4.2.3 第1课时 n次独立重复试验与二项分布 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

1．在100件产品中有5件次品，有放回的从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则(　　) A．X～B(100，0.05) B．X～B(10，0.05) C．X～B(1 000，95) D．X～B(10，0.95) 解析：选B.有放回抽取，每次取到次品的概率都是＝0.05，相当于10次独立重复试验，所以服从二项分布X～B(10，0.05).故选B. 2．(2024·内蒙古呼和浩特高二校考阶段练习)设某实验成功率是失败率的3倍，用随机变量ξ描述3次实验成功的次数，则P(ξ＝2)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由于成功率是失败率的3倍，所以成功率是，失败率是，故P(ξ＝2)＝C×()2×＝.故选A. 3．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设此射手射击四次命中次数为X. 由题易知，X～B(4，p)，P(X≥1)＝，即1－P(X＝0)＝1－C(1－p)4＝，解得p＝或p＝(舍去)，故选B. 4. 十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福．某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型如图，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案．其中兴趣小组的2名成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为每抛一次抛出牛的图案朝上的概率是，所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为P＝C××＝.故选C. 5．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为(　　) A．(1－p)n B．1－pn C．pn D．1－(1－p)n 解析：选D.所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.故选D. 6．(多选)下列随机变量X服从二项分布的是(　　) A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数 B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 解析：选ACD.选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中的概率都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然每一次试验的结果只有两种，且每一次试验相互独立且概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，均为，进行5次比赛，相当于进行了5次伯努利试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义可知，X～B(n，0.3).故选ACD. 7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝____________________________________________. 解析：由P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，得p＝或p＝(舍去).所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－(1－p)3＝. 答案： 8．一次掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰好出现一次成功试验的概率为__________． 解析：一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种， 两枚骰子点数之和为5的情况有4种，两枚骰子点数之和为6的情况有5种，在一次试验中，出现成功试验的概率P＝＝，设出现成功试验的次数为X，则X～B，所以重复做这样的试验四次，则恰好出现一次成功试验的概率为P(X＝1)＝C××＝. 答案： 9．(2024·辽宁大连高二校联考期末)某校高三年级开展“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，则一个小组能被评为“阳光小组”的概率为________． 解析：由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，其概率为C×0.84＋C×(1－0.8)×0.83＝0.819 2，即一个小组能被评为“阳光小组”的概率为0.819 2. 答案：0.819 2 10．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且每棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中： (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率． 解：设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2， 则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝. (1)至少有1棵成活的概率为1－P(1 2 1 2)＝1－P(1)P(2)·P(1)P(2)＝1－×＝. (2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率P＝C×××C××＝×＝. 11．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C.由1－C＞0.9，得<0.1，所以n≥4. 12．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.设甲获得冠军为事件A，比赛进行了三局为事件B，则P(A)＝()2＋C××(1－)×＝，P(AB)＝C××(1－)×＝，所以P(B|A)＝＝＝.所以在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为.故选A. 13．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为________．(参考数据：1.026≈1.13，1.025≈1.10，1.024≈1.08) 解析：设物品原价格为1，因为1.026≈1.13>1，1.025×0.98≈1.08>1，1.024×0.982≈1.04>1，1.023×0.983≈0.998 8<1，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为C×＋C×＋C×＝. 答案： 14．若某生由于种种原因，每天只能6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟(通过路口的时间忽略不计)，假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．每个路口遇见红灯时等待时间(单位：秒)统计如下． 红灯 1 2 3 4 5 等待时间/秒 60 60 90 30 90 (1)设学校规定7：20后(含7：20)到校即为迟到，求这名学生迟到的概率； (2)设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P(X≥2)的值； (3)设Y表示该学生第一次停车时已经通过的路口数，求随机变量Y的分布列． 解：(1)由题意知，当在路口1，2，3，5遇到红灯或5个路口均遇到红灯时，该同学会迟到，所以这名学生迟到的概率为×＋＝. (2)由题意知X～B，所以P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×－C××＝. (3)由题意知Y的取值范围为{0，1，2，3，4，5}， P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝×＝， P(Y＝2)＝×＝， P(Y＝3)＝×＝， P(Y＝4)＝×＝， P(Y＝5)＝＝， 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P 15．(2024·山东东营高二统考期末)设X～B(3，p)，且P(X＝2)＝，则p的值为________． 解析：P(X＝2)＝Cp2(1－p)＝，即125p3－125p2＋18＝0，由于125p3－125p2＋18＝(5p)3－33－125p2＋45＝(5p－3)(25p2＋15p＋9)－5(5p＋3)(5p－3)＝0，所以(5p－3)(25p2－10p－6)＝0，因此5p－3＝0或25p2－10p－6＝0， 又0<p<1，所以p＝或p＝. 答案：或 16．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审，则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立． (1)求某应聘人员被录用的概率； (2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列． 解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C. (1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，因为P(A)＝×＝，P(B)＝C××＝，P(C)＝，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝＋×＝. (2)根据题意X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且由(1)知X～B，则 P(X＝0)＝C××＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C××＝， P(X＝4)＝C××＝. 所以X的分布列如表： X 0 1 2 3 4 P 学科网（北京）股份有限公司 $