专题11 带电粒子在有界磁场中的运动（举一反三专项训练，7大题型）（全国通用）2026年高考物理二轮复习

专题11 带电粒子在有界磁场中的运动 第一部分 题型专练 【题型01】直线边界问题 【题型02】三角形边界问题 【题型03】圆（弧）形边界问题 【题型04】确定磁场范围问题 【题型05】动态圆模型 【题型06】旋转圆模型 【题型07】平移圆模型 第二部分 重难集训 【题型1 直线边界问题】 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，竖直平面与平面垂直，在平面左侧存在方向沿轴负方向的匀强磁场，右侧存在沿轴正方向的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为且范围均足够大，现有一带正电的粒子从平面上的点沿轴负方向射入左侧的匀强磁场后在两磁场中来回运动，忽略磁场边界效应，不计粒子重力，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在平面左侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一竖直方向的直径，粒子在平面右侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影为一水平方向的直径，组合起来整个运动轨迹在平面上的投影图如A项所示。 故选A。 2．（2025·云南·模拟预测）矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，长l，长。质量为m、电荷量为q的带电粒子，从A点以速度沿方向射入磁场，最终从边离开磁场。不计粒子重力，则匀强磁场的磁感应强度大小范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若带电粒子从B点离开磁场，则粒子做圆周运动的半径为 由牛顿第二定律得 解得 若粒子从C点离开磁场，由几何关系得 由牛顿第二定律得 解得 综上，匀强磁场的磁感应强度大小范围为 故选A。 3．（多选）（2026·贵州毕节·一模）如图，在坐标系的第一、四象限内存在磁感应强度大小分别为B和2B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子以某一速度垂直于y轴射入第四象限，随后垂直于x轴进入第一象限，最后从y轴离开第一象限。不计粒子的重力，则粒子（　　） A．带负电 B．在第一、四象限中运动的半径之比为2∶1 C．在磁场中运动的时间为 D．离开磁场时速度与y轴正方向的夹角为 【答案】AB 【详解】A．粒子以某一速度垂直于y轴射入第四象限，随后垂直于x轴进入第一象限，由左手定则可知，粒子带负电。故A正确； B．粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力 解得 第一、四象限内存在磁感应强度大小分别为B和2B，则半径之比为。故B正确； D．粒子在磁场中的运动轨迹如图 由几何关系得 解得 所以离开磁场时速度与y轴正方向的夹角为。故D错误； C．粒子在磁场中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间为，故C错误； 故选AB。 4．（2025·湖北恩施·一模）如图所示，绝缘水平桌面上放有一长度为的竖直绝缘挡板，整个装置处在方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带电小球紧贴挡板端放置。现给小球一垂直挡板向右的速度，经过一段时间，小球击中挡板右侧面上的某点图中未标出并以速度反弹，与此同时，挡板也以速度向右匀速平移，不计一切阻力。试求： (1)P、N之间的距离d； (2)小球从运动到的时间t； (3)小球从运动到的过程中，挡板对小球所做的功。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）对小球由 且 解得、之间的距离 （2）小球速度反弹，与此同时，挡板也以速度向右匀速平移，则小球在水平方向上以速度向右匀速直线，在沿挡板方向上由， 解得 （3）小球从运动到的过程中，由动能定理可得，挡板对小球所做的功 其中v1=at 解得 【题型2 三角形边界问题】 5．（多选）（2025·河南南阳·模拟预测）如图所示，边长为a的正三角形区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．一电子束从A点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（    ） A．从边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长 B．从边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长 C．从边射出的电子的最大速度为 D．从边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同 【答案】BC 【详解】A．因为电子束从A点以不同的速度沿角平分线射入磁场，电子从AC边射出时速度与边界的夹角均为，电子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角均为，电子在磁场中运动周期是相同的，由 可知，从AC边射出的电子在磁场中的运动时间与轨迹长度无关，故A错误； B．