7.3.2 离散型随机变量的方差(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量的方差及标准差，承接离散型随机变量均值的学习，通过甲、乙射击成绩均值相同需区分稳定性的问题引入，系统讲解方差定义、意义及标准差，构建从均值到离散程度度量的知识支架。 以射击比赛、密码尝试等现实情境为载体，引导学生用数学眼光发现问题，通过定义推导与性质应用培养数学思维的逻辑性，结合手表误差分析等实例提升用数学语言解决实际问题的能力。课中例题与跟踪训练助力教师高效教学，课后练习题与总结帮助学生巩固知识、查漏补缺。

7．3.2　离散型随机变量的方差 学习目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 甲、乙两位同学射击情况如下表所示： 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 思考1　要从甲、乙两名同学中挑出一人代表班级参加射击比赛．根据平均射击水平，能挑选出哪位同学参赛？ 提示：E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，两名同学的射击水平一样，无法挑选参赛选手． 思考2　 试想用什么指标区分甲、乙两名同学的射击水平？ 提示：可以考虑谁的成绩稳定或不稳定，集中或分散的指标来区分． 一　离散型随机变量的方差 1．定义 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝____________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X). 2．意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的____________．方差或标准差越小，随机变量的取值越________；方差或标准差越大，随机变量的取值越________． [答案自填] (xi－E(X))2pi　 离散程度　集中　分散 　(对接教材例5)袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用X表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球，求X的方差． 【解】　由题意知X的可能取值为1，2，3，当X＝1时，有(1，1)一种情况； 当X＝2时，有(1，2)，(2，1)，(2，2)三种情况； 当X＝3时，有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)五种情况， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以X的均值为E(X)＝1×＋2×＋3×＝， 方差为D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 求离散型随机变量X的方差的基本步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取值． (2)写出X的分布列． (3)由均值的定义求出E(X). (4)利用公式D(X)＝(xi－E(X))2pi，求出D(X). [跟踪训练1] 小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0～9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、均值及方差． 解：由题意，X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝，方差D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 二　离散型随机变量的方差的性质 1．D(X＋b)＝________； 2．D(aX)＝________； 3．D(aX＋b)＝________； 4．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. [答案自填] D(X)　a2D(X)　a2D(X) 　已知X的分布列为 X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列及均值； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 【解】　(1)由分布列的性质知＋＋a＝1，解得a＝， 所以X2的分布列为 X2 0 1 P E(X2)＝0×＋1×＝. (2)方法一：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－. 故X的方差D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝. 方法二：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝. (3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11. 【变式探究】 (综合变式)在本例中，已知X的分布列为 X －1 0 1 P a b c 若E(X)＝－，E(X2)＝，则logabc的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D．因为E(X)＝－， 所以－a＋c＝－.① 又X2的分布列为 X2 0 1 P b a＋c 由E(X2)＝得a＋c＝.② 又a＋b＋c＝1.③ 由①②③解得a＝，b＝，c＝. 所以logabc＝log(×) ＝log()4＝4log＝4.故选D． 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 (1)定义法：方差的计算需要一定的运算能力，一般是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差，在随机变量X2的均值比较容易计算的情况下，运用D(X)＝E(X2)－(E(X))2不失为一种比较实用的方法． (2)性质法：若变量间存在Y＝aX＋b的关系，应注意均值与方差性质的运用，即应用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求解． [跟踪训练2] 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)＝. (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求的值． 解：(1)由题意可得 解得 所以D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝. (2)因为Y＝3X－2，则D(Y)＝9D(X)＝5， 所以＝. 三　离散型随机变量方差的实际应用 　甲、乙两名射手在一次射击比赛中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为 ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； (2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙技术水平． 【解】　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，所以a＝0.3. 同理0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4. (2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2, D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81, D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势． 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． [跟踪训练3] 甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为 甲品牌的日走时误差分布列 X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的日走时误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (1)求E(X)和E(Y)； (2)求D(X)和D(Y)，并比较两种品牌手表的性能． 解：(1)由已知可得，E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0，E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0. (2)由(1)知，E(X)＝0，所以D(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2. 又E(Y)＝0，所以D(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. 所以，E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以，甲、乙两种品牌手表日走时误差的平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定． 1．若随机变量X的分布列如下： X 0 1 P 0.4 m 则D(X)＝(　　) A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 解析：选C.根据分布列的性质可得m＝1－0.4＝0.6， 所以E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，所以D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.故选C. 2．(多选)(教材P70T1改编)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3)，则(　　) A．E(X)＝ B．D(X)＝ C．E(3X＋1)＝7 D．D(3X＋1)＝5 解析：选ABD．由题意可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝， 则D(X)＝×＋×＋×＝， 故E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝8，D(3X＋1)＝32D(X)＝5.故选ABD． 3．已知随机变量ξ的分布列为 ξ －1 0 1 P a b c 若a，b，c成等差数列，且E(ξ)＝，则b的值是________，D(ξ)的值是________． 解析：由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，① 又由分布列的性质得a＋b＋c＝1，② E(ξ)＝－a＋c＝，③ 联立①②③解得a＝，b＝，c＝， 则D(ξ)＝×＋×＋×＝. 答案：　 4．(教材P70T3改编)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.比较甲、乙的射击技术水平． 解：由题意得0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 所以E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2， 所以E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比乙稳定，所以甲比乙的射击技术水平高． 1．已学习：(1)离散型随机变量的方差、标准差；(2)离散型随机变量的方差的性质；(3)离散型随机变量的方差的实际应用． 2．须贯通：求离散型随机变量的方差关键在于：(1)准确求出随机变量的分布列；(2)计算均值E(X)；(3)利用定义计算D(X). 3．应注意：(1)容易对方差公式套用错误；(2)对于标准差和方差的单位容易混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $