6.2.4 第2课时 组合中的综合问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦组合中的综合问题，系统梳理有限制条件（含与不含、至多至少）的组合问题、与几何图形相关的组合问题（如点构成三角形）以及分组分配问题（均匀与非均匀分组、分配），构建从基础组合到复杂应用的学习支架。 资料通过实际情境例题（如课外活动小组选主持、口袋取球）引导学生用数学眼光观察问题，结合分类讨论、间接法等策略培养数学思维，分组分配模型（如6本书分法）强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后辅助学生巩固练习，有效查漏补缺。

第2课时　组合中的综合问题 学习目标 1.能用组合知识求解具有限制条件的问题．　2.能用排列与组合解决与几何有关的问题、分组分配等问题． 一　有限制条件的组合问题 　(对接教材例7)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解】　(1)方法一：至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825(种). 方法二：采用排除法有C－C＝825(种). (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966(种). (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C种； 第二类：女队长不当选，男队长当选，有C·C＋C·C＋C·C＋C种． 故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种).　 【变式探究】 1．(设问变式)在本例条件下，男队长必须当选且女生多于男生有多少种选法？ 解：分两类情况： 第一类，女生3人男生2人(含男队长)，有CC＝70(种)， 第二类，女生4人男生1人(男队长)有C＝5(种)， 所以男队长必须当选且女生多于男生有70＋5＝75种选法． 2．(设问变式)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有C＝462(种). 第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有C＋C＝660(种). 所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122(种).　 有限制条件的组合问题的解题策略 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． [跟踪训练1] 一个口袋中有大小相同且编有不同的号码的8个白球和5个彩球． (1)若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种？ (2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法？ 解：(1)若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”，故不同的取法有C＋CC＝28＋40＝68(种). (2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有两种可能：“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球”，故不同的取法有CC＋CC＝140＋80＝220(种). 二　与几何图形有关的组合问题 　如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？ 【解】　当取到点O时，在OA，OB上各取一点(与点O不同)，有CC＝30(个)；　 当不取到点O时，第1类：从OB上取两点(与点O不同)，在OA上取一个点(与点O不同)，有CC＝75(个)；第2类：从OA上取两点(与点O不同)，在OB上取一个点(与点O不同)，有CC＝60(个). 所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30＋75＋60＝165(个). 与几何图形有关的组合问题的解题策略 (1)几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强． (2)求解几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． [跟踪训练2] 圆上有12个不同的点． (1)过每两点画一条弦，一共可以画多少条不同的弦？ (2)过每三点画一个圆内接三角形，一共可以画多少个圆内接三角形？ 解：(1)从12个不同的点任选两点可画一条弦， 所以共画出C＝66条不同的弦． (2)因为不共线的三点确定一个三角形， 所以从圆上12个不同的点任选三点可画一个三角形， 所以共画出C＝220个圆内接三角形． 三　分组、分配问题 　有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？ (1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3)分成三组，每组都是2本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本． 【解】　(1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有CCC＝60(种). (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题，因此分配方式共有CCCA＝360(种). (3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种). (4)方法一：在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式·A＝90(种). 方法二：甲、乙、丙三人，每人2本，可分三步，依次让甲、乙、丙三人选两本，共有CCC＝90(种). “分组”与“分配”问题的解题策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． [跟踪训练3] (1)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有(　　) A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 解析：选C.方法一：第一步，先从4个盒子中选1个盒子准备装2个球，有4种选法；第二步，从5个球里选出2个球放到选出的盒子里，有C种放法；第三步，把剩下的3个球放入剩下的3个盒子中，有A种放法．由分步乘法计数原理得不同的放法共有4CA＝240(种).故选C. 方法二：由题意知，有且仅有1个盒子有2个球．第一步：从5个球中选出2个球有C种选法；第二步：将余下的3个球与捆绑在一起的2个球放入4个盒子中有A种放法．故不同的放法共有CA＝240(种).故选C. (2)(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是(　　) A．分给甲、乙两人，每人各3本，有20种分法 B．分给甲、乙、丙三人，其中一人4本，另两人各1本，有90种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法 解析：选ABC.对于A，先从6本书中分给甲3本，有C种方法；再从其余的3本书中分给乙3本，有C种方法，所以不同的分配方法有CC＝20(种)，A正确；对于B，先把6本书分成3组：4本、1本、1本，有C种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有CA＝90(种)，B正确；对于C，先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有·种方法；再将2组每组2本的分给甲、乙两人，2组每组1本的分给丙、丁两人，所以不同的分配方法有··A·A＝180(种)，C正确；对于D，先把6本不同的书分成4组：2本、2本、1本、1本，有·种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有··A＝1 080(种)，D错误．故选ABC. 1．(教材P27T13改编)从5名男生和4名女生中选4人参加一项创新大赛，恰好3名男生与女生甲参加大赛的方法有(　　) A．6种 B．10种 C．15种 D．16种 解析：选B．根据题意，从5名男生选3人有C＝10种选法，女生甲的选法就1种，所以恰好3名男生与女生甲参加大赛的方法有10×1＝10(种).故选B． 2．(多选)将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是(　　) A．共有18种安排方法 B．若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法 C．若A社区需要2名志愿者，则有12种安排方法 D．若甲被安排在A社区，则有12种安排方法 解析：选BCD．对于A，4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法有CA＝36(种)，A错误； 对于B，甲、乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，所以安排方法有CA＝6(种)，B正确； 对于C，A社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，所以安排方法有CA＝12(种)，C正确； 对于D，甲安排在A社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了2名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择1个，分到A社区，再把剩余2名志愿者分配到剩余2个社区，安排方法有CA种； 第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有CA种，所以安排方法一共有CA＋CA＝12(种)，D正确．故选BCD． 3．(教材P26T9改编)某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有________种． 解析：若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有AA＝12种情况；若前2个节目中恰有1个是语言类节目，有1个是歌唱类节目，则有CCA＝12种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有A＝6种情况，则共有12×6＝72种情况． 综上，有12＋72＝84种不同的排法． 答案：84 4．如图，在六边形ABCDEF的6个顶点和其对角线AD，BE，CF的交点P，Q，R中，如果过其中的每3个点作一个圆，共可作多少个圆？ 解：由题意得共九个点，任取三个点有C＝84种选法，而三点共线的有3C＝12(种)，故能确定84－12＝72个圆． 1．已学习：(1)有限制条件的组合问题；(2)与几何图形有关的组合问题；(3)不同元素间分组、分配问题． 2．须贯通：(1)特殊元素优先考虑，正繁则反；(2)对于几何问题中的组合问题，应先明确图形中的点、线、面之间的关系，再将几何问题抽象成组合问题来解决；(3)分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题． 3．应注意：平均分组理解不到位，导致计数重复． 学科网（北京）股份有限公司 $