7.1.2 全概率公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦全概率公式这一核心知识点，基于概率加法公式和乘法公式，通过三个罐子取球情境引入，明确事件互斥与样本空间划分关系，推导全概率公式，延伸贝叶斯公式（选学），结合李老师迟到、学生近视等实例应用，辅以跟踪训练与综合探究，构建完整学习支架。 该资料以生活实例为载体，通过“情境问题—公式推导—应用拓展”设计，引导学生用数学眼光观察现实概率问题，用数学思维拆分事件、逻辑推理（如样本空间划分），用数学语言规范表达计算过程。课中思考问题引导探究，例题解析清晰；课后跟踪训练与变式探究助学生巩固，查漏补缺，提升解决实际问题能力。

7．1.2　全概率公式 学习目标 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式．　2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率．　3.了解贝叶斯公式，并会简单应用． 有三个罐子，分别编号为1，2，3，1号装有2个红球1个黑球，2号装有3个红球1个黑球，3号装有2个红球2个黑球，某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球． 思考1　设事件Ai表示“从i号罐子取球”，i＝1，2，3.事件A1，A2，A3有何关系？ 提示：A1，A2，A3两两互斥且A1∪A2∪A3＝Ω. 思考2　设事件B表示“任取一球是红球”，事件B如何用Ai拆分？ 提示：B＝A1B∪A2B∪A3B． 一　全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝____________． [答案自填] 　(Ai)P(B|Ai) 　(对接教材例4)李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会．根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50.他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车．设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率． 【解】　用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P(B|A)是乘出租车迟到的概率，P(B|)是骑自行车迟到的概率．根据题意P(A)＝0.01，P(B|)＝0.05，P(B|A)＝0.50. 因为A，互斥，所以AB，B互斥． 利用概率的可加性得到P(B)＝P(AB∪B)＝P(AB)＋P(B). 因为P(A)>0，P()>0，再由概率的乘法公式可知，李老师迟到的概率是 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.01×0.50＋(1－0.01)×0.05＝0.054 5.　 两个事件的全概率问题的求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1与A2(或A与). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). [跟踪训练1] (1)长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.令A1＝“玩手机时间超过1小时的学生”，A2＝“玩手机时间不超过1小时的学生”，B＝“任意调查一人，此人近视”， Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.9，P(B|A1)＝0.6，P(B)＝0.2，依题意有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.1×0.6＋0.9×P(B|A2)＝0.2，解得P(B|A2)＝＝，从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.故选C. (2)某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一、二、三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是0.8，0.7，0.5，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为________． 解析：设事件Ai表示选到i级队员(i＝1，2，3)，事件B表示任选一名队员通过选拔进入比赛，A1，A2，A3两两互斥，则P(A1)＝＝0.5，P(A2)＝＝0.25，P(A3)＝＝0.25，P(B|A1)＝0.8， P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.5， 所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.5×0.8＋0.25×0.7＋0.25×0.5＝0.7. 答案：0.7 二　 *贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 　某同学喜爱篮球和跑步运动．在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为__________． 【解析】　设下午打篮球为事件A，晚上跑步为事件B，易知P(A)＝P(AB)＝，P(B|)＝，又A与互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)＋P()P(B|)＝＋×＝，所以P(A|B)＝＝. 【答案】　 应用贝叶斯公式求概率的步骤 (1)根据题目，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； (2)利用全概率公式求出P(B)； (3)代入贝叶斯公式求得概率． [跟踪训练2] 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为____________． 解析：记事件A为车床加工的零件为次品，记事件Bi为第i台车床加工的零件(i＝1，2，3)，B1，B2，B3两两互斥，则P(A|B1)＝8%，P(A|B2)＝3%，P(A|B3)＝2%，P(B1)＝10%，P(B2)＝40%，P(B3)＝50%，任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝3%，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为P(B3|A)＝＝＝＝. 