由于从AC边射出的电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角相等，所以轨迹半径越大轨迹越长，根据洛伦兹力提供向心力，有 可得电子在磁场中运动轨迹半径 即轨迹半径越大，说明电子速度越大，故B正确； C．电子从AC边的C点射出时，电子轨迹半径最大且为a，由洛伦兹力提供向心力 解得 故C正确； D．从AC边射出的电子轨迹不同，但所经历的时间相同，从AC边射出的电子偏转角均为60°，动量变化量大小为，因速度不同，动量变化量不同，故D错误。 故选BC。 6．（多选）（2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示，边长为L的正三角形ACD区域内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，在AC边上的O点有一粒子源，沿平行CD方向向磁场内连续射入各种速率、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，O点到A点距离为，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．粒子不可能通过D点 B．粒子速度为时，粒子从CD边射出磁场 C．CD边有粒子射出磁场部分的长度为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】ACD 【详解】A．假设粒子不能通过D点，则一定有粒子的轨迹与AD边（除D点）相切，设该粒子做圆周运动的半径为，则切点到A点距离， 圆心在CD边上，假设成立，因此粒子不可能通过D点，A项正确； B．该粒子经过CD边时，速度与CD垂直，粒子的速度大小 因此粒子速度为时，粒子从AD边射出磁场，B项错误； C．CD边有粒子射出磁场部分的长度等于，即为，C项正确； D．粒子从AC边射出时在磁场中运动的时间最长，最长时间为，D项正确。 故选ACD。 7．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图所示，在区域内存在垂直于三角形平面向里的匀强磁场，，，BC=2d。在顶点处有一粒子源，可以在垂直磁场的平面内，向区域内各个方向均匀射入比荷为、速率为的带负电的粒子，有的粒子能从边射出，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法中正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．从BC边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．边有粒子射出的区域长度为 【答案】D 【详解】A．粒子源射出的粒子有从边射出，，则速度方向与边成角范围内的粒子都能从边射出，如图所示，当粒子速度方向与边成角时，粒子运动轨迹与边相切，其圆心为，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为，又，解得，故A错误； B．所有粒子在磁场中运动的轨迹半径相同，轨迹为劣弧时对应弦长越短，在磁场中运动时间越短，运动时间最短的粒子对应的弦垂直于，由几何关系可得，轨迹对应圆心刚好在边上，最短时间，故B错误； C．轨迹为劣弧时对应圆心角越大，在磁场中运动时间越长，沿弧运动时时间最长，故，故C错误； D．边有粒子射出的区域为，由几何关系可得，故D正确。 故选D。 【题型3 圆（弧）形边界问题】 8．（多选）（2026·海南·一模）如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，现有比荷相等的两个带电粒子a、b，以不同的速度先后从A点沿AO方向和从B点沿BO方向射入磁场，并均从N点射出磁场，若a粒子的速率为v，不计粒子的重力。已知，下列说法正确的是（　　） A．a粒子做圆周运动的半径为R B．b粒子的速率为 C．粒子a的比荷为 D．a、b两粒子在磁场中的运动时间之比为2∶1 【答案】CD 【详解】作出a、b粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 AC．根据几何知识可得 粒子a在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得，A错误，C正确； B．粒子b在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 由几何知识可得 解得，故B错误； D．根据题意可知，a、b粒子在磁场中的运动周期 两粒子在磁场中偏转的圆心角，，则两粒子在磁场中运动的时间之比为，故D正确。 故选CD。 9．（2025·河北保定·一模）核聚变又称热核反应，能释放出巨大能量，但难以控制。目前科学家们应用磁约束成功实现了对核聚变的小规模控制，磁约束的简化原理图如图所示：在半径分别为R₁和R₂的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。假设氘核沿内环切线以速度v₁向左进入磁场，氚核沿内环切线以速度v₂向右进入磁场，已知二者均恰好不从外环射出。不计粒子重力及粒子之间的相互作用，则为（　　） A．7:11 B．2:3 C．4:9 D．1:3 【答案】A 【详解】由题意可知，根据左手定则，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力， 得 几何关系可知，氘核的半径为，有 则 由几何关系可知，氚核的半径为，有 则 联立得 故选A。 