位上的数字之和为288，则x＝________． 解析：当x＝0时，这四个数字组成没有重复数字的四位数的个数为AA＝3×(1×2×3)＝18，此时所有这些四位数各位上的数字之和为18×(1＋4＋5＋0)＝180，不合题意，舍去； 当x≠0时，这四个数字组成没有重复数字的四位数的个数为A＝1×2×3×4＝24， 此时所有这些四位数各位上的数字之和为24×(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2. 答案：2 10．现有4名男生和3名女生相约一起去观看影片，他们的座位在同一排且连在一起． (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 解：(1)根据题意，先将3个女生排在一起，有A＝6种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行全排列，共有A＝120种排法，由分步乘法计数原理，共有6×120＝720种排法． (2)根据题意，先将4个男生排好，有A＝24种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生，有A＝60种排法，故符合条件的排法共有24×60＝1 440(种). (3)根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有A＝24种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有A＝2种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空位中有A＝20种排法，故符合条件的排法共有24×2×20＝960(种). 11．如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有4个桃子，另外一串有3个桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有7个桃子全部摘完，则不同的摘法共有(　　) A．70种 B．35种 C．21种 D．14种 解析：选B．如果将7个桃子全排列有A种方法，但根据题意要摘的两列桃子顺序分别为1－2－3－4和5－6－7，所以共有＝35种方法，故B正确．故选B． 12．(多选)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231，354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则(　　) A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，奇数的个数为30 C．在组成的三位数中，偶数的个数为30 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 解析：选AD．依题意，组成的三位数的个数为A＝60，故A正确；个位为1，3或5时，组成的三位数是奇数，则奇数的个数为AA＝36，故B错误；则偶数有60－36＝24个，故C错误；将这些“凸数”分为三类：①十位为5，则有A＝12种，②十位为4，则有A＝6种，③十位为3，则有A＝2种，所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为12＋6＋2＝20，故D正确．故选AD． 13．某生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看1道工序，第1道工序只能从甲、乙2名工人中安排1人，第4道工序只能从甲、丙2名工人中安排1人，则不同的安排方案有________种． 解析： 由于甲、乙、丙比较特殊，因此可以将他们先安排，以他们照看第1，4道工序分类讨论：①当甲照看第1道工序、丙照看第4道工序时，剩下4个人选择2个照看中间2道工序，于是有A＝12种；②当乙照看第1道工序、甲照看第4道工序时，剩下4个人选择2个照看中间2道工序，于是有A＝12种；③当乙照看第1道工序、丙照看第4道工序时，剩下4个人选择2个照看中间2道工序，于是有A＝12种．综上所述，不同的安排方案一共有12＋12＋12＝36(种). 答案：36 14．某中学预计在“五·四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． (1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ (3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？ 解：(1)根据题意，分2步进行分析： 第一步：先全排列三个发言以外的节目，有A种情况，排好后有6个空位； 第二步：在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有A种情况， 则三个发言不能相邻的排法有A×A＝14 400(种). (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为A； 励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为AAA，共有A＋AAA＝30 960种情况． (3)根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言，共有8个先后位次．往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，可以先在8个位置排五首励志歌曲及一个教师代表发言，有A种方法，剩下两个位置排往届优秀学生视频发言及应届学生代表发言，有1种方法，所以，由分步乘法计数原理可得有A×1＝20 160种情况． 15．5位学生相约一起爬山观景，其中3位女生，2位男生．为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，2位男生不能相邻，且女生甲不能排在最后一个，则不同的排法种数为(　　) A．60 B．36 C．30 D．72 解析：选A.第1类：一位男生在最后，此时有A＝2种情况，3位女生全排列有A＝6种情况，最后将剩余一位男生插入3位女生所形成的4个空中，且不在女生最后，共3种情况，所以共2×6×3＝36种情况； 第2类：男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后，所以女生甲有A＝2种排法，其他2位女生有A＝2种排法，最后2男生插入3女生所形成的4个空中，且不在女生最后，共A＝6种情况，共2×2×6＝24种情况．综上所述，共36＋24＝60种情况．故选A. 16．从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数． (1)这样的三位数一共有多少个？ (2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？ (3)所有这些三位数的和是多少？ 解：(1)根据题意，从2，3，4，7，9这五个数字任取3个组成三位数，有A＝60种情况，即有60个符合题意的三位数． (2)根据题意，个位数字为2的三位数有A＝12个，同理，个位数字为3，4，7，9的三位数都有12个，则所有这些三位数的个位上的数字之和为(2＋3＋4＋7＋9)×12＝25×12＝300. (3)根据题意，由(2)的结论，所有这些三位数的个位上的数字之和为300，同理，这些三位数的十位，百位上的数字之和都为300， 故所有这些三位数的和为300×100＋300×10＋300＝33 300. 学科网（北京）股份有限公司 $