强化课 二项式定理的综合问题 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

一、选择题 1．(2＋)(1－x)7的展开式中x2的系数为(　　) A．－7 B．7 C．77 D．－77 解析：选B. (1－x)7的展开式通项为Tr＋1＝C·(－x)r＝(－1)rC·xr，故(1－x)7的展开式中x2的系数为2×(－1)2C＋(－1)3C＝7.故选B. 2．1.957的计算结果精确到个位的近似值为(　　) A．106 B．107 C．108 D．109 解析：选B.因为1.957＝(2－0.05)7＝27－C×26×0.05＋C×25×0.052－…≈107.28，所以1.957≈107.故选B. 3．(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)98的展开式中，含x2项的系数是(　　) A．C－1 B．C－1 C．C－1 D．C－1 解析：选A.依题意，含x2项的系数是C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋…＋C－1 ＝C－1.故选A. 4．已知(ax＋1)(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选A.二项式(2x－1)6的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－r·(－1)r＝C·26－r·(－1)r·x6－r，(ax＋1)(2x－1)6的展开式中，x5的系数为aC24×(－1)2＋1×C25×(－1)＝15×16a－32×6＝48，解得a＝1.故选A. 5．设的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.由5>>＝4，得的整数部分为4，则＝x＋4，所以(x＋4)4＝258，即Cx4＋4Cx3＋16Cx2＋64Cx＋256C＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋16x3＋96x2＋256x＝2.故选B. 6．若(ax－)6的展开式中常数项为－160，则的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.由，有Tk＋1＝C(ax)6－k·＝Ca6－k(－b)kx6－2k， 令6－2k＝0，即k＝3，故T4＝Ca6－3·(－b)3＝－20a3b3＝－160，即a3b3＝8，即ab＝2，则＝≥ab＋1＝3，当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时，等号成立，故的最小值为3.故选C. 7．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理(富比尼原理).由等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n利用算两次原理可得CC＋CC＋CC＋…＋CC＝(　　). A．C B．C C．C D．C 解析：选D. 依题意(1＋x)n(1＋x)n＝(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)，故CC＋CC＋CC＋…＋CC是展开式中xn的系数，而(1＋x)2n展开式中xn的系数为C，所以CC＋CC＋CC＋…＋CC＝C.故选D. 8．(多选)在(1－2x3)(－a)5的展开式中，各项系数的和为1，则(　　) A．a＝3 B．展开式中的常数项为－32 C．展开式中x4的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为－242 解析：选BC.根据题意令x＝1，得(1－2x3)·(－a)5的展开式中各项系数的和为－(1－a)5＝1，则a＝2，A错误；则(1－2x3)(－a)5＝(1－2x3)·(－2)5，又(－2)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－2)kCx，k＝0，1，…，5，所以展开式中的常数项为1×(－2)5C＝－32，B正确；含x4的项为－2x3·(－2)3Cx＝160x4，其系数为160，C正确；展开式中无理项的系数之和为(1－2)·[(－2)0C＋(－2)2C＋(－2)4C]＝－(1＋40＋80)＝－121，D错误．故选BC. 9．(多选)已知(x－1)(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则(　　) A．a0＝－64 B．a1＝63 C．a0＋a1＋…＋a7＝0 D．a1＋a3＋a5＋a7＝1 解析：选ACD.对于A，令x＝0，得到a0＝－1×26＝－64，故A正确；对于B，(x＋2)6的展开式的通项为Tr＋1＝C·x6－r·2r，令r＝5，得到T6＝C·x·25＝192x，令r＝6，得到T7＝C×26＝64，所以a1＝64－192＝－128，故B错误；对于C，令x＝1，得到a0＋a1＋…＋a7＝0，故C正确；对于D，令x＝－1，则a0－a1＋…－a7＝－2，又因为a0＋a1＋…＋a7＝0，两式相减得－2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－2，则a1＋a3＋a5＋a7＝1，故D正确．故选ACD. 10．(多选)如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是(　　) A．