10．（2025·甘肃白银·三模）如图所示，在xOy直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R的四分之一圆OADC内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D为圆弧AC的中点；从坐标原点沿x轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q（q>0），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长 C．若粒子从D点射出，则粒子出磁场时速度沿y轴正向 D．从A点射出的粒子和从D点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1 【答案】C 【详解】A．粒子从y轴射出在磁场中运动的时间最长，最长为，故A错误； B．不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所对的圆心角越小，运动时间越短，故B错误； C．若粒子从D点出射，运动轨迹如图 根据几何关系，轨迹所对的圆心角为90°，因此粒子从D点出磁场时，速度沿y轴正向，故C正确； D．从A点出射的粒子在磁场中运动的时间为半个周期，从D点出射的粒子在磁场中运动的时间为四分之一个周期，因此时间之比为2∶1，故D错误。 故选C。 11．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，C、D、E为以O为圆心、半径为R的圆周上的点，，A为CD的中点，在OCEDO内充满垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出，O点处也有磁场），磁感应强度大小为B。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率从AC部分垂直于AC射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，只考虑粒子在一次进出磁场中的运动。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的轨道半径为R B．从CO射出磁场的粒子运动时间不同 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子可能从圆弧边界射出 【答案】C 【详解】 A．如图所示，由洛伦兹力提供向心力 代入数据可得，故A错误； B．粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则有 由图可知，部分粒子从OC边射入磁场，又从OC边射出磁场，由对称性可知，粒子偏转的圆心角为，时间为，故B错误； C．沿AO入射的粒子，与磁场圆在最低点内切，圆心角为270°，粒子在磁场中运动的最长时间为，故C正确； D．从图中可知，粒子不会从圆弧边界射出，故D错误。 故选C。 12．（2025·湖北·模拟预测）扇形聚焦回旋加速器的结构和其“回旋”的原理如图甲所示，将圆心为，半径为R的圆形区域等分成个扇形区域，相互间隔的个区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B，称为峰区域；另外个没有磁场的扇形区域称为谷区域，峰区域和谷区域相间分布。质量为、电荷量为的正离子正在以恒定速率v在某闭合轨道上做周期性运动，不计重力，不考虑相对论效应。 (1)当n=3时，如图甲所示，在一个峰区内粒子运动圆弧的圆心角为多少？ (2)当n=4时，粒子转一圈运动的总时间为多少？ (3)粒子运动速度的最大值与的关系？ 【答案】(1)；(2)；(3)最大速度与无关 【详解】（1）圆形区域被等分成个扇形区域，时，峰区和谷区各3个相间分布，故在一个峰区粒子运动圆弧的圆心角为 （2）做辅助线如图，圆心角 粒子在四个磁场区域内的运动轨迹刚好组成一个完整的圆，洛伦兹力提供向心力，则有， 解得 粒子在磁场内的运动总时间 谷区每段直线长度 粒子做直线运动的时间 解得 粒子绕行一周的总时间 解得 （3）粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有 考虑对称性，画出临界轨迹，如下图所示 由几何关系可得 最大半径 解得，故最大速度与无关 【题型4 确定磁场范围问题】 13．（2025·甘肃白银·二模）如图所示，在直角坐标系中，第三象限某区域存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为、点在该磁场边界上；在第一和第四象限存在有界磁场，边界分别为轴与直线，磁场方向垂直坐标平面向外，磁感应强度大小为。在坐标原点和点之间存在线状粒子收集器，打到收集器的粒子将被收集器收集。为平行于轴且距离轴较远的线状粒子源，宽度为，能连续均匀地发射速度为、方向沿轴正方向的相同的带正电粒子，点在轴上。已知粒子比荷为，发射的粒子在第三象限磁场中运动后均经坐标原点射入第一象限（含坐标轴），部分粒子将被收集器收集。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，不考虑粒子二次进入第一、四象限磁场的情况。求： (1)第三象限磁场的最小面积； (2)被收集器收集的带电粒子与粒子源发射的粒子数之比。 