4.3.1 第2课时 相关系数、非线性回归 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量进行线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如表： 类别 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 则这四位同学的试验结果中A，B两变量的线性相关性最强的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选D.由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知，丁的线性相关性最强．故选D. 2．对于函数y＝axb(a＞0)，若要将其转化为线性函数u＝c＋bv，则所作的变换为(　　) A．u＝ln y，v＝ln a，c＝ln x B．u＝ln x，v＝ln y，c＝ln a C．u＝ln a，v＝ln x，c＝ln y D．u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a 解析：选D.对y＝axb两边取自然对数，有ln y＝ln (axb)＝ln a＋b ln x，所以设u＝ln y，c＝ln a，v＝ln x． 3．已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1ln (k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结果为(　　) A．r1>r2 B．r1＝r2 C．r1<r2 D．r1≥r2 解析：选C.由题中散点图可知，用y＝b1·ln (k1x)拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故|r1|>|r2|，又因为此关系为负相关，所以－r1>－r2，r1<r2.故选C. 4．在一次试验中，测得(x，y)的五组数据分别为(1，3)，(2，4)，(4，5)，(5，13)，(10，12)，去掉一组数据(5，13)后，下列说法正确的是(　　) A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变 C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大 解析：选D.由题意，去掉离群点(5，13)后，仍然为正相关，相关性变强，相关系数变大，故A，B，C错误，D正确．故选D. 5．已知一种高产新品种水稻单株穗粒数y和土壤锌含量x有关，现整理并收集了6组试验数据，y(单位：粒)与土壤锌含量x(单位：mg/m3)得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)，令zi＝ln yi，并将(xi，zi)绘制成如图所示的散点图．若用方程y＝aebx对y与x的关系进行拟合，则(　　) A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 解析：选C.因为y＝aebx，ln y＝bx＋ln a，令z＝ln y，则z与x的回归直线方程为＝x＋ln ，根据散点图可知z与x正相关，因此b＞0，又回归直线的纵截距小于0，即ln a＜0，得0＜a＜1，所以0＜a＜1，b＞0.故选C. 6．(多选)(2024·贵州遵义期末)随机抽取7家超市，得到其广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)数据如下，则(　　) 超市 A B C D E F G 广告支出x/万元 1 2 4 6 10 14 20 销售额y/万元 19 32 44 40 52 53 54 A.销售额与广告支出正相关 B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过10万元后，销售额增加幅度变缓 C．销售额与广告支出线性相关性越强，相关系数r越接近0 D．要得到销售额的预测值，模型＝22.47＋11.58ln x比模型＝1.55x＋29.40更可靠 解析：选ABD.对于A，作出散点图如图所示． 由散点图可知，销售额与广告支出正相关，故A正确；对于B，由散点图可知，销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过10万元后，销售额增加幅度变缓，故B正确；对于C，销售额与广告支出线性相关性越强，相关系数r的绝对值越接近1，故C错误；对于D，由散点图可知，y随着x的增大而增大，当x≥10时，销售额y增加幅度变缓，所以要得到销售额的预测值，模型＝22.47＋11.58ln x比模型＝1.55x＋29.40更可靠，故D正确．故选ABD. 7．根据近几年我国某新能源汽车的年销售量的调研，做出如图所示的散点图，给出y与x销售的两种回归模型①y＝bx＋a，②y＝cx2＋d，你认为更适宜的模型为_____________________________________________________．(填序号) 解析：根据题中散点图知，y＝cx2＋d更适宜作为年销量y关于年份代码x的回归方程． 答案：② 8．由样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，得到的回归直线方程为＝x2＋，已知如下数据：i＝12，i＝22，＝27，则实数的值为________． 解析：令t＝x2，则回归直线方程＝t＋必过样本点的中心(，)，又＝，＝，则＝×＋，解得＝－. 答案：－ 9．(2024·辽宁沈阳月考)已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限． 解析：由r＝＜0，则(xi－)(yi－)＜0，所以大多数点xi－与yi－异号，又(，)为坐标原点，故大多数的点都落在第二、四象限． 答案：二、四 10．已知5个学生的数学和物理成绩如表： 学生 学科　　 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 试用散点图和相关系数r判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相关还是负相关？ 解：(散点图法)涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势．以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图． 