在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是15 B．由“第n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n C．C＋C＋C＋…＋C＝164 D．存在k∈N＋，使得C－C＝n 解析：选BCD.对于A，在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是C＝6，A错误； 对于B，由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝2n，B正确；对于C，由于C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C－C＝164，C正确；对于D，取k＝2，则C－C＝C－C＝C＝n，所以C－C的值可以为n，D正确．故选BCD. 二、填空题 11．450除以17的余数为________． 解析：由题知，450＝(17－1)25＝C1725(－1)0＋C1724(－1)1＋C1723(－1)2＋…＋C171·(－1)24＋C170(－1)25，因为17n是17的倍数，只有最后一项－1不能被17整除，所以－1除以17的余数为16，所以450除以17的余数为16. 答案：16 12．(x2－2x＋1)3的展开式中，含x3项的系数为________．(用数字作答) 解析：由(x2－2x＋1)3＝(x－1)6，其展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCx6－r，所以含x3的项为T4＝(－1)3Cx3＝－20x3，故系数为－20. 答案：－20 13．已知x5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5，则a4＝________． 解析：根据题意可知x5＝(x＋1－1)5＝[(x＋1)－1]5，根据题意可知，a4为(x＋1)4项的系数，利用二项展开式的通项可知C(x＋1)4(－1)1＝－C·(x＋1)4＝a4(x＋1)4，可得a4＝－C＝－5. 答案：－5 14．已知(x2＋)n的展开式中各项系数和为1 024，则(x2＋x＋y)n展开式中不含x5y2的所有项系数和等于________． 解析：因为的展开式中各项系数和为1 024，令x＝1，整理得4n＝1 024，解得n＝5，故(x2＋x＋y)5的展开式满足Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，当r＝2时，(x2＋x)3的展开式满足Tk＋1＝C·x6－k，令6－k＝5，解得k＝1，故含x5y2的所有项系数为CC＝30，当x＝1，y＝1时，可得所有项的系数和为35＝243，故不含x5y2的所有项系数和等于243－30＝213. 答案：213 三、解答题 15．已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1. (1)求n和a的值； (2)求(2x－1)的展开式中的常数项． 解：(1)由条件可得所以解得n＝7，a＝－2. (2)(2x－1)＝(2x－1)·(－2x2＋x－1)7.因为(－2x2＋x－1)7展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x2)7－k·(x－1)k＝C(－2)7－kx14－3k，所以当14－3k＝－1，即k＝5时，2x·C·(－2)2x－1＝168；当14－3k＝0即k＝时，不符合题意，舍去，所以所求的常数项为168. 16．已知f(x)＝(2x－3)n(n∈N＋)展开式的二项式系数和为512，且f(x)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n. (1)求a2的值； (2)设f(20)－20＝6k＋r，其中k，r∈N，且r<6，求r的值． 解：(1)因为f(x)＝(2x－3)n(n∈N＋)展开式的二项式系数和为512，所以2n＝512，得n＝9，所以(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9， 所以a2＝C(－1)722＝－144. (2)f(20)－20＝(2×20－3)9－20＝(36＋1)9－20＝C369＋C368＋…＋C36＋C－20＝C369＋C368＋…＋C36－19，因为C369＋C368＋…＋C36能被6整除，而－19＝(－4)×6＋5，f(20)－20＝6k＋r，所以r＝5. 17．已知m，n是正整数，(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为15. (1)求展开式中x2的系数的最小值； (2)已知(2＋3x)展开式中的二项式系数的最大值为a，项的系数的最大值为b，求a＋b. 解：(1)根据题意得C＋C＝15，即m＋n＝15，所以n＝15－m，所以展开式中的x2的系数为C＋C＝＋＝＝ －＝m2－15m＋105＝＋， 故当m＝7或m＝8时，x2的系数的最小值为49. (2)由(1)知＝7，则(2＋3x)＝(2＋3x)7，a＝C＝C＝35，因为(2＋3x)7的展开式的通项为Tr＋1＝C·27－r·(3x)r＝C27－r·3rxr，设r＋1项为系数最大的项， 可得 解得 因为r∈N＋，所以r＝4. 所以b＝C×23×34＝22 680， 所以a＋b＝35＋22 680＝22 715. 学科网（北京）股份有限公司 $