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力 解得粒子在磁场中运动过程的轨迹半径 粒子源发出的粒子均汇聚到点，轨迹和磁场分布如图 磁场区域为半径的圆和沿点射出的粒子轨迹包围的区域，根据几何关系，自点射出的粒子在磁场中转过圆心角满足 解得 第三象限磁场的最小面积为 （2）根据（1）问分析，粒子分布在与轴正方向夹角之间，设与轴正方向夹角为的粒子恰好与第一、四象限磁场的右边界相切，根据几何关系，有 解得 入射速度方向与轴正方向夹角为，其中，粒子返回轴，距离坐标原点距离 当 解得 当时，粒子不能被收集器收集 当，粒子源距离点距离 当，粒子源距离点距离 所以长度 发射的粒子可以被收集器收集的占比为 14．（2025·重庆·一模）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不记其重力。 (1)求上述粒子的比荷； (2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场； (3)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。 【答案】(1)；(2)，；(3) 【详解】（1）设粒子在磁场中的运动半径为r，如图所示 依题意M、P连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 联立代入数据解得 （2）设所加电场的场强大小为E，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 解得 所加电场的场强方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为，设带电粒子做匀速圆周运动的周期为T，则有 ， 联立代入数据解得 （3）矩形对应的最小面积如图所示 根据几何关系可知最小矩形面积为 代入数据解得 【题型5 缩放圆模型】 15．（多选）（2025·陕西安康·模拟预测）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。从圆周上的P点在纸面内沿不同方向射入各种速率的同种带正电粒子，其中某一速率为的入射粒子，经时间t从Q点离开磁场，离开磁场时速度方向与PO连线垂直，OP与PQ的夹角。不考虑粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．速率为的粒子在磁场中运动的轨迹半径为 B．所有速率为的入射粒子，离开磁场时的速度方向都是平行的 C．从Q点离开磁场的粒子的速率最小值为 D．速率为的粒子在磁场中运动的最长时间为t 【答案】BC 【详解】A．作出运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，为等边三角形，则速率为的粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，故A错误； B．由于粒子圆周运动的轨道半径等于磁场圆的半径，可知，粒子入射点P、磁场圆的圆心O、粒子出射点与粒子圆周运动的圆心四点连线构成的四边形为菱形，根据几何关系可知，所有速率为的入射粒子，离开磁场时的速度方向都是平行的，离开磁场时的速度方向均垂直于OP，故B正确； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 解得， 对速率为的粒子，结合上述有 由于速率越小，轨道半径越小，从P点射出的粒子圆周运动的最小半径 由于 解得，故C正确； D．结合上述，速率为的粒子的轨道半径 该粒子在磁场区域的轨迹为一条劣弧，对应劣弧的弦越长，运动的时间越长，可知，在磁场中运动轨迹对应的最长的弦为磁场圆的直径，根据几何关系可知，此时圆弧对应的圆心角为，则速率为的粒子在磁场中运动的最长时间 粒子速率为的入射粒子，经时间t从Q点离开磁场，结合上述有 解得，故D错误。 故选BC。 16．（2025·广西·模拟预测）如图所示，直角三角形abc内有一磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的有界匀强磁场，且∠c=30°，bc =L，bc中点有一离子源S，能均匀的向三角形平面内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子质量为m、电荷量为q。若有离子刚好从b点沿ab方向射出，则能够从bc边射出的离子在磁场中经过的区域面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】刚好从b点沿ab方向射出的离子的运动轨迹如图（a）所示，其圆周半径，恰好能从bc边射出的离子的轨迹如图（b）所示，与ac边相切于A点，将该轨迹绕着S点逆时针缓慢旋转，可得到其他从bc边射出的离子的轨迹，该轨迹与bc边的交点即为从bc边射出的出射点，这些轨迹在磁场中经过的区域如图（c）阴影部分所示 可知，阴影部分一个半径为R的半圆和一个半径为2R的圆弧构成，过圆心O1作bc边的垂线分别交ac边、bc边于D点，连接O1、A点，由几何知识可得，， 联立解得， 则阴影部分的面积为 故选B。 【题型6 旋转圆模型】 17．（多选）（2025·山西·模拟预测）如图所示，xoy平面中x轴上方存在着上边界为的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，磁感应强度大小为。O点有一粒子源可以向一、二象限各个方向发射速度大小为，质量为、电荷量为的带正电同种粒子。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．