由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关． (相关系数r法)列表： i xi yi x y xiyi 1 80 70 6 400 4 900 5 600 2 75 66 5 625 4 356 4 950 3 70 68 4 900 4 624 4 760 4 65 64 4 225 4 096 4 160 5 60 62 3 600 3 844 3 720 ∑ 350 330 24 750 21 820 23 190 所以r＝ ＝＝0.9>0. 所以两变量具有线性相关关系且正相关． 11．对两个具有非线性相关关系的变量x，y进行回归分析，设u＝ln y，v＝(x－4)2，利用最小二乘法得到u关于v的回归直线方程为＝－0.5v＋2，则的最大值是(　　) A．e B．e2 C．ln 2 D．2ln 2 解析：选B.将u＝ln y，v＝(x－4)2代入回归直线方程＝－0.5v＋2，得＝e－0.5(x－4)2＋2.当x＝4时，max＝e2，即的最大值为e2.故选B. 12．如图是变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程：＝1x＋1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10，32)，根据剩下数据，得到回归直线方程：＝2x＋2，相关系数为r2，则(　　) A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1 C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0 解析：选A.观察题中散点图可知，变量x和y呈正相关关系，所以0＜r1＜1，0＜r2＜1，剔除点(10，32)之后，回归模型的拟合效果更好，所以r2更接近于1.所以0＜r1＜r2＜1.故选A. 13．(2024·辽宁抚顺月考)预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y(单位：万元)得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程＝e－a. x 1 2 3 4 y e3 e4 e5 e6 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是________万元．(结果用e表示) 解析：由题设，令z＝ln ＝－a，则＝＝，＝＝，所以＝－a解得a＝－4，则z＝ln ＝＋4，将x＝8代入回归方程，则z＝ln ＝，可得＝e万元． 答案：e 14．某食品加工厂新研制出一种袋装食品(规格：500 g/袋)，下面是近六个月每袋出厂价格(单位：元)与销售量(单位：万袋)的对应关系表： 月份序号 1 2 3 4 5 6 每袋出厂价格xi 10.5 10.9 11 11.5 12 12.5 月销售量yi 2.2 2 1.9 1.8 1.5 1.4 并计算得＝782.56，＝19.9，iyi＝122. (1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入； (2)求每袋出厂价格与月销售量的相关系数(精确到0.01)； (3)若相关系数|r|≥0.75，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性．你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性． 附：相关系数r＝，≈0.57. 解：(1)该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为＝×(10.5＋10.9＋11＋11.5＋12＋12.5)＝11.4(元)，平均月销售量为＝×(2.2＋2＋1.9＋1.8＋1.5＋1.4)＝1.8(万袋)，平均月销售收入为iyi＝×122＝(万元). (2)由已知，每袋出厂价格与月销售量的相关系数为 r＝ ＝ ＝ ＝＝－＝ －≈－≈－0.98. (3)由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数|r|≈0.98＞0.75，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性． 15．某超市从5月15日开始供应杨梅，且杨梅销售价格Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表所示： 时间t/天 10 20 70 销售价格Q/(元/千克) 100 50 100 根据上表数据，从下列函数模型中选取一个拟合杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为(　　) A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日 解析：选C.根据题表数据，拟合杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt在a≠0时均为单调函数，这与题表数据的变化不吻合，所以应选取Q＝at2＋bt＋c进行拟合，将(10，100)，(20，50)，(70，100)代入Q＝at2＋bt＋c 可得 解得所以Q＝0.1t2－8t＋170，Q＝0.1(t－40)2＋10，所以当t＝40时杨梅销售价格最低，而6月5日时t＝22，6月15日时t＝32，6月25日时t＝42，7月5日时t＝52，所以t＝42时杨梅销售价格最低，即6月25日．故选C. 16．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r＝，≈1.377. 解：(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积x＝＝＝0.06，估计该林区这种树木平均一棵的材积量y＝＝＝0.39. (2) (xi－x)(yi－y)＝xiyi－10x y＝0.013 4， (xi－x)2＝x－10x2＝0.002， (yi－y)2＝y－10y2＝0.094 8，所以 ＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77，所以相关系数r＝≈≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以＝，所以Y＝＝1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 学科网（北京）股份有限公司 $