7.1.1 第1课时 条件概率的概念与计算(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“条件概率的概念与计算”核心知识点，从古典概型（如抛掷硬币两次试验）切入，通过问题链引导学生发现条件概率与普通概率的差异，进而构建概念，再系统讲解定义法和缩小样本空间法两种计算方法，形成从具体实例到抽象概念的学习支架。 该资料以生活实例（节目抽取、党史知识竞赛抽题）引导学生用数学眼光观察现实问题，通过两种计算方法对比培养数学思维（推理能力），符号表达（P(B|A)）强化数学语言。课中例题与变式助教师高效授课，课后跟踪训练和练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

7．1　条件概率与全概率公式 7．1.1　条件概率 第1课时　条件概率的概念与计算 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率．　2.了解条件概率与独立性的关系，会用缩小样本空间法计算条件概率． 同学们，我们已经知道：抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}． 思考1　两次都是正面向上的事件记为B，P(B)是多少？ 提示：B＝{正正}，故P(B)＝. 思考2　在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示：将第一次出现正面向上的事件记为A，将第二次出现正面向上的事件记为B，则A＝{正正，正反}，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为. 思考3　以上两个事件的概率为什么不一样？ 提示：因为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率相当于以A为样本空间积事件AB发生的概率，两者的样本空间发生了变化，所以其概率是不一样的． 一　条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． [答案自填] 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，等于A，B同时发生的概率．(　　) (3)P(A|B)＝P(B|A).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．判断下列哪些是条件概率？ (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高三的女生获得冠军的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知在抽到方块的条件下，求抽到的是方块9的概率． 解：(1)由于高三的女生获得冠军的概率，是在一名女生获得冠军的条件下求的概率，所以所求概率是条件概率． (2)掷一枚质地均匀的骰子会出现1，2，3，4，5，6这6个不同结果，求掷出的点数为3的概率是古典概型，所以掷出的点数为3的概率不是条件概率． (3)由于求抽到方块9的概率，是在抽到方块的条件下求出的概率，所以求抽到的是方块9的概率是条件概率． 条件概率概念的理解 (1)P(B|A)与P(B)：在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等． (2)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率． (3)判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 二　利用定义求条件概率 　(对接教材例1)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 【解】　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB． (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，试验的样本空间Ω包含的样本点数n(Ω)＝A＝30. 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 【变式探究】 (设问变式)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. 则P(A)＝，P(AC)＝＝， 所以P(C|A)＝＝. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)； (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． [跟踪训练1] (1)已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为(　　) A．22.5% B．30% C．40% D．75% 解析：选C.设事件A为“抽到喜欢文学阅读的学生”，事件B为“抽到喜欢科普阅读的学生”， 则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.3， 则P(B|A)＝＝＝＝40%， 即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为40%.故选C. (2)抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”，则P(B|A)＝________；P(A|B)＝________． 解析：抛掷红、蓝两枚骰子，样本空间共有6×6＝36个等可能的样本点，其中事件A包含的样本点为6×2＝12(个)，所以P(A)＝＝； 由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8，6＋6>8， 所以事件B包含的样本点为4＋3＋2＋1＝10(个)，所以P(B)＝＝； 事件AB包含的样本点为6个， 故P(AB)＝＝. 由条件概率公式得： P(B|A)＝＝＝； P(A|B)＝＝＝. 答案：　 三　缩小样本空间求条件概率 　某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中(包含3道选择题和2道填空题)不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则P(B|A)＝________． 【解析】　第1次抽到选择题后，第二次再抽一道题，其样本空间有4个样本点，满足事件B 的样本点有2个，所以P(B|A)＝＝. 【答案】　 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB． (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． [跟踪训练2] 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是x，第二次取出的球的数字是y.若事件A＝“x＋y为偶数”，事件B＝“x，y中有偶数且x≠y”，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由题意，有放回地随机取两球，所以n(Ω)＝36，因为事件B＝“x，y中有偶数且x≠y”，所以n(B)＝36－3×3－3＝24，因为事件A＝“x＋y为偶数”，事件B＝“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB＝“x，y均为偶数且x≠y”，所以n(AB)＝A＝6，所以P(A|B)＝＝＝.故选C. 1．已知P(AB)＝0.6，P(B|A)＝0.8，则P(A)＝(　　) A．0.75 B．0.6 C．0.48 D．0.2 解析：选A.由条件概率的公式P(B|A)＝，得0.8＝，解得P(A)＝0.75.故选A. 2．(多选)据气象部门统计，某地区不下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮四级以上的风，则(　　) A．P(A|B)＝ B．P(B|A)＝ C．P(B|A)＝ D．P(A|B)＝ 解析：选BD．由题意可知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝， 所以P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.故选BD． 3．(教材P48T2改编)从一副扑克52张牌(去掉两张王牌后)中任取1张，则在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率是________． 解析：设A＝“抽到梅花”，B＝“抽到梅花5”．已知在A发生的条件下，A成为试验的样本空间，A中的样本点具有等可能性，B是A的子集，所以P(B|A)＝＝. 答案： 4．(教材P48T3改编)盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个E型玻璃球，10个F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？ 解：方法一：设取到的球是蓝球为事件A，取到的球是E型玻璃球为事件B， 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 方法二：设取到的球是蓝球为事件A，取到的球是E型玻璃球为事件B， 因为n(A)＝7＋4＝11，n(AB)＝4， 所以P(B|A)＝＝. 故取到的是蓝球，该球是E型玻璃球的概率是. 1．已学习：(1)条件概率的定义；(2)条件概率的计算． 2．须贯通：求条件概率的两种常用方法：定义法、缩小样本空间法． 3．应注意：P(B|A)与P(AB)的区别与联系． 学科网（北京）股份有限公司 $