为使发射的所有粒子不从上边界飞出，磁感应强度应满足 C．若磁感应强度大小为，所有粒子运动的区域面积为 D．若磁感应强度大小为，粒子能从上边界射出的宽度为 【答案】AC 【详解】A．由题知，向轴正向发射的粒子，根据左手定则，可知粒子在磁场偏转的最大圆心角为，故粒子在磁场运动的最长时间为，故A正确； B．向轴正向发射的粒子最容易从上边界飞出，当其恰好从上边界飞出时，根据几何关系，可得半径 根据洛伦兹力提供向心力 解得 故为使其从上边界飞出应满足，故B错误； C．若磁感应强度为时，根据洛伦兹力提供向心力 解得半径 根据几何关系，可得所有粒子运动的区域面积为，故C正确； D．若磁感应强度为，根据洛伦兹力提供向心力 解得半径 可知向轴正向发射的粒子从上边界最右侧飞出，其轴坐标为，当粒子轨迹和上边界相切时，其轴坐标为，故粒子能从上边界射出的宽度为，故D错误。 故选AC。 18．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在直角坐标系中的一、二、四象限中存在匀强磁场，方向垂直纸面向里，半径为R的半圆ACO内部没有磁场。第四象限存在水平向左的匀强电场，大小为E。比荷为p的带电粒子（不计重力）从直径AO上任意一点以同样的速率垂直于AO射向圆弧边界，带电粒子进入磁场偏转一次后都能经过O点。求： (1)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； (2)磁场区域的最小面积； (3)若从O点以某一角度射出的粒子进入第四象限，经电场偏转，速度方向改变90°，到达Q点，其中OQ=L，求粒子从O到Q所用时间。 【答案】(1)R；(2)2πR2；(3) 【详解】（1）任意带电粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系得四边形O′A1A2A3为菱形，所以带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R。 （2）根据带电粒子的运动轨迹，可以判断磁场范围，如图所示 可知磁场最小面积为以半径2R的半圆面积，即 （3）建立如图所示坐标系x′Oy′，设初速度与x轴的夹角为α，由牛顿第二定律得 可得 把加速度正交分解有， 设粒子从O运动到Q用时t，在x′方向，粒子做匀减速直线运动到速度减为零，看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，则有 x′方向上 y′方向上 依题意有 解得 【题型7 平移圆模型】 19．（多选）（2025·四川广安·模拟预测）如图，以f为圆心、半径为m的四分之三圆弧区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度T。一群不计重力、质量kg、电荷量C的带电粒子垂直于Oa边以m/s的速度射入磁场区域。下列判断正确的是（　　） A．若粒子带正电，所有粒子射出磁场时的速度方向都平行 B．若粒子带正电，所有粒子出射点都在b点 C．若粒子带负电，所有粒子出射点都在e点 D．所有粒子在磁场中运动的最长时间为s 【答案】BD 【详解】AB．若粒子带正电，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得粒子的运动半径为 所以带正点的粒子从O点射入，形成以为半径的圆弧，从b点出去，从aO边射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在M点进入磁场，其圆心为，如图所示 根据几何关系，可得虚线的四边形是菱形，则粒子的出射点一定是从B点射出，同理可知，从aO边射入的粒子，出射点都在b点，但射出的速度方向并不相同，A错误，B正确； C．同理，带负电的粒子，从a点入射，形成以为半径的圆弧，从e点离开，从aO间射出的粒子，顺时针偏转，轨迹如图 有的能到达e点，有的从Of边离开，故C错误； D．根据运动轨迹可知，所有粒子中最长的轨迹为半圆，故在磁场中运动的最长时间为，故D正确。 故选BD。 20．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向里。大量质量为m、带电荷量为q（）的粒子以速度从y轴上间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得粒子运动的半径为 运动的周期为 粒子进入磁场如图 粒子从A射出磁场对应的圆心为C，此时有 时间最长对应圆心角最大，对应AB最大，由几何知识得，当粒子从c点射出时轨迹圆的圆心角最大，如图所示， 此时，即，则粒子在磁场中运动的最长时间为，故选A。 1．（2026·江苏·一模）某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【答案】D 【详解】A．a离子加速过程 解得，故A错误； B．b离子加速 解得 磁场中轨道半径 离子沿y轴入射时，打在底片上的位置为2rb；沿与y轴成角入射时，水平位移为 亮线长度为 代入，得亮线长度，故B错误； C．磁场中，洛伦兹力提供向心力，得轨道半径 则轨道半径 离子沿与y轴成角入射时，打在x轴上的水平位移为 沿y轴入射时，水平位移为 a离子的最小水平位移（沿角入射） b离子的最大水平位移（沿y轴入射） 两种离子的最近距离为，故C错误； D．要完全分辨，需满足 通过半径公式推导，可得，故D正确； 故选D。 2．（多选）（2025·湖北武汉·一模）如图所示，在平面内的第一象限中有一圆形磁场区域（未画出），磁场方向垂直于纸面，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电的粒子，从轴上的点以速度沿轴正方向进入第一象限，从某点进入磁场后穿出磁场，再经过轴上的点与轴正方向成角离开第一象限。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动，洛伦兹力的冲量为零 B．粒子在磁场中运动，洛伦兹力做功为零 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．圆形磁场区域的最小半径为 【答案】BD 【详解】A．由于粒子进入磁场和离开磁场时的速度方向不同，故动量发生了变化。根据动量定理可知，合外力的冲量等于动量的变化量，所以洛伦兹力的冲量不为零，故A错误； B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，故洛伦兹力的方向始终与粒子的速度方向垂直，所以洛伦兹力做功为零，故B正确； C．如图所示有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即 可得粒子做圆周运动的半径 根据周期与速度的关系式可得粒子做圆周运动的周期为 粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。根据几何关系可知，粒子在磁场中运动的最大圆心角为，则粒子在磁场中运动的最长时间为，故C错误； D．粒子在磁场中运动的轨迹为一段圆弧，圆形磁场区域的最小半径应对应着以粒子运动轨迹的弦长为直径的圆。根据几何关系，粒子运动轨迹的弦长为 则圆形磁场区域的最小半径为，故D正确。 故选BD。 3．（多选）（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，空间存在方向垂直于xOy平面（纸面）向里的匀强磁场，在区域，磁感应强度大小为B，在区域，磁感应强度大小为3B。一质量为m、电荷量为的带电粒子以速度v从坐标原点O沿x轴正方向射入磁场，不计带电粒子的重力。下列说法正确的是（    ） A．粒子在区域的运动半径是区域运动半径的3倍 B．粒子从射入磁场到速度再次沿x轴正方向的时间为 C．粒子速度再次沿x轴正方向时与O点的距离为 D．粒子在区域与区域的运动周期之比为1:3 【答案】AC 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得半径 区域半径，区域半径 则，故A正确； C．粒子在y轴方向的总位移为，故C正确； BD．周期，周期 粒子从射入到速度再次沿x轴正方向的时间为两区域各运动半个周期的时间和，即，故B错误； 粒子在区域与区域的运动周期之比，故D错误。 故选AC。 4．（多选）（2025·陕西·二模）如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，圆外存在垂直纸面向里的匀强磁场、磁感应强度大小均为B、O为圆心，圆形区域的边缘有一点S、由S点沿方向发射一带正电的粒子，经过一段时间粒子再次回到S点。已知粒子的电荷量为q，粒子的质量为m，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为时，粒子第一次返回S点的速度与初速度方向相同 B．粒子的速率为时，粒子由射出至第一次回到S点的时间为 C．粒子的速率为时，粒子第一次返回S点的速度与初速度方向相同 D．粒子的速率为时，粒子由射出至第一次回到S点的时间为 【答案】BC 【详解】A．粒子的速率为时，由洛伦兹力提供向心力 解得 作出粒子的轨迹，如图所示 设圆弧SC对应的圆心角为，则有 解得 可知C点为圆的三等分点之一。由对称性，粒子再次返回S点时的速度方向与初速度方向相反，故A错误； B．粒子在磁场中的运动周期为 整理得 圆弧CD对应的圆心角为300°，则粒子由射出到返回到S点的时间为 解得，故B正确； C．粒子的速率为 由洛伦兹力提供向心力 解得 作出粒子的轨迹，如图所示 设圆弧SE对应的圆心角为，则有 解得 则E点为圆的四等分点之一，由对称性，粒子再次返回S点时的速度方向与初速度方向相同，故C正确； D．圆弧EF对应的圆心角为270°，则粒子由射出到返回到S点的时间为 解得，故D错误。 故选BC。 5．（多选）（2025·甘肃白银·一模）如图所示，平面内有一个半径为R的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域abcd，两个区域的切点O为ad边的中点，ab=R，bc=2R，bc和cd边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为m，电荷量为+q）以速度v0，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到cd屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为 【答案】ACD 【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有，，解得， 沿着半径射入的粒子一定沿半径射出，根据几何关系可知，粒子在圆形磁场中的轨迹为四分之一圆弧，则运动时间为 解得，A正确，B错误； C．