3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

1．(－x)n展开式中的各二项式系数之和为256，则n的值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 解析：选C.展开式中的各二项式系数之和为2n＝256，解得n＝8.故选C. 2．已知(－2x2)n的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是(　　) A．－240 B．－240x6 C．240x6 D．240 解析：选C.由题可得，＋1＝4，解得n＝6，所以T5＝C2(－2x2)4＝240x6.故选C. 3．(2024·北京市西城区月考)在(－)n(n∈N＋)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数之和为(　　) A．1 B．－32 C．0 D．32 解析：选D.依题意得，2n＝32，所以n＝5.令x＝1，则＝(3－1)5＝25＝32，所以展开式中所有项的系数之和为32.故选D. 4．已知n∈N＋，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为(　　) A．81 B．64 C．27 D．32 解析：选D.a1＝C·2＝2n，a2＝C·22＝2n(n－1)，所以4×2n＋2n(n－1)＝80，解得n＝5(负值已舍去)，所以该展开式各项的二项式系数和为25＝32. 故选D. 5．已知(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．－54 B．－52 C．－50 D．－48 解析：选A.(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1，得(2－1)3－(1＋2)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝－80；令x＝－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝－28，由两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝－108，所以a0＋a2＋a4＝－54.故选A. 6．(多选)已知函数f(x)＝(3x－)n，则下列关于f(x)的展开式的命题中，正确的是(　　) A．当n＝11时，f(x)的展开式共有11项 B．当n＝8时，f(x)的展开式的第3项与第6项的二项式系数之比为1∶2 C．当n＝7时，f(x)的展开式中，各项系数之和为－1 D．若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则n＝7 解析：选BD.对于A选项，当n＝11时，f(x)的展开式共有12项，A错误；对于B选项，当n＝8时，f(x)的展开式的第3项与第6项的二项式系数之比为C∶C＝28∶56＝1∶2，B正确；对于C选项，当n＝7时，f(x)＝，此时，f(x)的展开式中，各项系数之和为f(1)＝(3－2)7＝1，C错误；对于D选项，若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则函数f(x)的展开式中共8项，即n＋1＝8，故n＝7，D正确．故选BD. 7．已知(1＋2x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为________． 解析：由题意可得，C＝C，所以n＝10，则(1＋2x)n的二项式系数之和为210，所以所有偶数项的二项式系数之和为＝29. 答案：29 8．已知(x－)n的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则其展开式中有理项共有________项． 解析：由题意得2n＝64，解得n＝6，的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－r，当r＝0，2，4，6时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项． 答案：4 9．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＝________． 解析：依题意，(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0. 答案：0 10．已知(3x＋)n(n∈N＋)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求二项展开式中各项二项式系数和； (2)求二项展开式中系数最大的项． 解：(1)由题意得C∶C＝1∶3，即＝，解得n＝7或0(舍去)，故二项展开式中各项二项式系数和为27＝128. (2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·37－r·2r·x7－，设展开式中系数最大的项为Tr＋1， 则 解得≤r≤，又r∈N＋，所以r＝3， 所以展开式中系数最大的项为T4＝22 680x. 11．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当n∈N，n≥2时，＝·…·…，又根据泰勒展开式可以得到sin x＝x－＋－…＋＋…，根据以上两式可求得＋＋＋…＋＋…＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由n∈N，n≥2，sin x＝x－＋－…＋＋…，两边同时除以x，得＝1－＋－…＋＋…，又＝·…·…展开式中x2的系数为－·(＋＋＋…＋＋…)，所以－·(＋＋＋…＋＋…)＝－，所以＋＋＋…＋＋…＝.故选A. 12．(多选)已知(3x＋2)20＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20，则(　　) A．a0＝220 B．a0＋a2＋a4＋…＋a20＝1 C．展开式系数中a9最大 D．a0－＋－＋…＋＝1 解析：选AD. 令f(x)＝(3x＋2)20＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a20x20，当x＝0时，a0＝f(0)＝220，A正确；当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a20＝f(1)＝520，当x＝－1时，a0－a1＋a2－…＋a20＝f(－1)＝1，因此a0＋a2＋a4＋…＋a20＝，B错误；f(x)展开式的通项公式为Tr＋1＝C(3x)20－r2r＝2r·320－rC·x20－r，0≤r≤20，r∈N，设第r＋1项的系数最大，显然r≠0且r≠20，于是 即 整理得解得≤r≤， 而r为整数，则r＝8，所以展开式系数中a12最大，C错误；当x＝－时，a0－＋－＋…＋＝f＝＝1，D正确．故选AD. 13．设m为正整数，(x2＋)2m展开式中二项式系数的最大值为a，(x2＋)2m＋1展开式中二项式系数的最大值为b，若7a＝4b，则(x2＋)2m展开式中的常数项为________． 解析：由题可知，a＝C，b＝C＝C.因为7a＝4b，所以7·＝4·，即7(m＋1)＝4(2m＋1)，解得m＝3，故6展开式中的常数项为C(x2)24＝15. 答案：15 14．若(1＋mx)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，其中a3＝－120. (1)求实数m的值； (2)求(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2－(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2. 解：(1)在(1＋mx)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10中，a3＝－120，由(1＋mx)10展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(mx)k＝C·mkxk，0≤k≤10，k∈N，则a3＝C·m3＝－120，解得m＝－1. (2)由题意及(1)得，在(1＋mx)10＝(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＝0，所以(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2－(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(－a0＋a1－a2＋…－a10)＝0. 15．(多选)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法中正确的是(　　) A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是85 B.由“第n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n C．在“杨辉三角”第2 023行中，从左到右第1 012个数与第1 013个数相等 D．在“杨辉三角”中，第n行所有数的平方和恰好是第2n行的中间一个数 解析：选BCD.在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是C＝84，故A错误；由“第n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n，因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，所以令x＝1，得C＋C＋C＋…＋C＝2n，故B正确；在“杨辉三角”第2 023行中有2 024个数，中间两个数最大且相等，即第1 012个数与第1 013个数相等，故C正确；在“杨辉三角”中，第n行所有数的平方和恰好是第2n行的中间一个数，即(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.因为(1＋x)2n＝(1＋x)n·(1＋x)n＝(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)·(Cxn＋Cxn－1＋Cxn－2＋…＋C)，C＝C，所以对应相乘可得xn的系数为(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2.而(1＋x)2n展开式的通项公式T2n＋1＝Cxr，r≤2n，r∈N，当r＝n时，T2n＋1＝Cxn，则xn的系数为C，所以(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C，故D正确．故选BCD. 16．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11. (1)当x2的系数取最小值时，求n的值； (2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的偶次项的系数之和． 解：(1)由已知得C＋2C＝11，所以m＋2n＝11.则x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·(－1)＝(m－)2＋.因为m∈N＋，所以当m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3. (2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3.此时f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.不妨设f(x)的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝58，即a0＋a2＋a4＝29.故f(x)的展开式中x的偶次项的系数之和为29. 学科网（北京）股份有限公司 $