答案： 三　全概率公式的综合应用 　在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率． 【解】　(1)设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，C，事件D为这个人患流感，所以P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.06， P(D|B)＝0.05，P(D|C)＝0.04， 因此P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051. (2)P(A|D)＝＝ ＝＝. 【变式探究】 (设问变式)如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率． 解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A或地区B， 所以P(A)＝，P(B)＝， P(D|A)＝0.06，P(D|B)＝0.05， P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＝×0.06＋×0.05＝. 全概率公式与条件概率的综合 (1)在随机试验中，事件B的发生，常常伴随着Ai(i＝1，2，…n)的发生，这时只要把事件B拆分成互斥事件的和B＝iB，然后用全概率公式解决就行．如图： (2)如果知道事件B发生了，需求事件B发生的原因的概率(就要用贝叶斯公式解决，没有选学贝叶斯公式的学生，可忽略此公式)，我们可借助条件概率P(Ai|B)(i＝1，2，…，n)解决就可以了． [跟踪训练3] 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当球员甲出场比赛时，求球队获胜的概率； (2)当球员甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担任前卫的概率． 解：(1)设A1表示“球员甲担任边锋”，A2表示“球员甲担任前卫”，A3表示“球员甲担任中场”，A1，A2，A3两两互斥，设B表示“球队获胜”， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.6＋0.3×0.8＋0.2×0.7＝0.68， 所以球员甲出场比赛时，球队获胜的概率为0.68. (2)由(1)知：P(B)＝0.68， 则P(A2|B)＝＝＝， 所以在球队获胜的条件下，球员甲担任前卫的概率为. 1．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后不放回地从中各任取一张，则乙中奖的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设甲中奖为A事件，乙中奖为B事件，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故选B． 2．(多选)(教材P52练习T2改编)两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%，将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是(　　) A．这件产品是合格品的概率为0.949 B．这件产品是次品的概率为0.949 C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为 D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为 解析：选AC.对于A，设Ai＝“取出的是第i批产品”(i＝1，2)，B＝“取出的是合格品”，则A1，A2互斥，所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝30%×(1－3%)＋70%×(1－6%)＝0.949，A正确；对于B，设C＝“取出的是次品”，P(C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)＝30%×3%＋70%×6%＝0.051，B错误；对于C，D，P(A1|B)＝＝＝，P(A2|B)＝＝＝，C正确，D错误．故选AC. 3．书架上放有2本语文书和3本数学书，学生甲先随机取走2本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书．已知甲至少取走了1本数学书，则乙取走语文书的概率为____________． 解析：记2本语文书为a，b，3本数学书为1，2，3，则甲至少取走了1本数学书包含的样本点有：(a，1)，(a，2)，(a，3)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(1，2)，(2，3)，(1，3)，共9个． 设“甲至少取走了1本数学书的情况下甲取走i本数学书”为事件Ai(i＝1，2)，“乙取走语文书”为事件B，则事件A1包含(a，1)，(a，2)，(a，3)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，共6个样本点， 故P(A1)＝＝，P(B|A1)＝， 同理可得P(A2)＝，P(B|A2)＝， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 答案： 4．(教材P52T4改编)假设有两箱同种零件，第一箱内装有50件，其中10件为一等品；第二箱内装有30件，其中18件为一等品(两箱外观相同).现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机地取出两个零件(取出的零件不放回).求先取出的零件是一等品的概率． 解：设事件Ai表示“第i次(不放回地抽取)取得的是一等品”，i＝1，2，事件B表示“从第一箱中取出零件”，则表示“从第二箱中取出零件”，由题意可得，P(B)＝P()＝，且P(A1|B)＝＝，P(A1|)＝＝，由全概率公式可得，P(A1)＝P(A1|B)P(B)＋P(A1|)·P()＝×＋×＝.所以先取出的零件是一等品的概率为. 1．已学习：(1)全概率公式；(2)贝叶斯公式(选学)；(3)全概率公式的综合应用． 2．须贯通：利用全概率公式的关键是把样本空间拆分成若干个两两互斥事件的并集，化整为零，然后利用乘法公式和互斥事件概率加法公式求解． 3．应注意：事件拆分不合理或不全面． 学科网（北京）股份有限公司 $