结合上述可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半径，则粒子入射点、出射点、磁场圆形区域的圆心与轨迹圆的圆心四点构成的四边形为菱形，则所有粒子经过圆形磁场均可由切点O进入矩形磁场内部，速度方向为任意方向，根据圆形磁场区域的磁汇聚规律，根据几何关系可知，沿平行于Oa方向射入的粒子打在b点，此时为最远路径，如图1所示，则粒子在磁场中所经过的面积为一个圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和，解得，C正确； D．打在cd边的轨迹如图2所示，打到c点的粒子速度方向与ad边垂直，是由f点射入的粒子。假设从e点射入的粒子正好打在d点，由于粒子半径与Od的长度相等，该方向的粒子的圆心角为。由图可知ef为打到cd边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为30°。则打在cd边上的粒子占进入矩形区域内粒子个数比为，D正确。 故选ACD。 6．（多选）（2025·陕西西安·一模）如图，长方体区域中。a处的粒子源可在范围内朝各个方向发射速率均为v的同种粒子，粒子比荷为k。该区域仅存在由a指向的匀强电场E时，粒子均落在矩形范围内；该区域仅存在由a指向的匀强磁场B时，粒子均通过边。不计重力及粒子间的相互作用，则其中某个粒子在该区区域运动过程中（　　） A．E的量大值为 B．E的大小可能为 C．B的大小可能为 D．B的大小可能为 【答案】BD 【详解】AB．只有电场时，粒子做类平抛，根据运动学规律则有， 由牛顿第二定律可得 解得 故有 联立解得 即E的最小值为，A错误，B正确； CD．只有磁场时，粒子均通过ab边，则沿ad射出的粒子恰与cd相切，半径 洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 联立解得，故C错误，D正确。 故选BD。 7．（多选）（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，质量为、电荷量为的粒子从静止开始经加速电压加速后，从三维直角坐标系的原点处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为、方向沿轴正方向。已知加速电压调节范围为，其中轴上距离点1.5处有一长为的吸收板，吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．当粒子沿轴正方向射入磁场时，调节，板上有粒子击中的长度为 B．当，粒子从点射入平面的区域，速度方向在均匀变化，且沿各方向发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50% C．当时刻，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，粒子与轴距离最大时的时间为 D．当，粒子从点射入平面的区域，且速度方向与轴正方向夹角为，则经过时粒子的坐标为 【答案】AD 【详解】A．粒子经加速电压后，由动能定理可知 速度 代入磁场中半径公式 可求得粒子的轨迹半径与电压的关系，当时，半径 时，半径 时，半径 当粒子沿轴正方向射入磁场时，粒子在平面偏转半个圆周打在轴上，当加速电压为时粒子打中板上位置最远，为，因此打中板长度为，故A正确； B．当、粒子射向平面，恰好打在板上的临界情况如图所示 由几何关系可知 则击中吸收板的粒子占粒子总数的比例为，故B错误； C．当，粒子射向平面，速度方向与轴正方向夹时，粒子的运动轨迹如下图所示 将速度分解为沿轴方向的和沿轴方向的，则粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，故当粒子运动圆周运动半周期的奇数倍时粒子离轴最远，由可知，粒子与轴距离最大时的时间为，故C错误； D．当，粒子速度方向与平面和坐标轴夹角均为时，初速度大小为 将其分解为轴方向分速度 和平面分速度 粒子在轴方向以分速度做匀速直线运动，在平面以分速度做匀速圆周运动，则经过时粒子的坐标为，故D正确。 故选AD。 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，置于坐标原点O的光电效应发生器（图中未画出），可产生大量在xOy平面内运动的光电子，沿不同方向进入到x轴上方区域。空间中存在垂直平面向里的匀强磁场、磁感应强度大小为B。x轴上有一足够长的金属板M，左端点为C，另有一平行y轴足够长的金属板N，上端为D，OC=2CD。两金属板交点处绝缘，电子可经导线、微安表A1、A2流入大地。已知光电效应截止频率，普朗克常量h，电子质量m、电荷量-e（e>0）。当入射光频率增至时，A1开始有示数。忽略电子重力、相互作用力、碰撞及电流的磁效应，未打到板的电子被屏蔽。 (1)求C点所处位置的坐标。 (2)入射光频率超过时，A2开始出现示数，求临界频率的大小。 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）光电效应发生器中金属逸出功为 入射光频率为时，逸出光电子的最大初动能 对应电子速度为v0，满足 速度为v0、沿y轴正方向射出的电子经磁场偏转后恰好打在C点，A1开始有示数。由洛伦兹力提供向心力有 由几何关系可知 解得   C点坐标为 （2）恰有电子打到N板时，光电效应产生的电子中，速度最大、半径最大的电子轨迹过C点且与N板相切。设该电子射入磁场时与速度与x轴正方向夹角为θ，圆周运动半径为r1，由几何条件可知， 可知 由洛伦兹力提供向心力，有 由 解得 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null