6.3.2 二项式系数的性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学二项式系数的性质，从杨辉三角引入，通过思考问题归纳对称性、增减性与最大值、各二项式系数和等核心性质，构建从观察到归纳再到应用的学习支架，衔接二项式定理与实际问题求解。 该资料以杨辉三角为直观载体，引导学生用数学眼光发现规律，通过例题推理培养数学思维，如赋值法求系数和体现数学语言的精确表达。课中辅助教师清晰呈现性质推导，课后跟踪训练助力学生巩固知识、查漏补缺，提升问题解决能力。

6．3.2　二项式系数的性质 学习目标 1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系．　2.掌握二项式系数的性质，并会简单应用．　3.理解和初步掌握赋值法及其应用． (a＋b)n展开式的二项式系数C，C，C，…，C可表示成如下形式， 思考1　上述表格最显著的特点是什么？ 提示：(1)从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小． (2)表中每行两端的数都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和． 思考2　每一行中，与首末等距离的二项式系数有怎样的关系？ 提示：相等． 思考3　当n＝6时，你能否写出展开式的二项式系数？ 提示：分别是1，6，15，20，15，6，1. 一　二项式系数的性质 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由______________得到．直线____________将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 2．增减性与最大值 (1)当k<时，C随k的增加而________．由对称性知，二项式系数的后半部分，C随k的增加而________． (2)当n是偶数时，中间的一项________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝________． (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [答案自填] C＝C　r＝　增大 减小　　2n 　(1)若(1－2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．－960 B．960 C．448 D．－448 (2)(对接教材例3)(x－)n展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为________．(用数字作答) 【解析】　(1)依题意只有n＝8时第5项的二项式系数最大，x3的系数为C×(－2)3＝－448.故选D． (2)由题意及二项式系数的性质可得2n－1＝32，解得n＝6，所以其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝(－3)rCx6－2r，依题意令6－2r＝0，解得r＝3，所以展开式中的常数项为(－3)3C＝－540. 【答案】　(1)D　(2)－540 二项式系数性质的理解 (1)二项式系数的性质不是展开式中系数的性质； (2)二项式系数的最大项与n的奇偶性有关； (3)二项式系数和只与n有关． [跟踪训练1] (1)(1＋2x)n的展开式中二项式系数最大的为C，则n不可能为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：选A.根据二项式系数的对称关系，当n＝10时，所有二项式系数中，C最大；当n＝11时，所有二项式系数中，C＝C，且C，C均为最大；当n＝12时，所有二项式系数中，C最大；当n＝13时，所有二项式系数中，C＝C，且C，C均为最大．故选A. (2)在(2x3－)n的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中x7的系数为________．(用数字作答) 解析：依题意可得2n＝128，则n＝7， 所以(2x3－)7展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x3)7－r(－)r＝C×27－r·(－1)rx21－r(0≤r≤7且r∈N)，令21－r＝7，解得r＝4，所以T5＝C×23×(－1)4x7＝280x7，所以展开式中x7的系数为280. 答案：280 二　二项展开式中系数最大(小)问题 　在(ax＋)n的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79，常数项为. (1)求n和a的值； (2)求展开式中系数最大的项． 【解】　(1)由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为C＋C＋C＝1＋n＋＝＝79，整理可得n2＋n－156＝0(n∈N*)， 解得n＝12或n＝－13(舍去)，又(ax＋)12的展开式的通项为Tk＋1＝C·(ax)12－k()k ＝Ca12－kx12－k(k＝0，1，2，…，12)， 令12－k＝0，可得k＝9， 所以，展开式中的常数项为T10＝Ca3＝220a3＝， 解得a＝，故n＝12，a＝. (2)由不等式组 (k＝0，1，2，…，12)，解得≤k≤，所以k＝8，所以展开式中系数最大的项为T9＝C×()4×x＝x. 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项的系数最大，应用解出k，即得出系数最大的项． [跟踪训练2] 已知二项式(x－)6(a>0)的展开式中x3的系数为r，常数项为s，且r＝s. (1)求a的值； (2)求展开式中系数最小的项． 解：(1)由题意根据二项展开式的通项，得Tk＋1＝Cx6－k(－)k＝(－a)kCx， 令k＝2，得展开式中x3的系数为r＝a2C＝15a2，令k＝4，得展开式中的常数项为s＝a4C＝15a4， 又因为r＝s，所以15a2＝15a4， 解得a＝0或a＝－1或a＝1，又a>0，故a＝1. (2)由(1)知a＝1，故原二项式为(x－)6， 则展开式中第k项、第k＋1项、第k＋2项的系数绝对值分别为C，C，C， 若第k＋1项的系数绝对值最大，则有 解得≤k≤， 又因为k∈N*，所以k＝3，则展开式中系数的绝对值最大的项是第4项， 所以T4＝(－1)3×C×x， 其系数为负数，此时该项的系数最小， 故展开式中系数最小的项为T4＝－20x. 三　二项展开式的系数和问题 　已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9. (1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值； (2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值． 【解】　(1)因为(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9. 令x＝0，则a0＝1， 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0, ① 所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1. (2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，② ①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512， 所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256. 【变式探究】 1．(设问变式)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值． 解：由二项展开式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512. 2．(设问变式)求a0＋＋＋＋…＋的值． 解：令x＝， a0＋＋＋＋…＋＝(1－)9＝. 赋值法求二项展开式中的系数和 (1)对于形如(ax＋b)n(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ . (3)处理二项展开式的系数和问题，要结合代数式特点灵活赋值． [跟踪训练3] 已知x7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7.求： (1)a1＋a2＋a3＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7. 解：(1)由题可得， 令x＝－1，则a0＝－1， 令x＝0，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7)－a0＝1. (2)令x＝－2，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝(－2)7＝－128， 因为a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝0， 两式相减，可得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128， 所以a1＋a3＋a5＋a7＝64. 1．(教材P34练习T1改编)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C＝(　　) A．31 B．32 C．15 D．16 解析：选A.逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.故选A. 2．(多选)下列关于(1－)10的说法，正确的是(　　) A．展开式的各二项式系数之和是1 024 B．展开式各项系数之和是1 024 C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x 解析：选AD．对于A，(1－)10的展开式的各二项式系数之和是210＝1 024，A正确；对于B，令＝1，得(1－)10的展开式的各项系数之和为0，B错误；对于C，(1－)10的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；对于D，(1－)10的展开式的第3项为C×(－)2＝45x，D正确．故选AD． 3．(2024·全国甲卷)(＋x)10的展开式中，各项系数中的最大值为________． 解析：方法一：展开式中系数最大的项一定在下面的5项：C()5，C()4，C()3，C()2，C()1，计算可得，各项系数中的最大值为C()2＝5. 方法二：(＋x)10的展开式的通项为Tk＋1＝C()10－kxk，由 解得≤k≤，又因为k∈N，所以k＝8. 所以(＋x)10的展开式中，各项系数中的最大值为C()2＝5. 答案：5 4．(教材P38T3(5)改编)已知对任意给定的实数x，都有(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100.求值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a100； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解：(1)因为(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100， 令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1. (2)令x＝－2，则a0－a1＋a2－…＋a100＝5100，① 由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1，② 由可得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝. 1．已学习：(1)二项式系数的性质；(2)二项展开式中系数最大问题；(3)二项展开式中系数和问题． 2．须贯通：(1)赋值法解决二项展开式系数和问题； (2)求展开式中系数最大的项，应用 解出k，即得出系数最大的项． 3．应注意：(1)易混淆系数与二项式系数的区别； (2)不能正确判断中间项的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $