3.1.3 第2课时 组合数的应用 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加比赛．若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数为(　　) A．140 B．120 C．35 D．34 解析：选D.从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34(种). 2．(2024·山东德州月考)将5名志愿者分配到4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 解析：选C.将5名志愿者分为4组，有C＝10种分组方法，将分好的4组安排给4个志愿活动，有A＝24种情况，则共有10×24＝240种分配方法．故选C. 3．9件不同的产品中有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品进行检查，至少有2件一等品的抽法种数是(　　) A．CC B．C＋C＋C C．C＋C D．CC＋CC＋CC 解析：选D.恰有2件一等品的抽法种数是CC；恰有3件一等品的抽法种数是CC；恰有4件一等品的抽法种数是CC.所以至少有2件一等品的抽法种数是CC＋CC＋CC.故选D. 4．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 解析：选B.特殊元素优先法：先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A种安排方式．所以不同的安排方式共有CA＝60(种).故选B. 5．(2024·辽宁大连联考)25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有(　　) A．60种 B．100种 C．300种 D．600种 解析：选D.由题意知分四步：第1步，先从5行中选3行，有C种方法；第2步，从所选的3行中的第1行任选1列，有C种方法；第3步，从所选的3行中的第2行，除第2步选中的1列外的4列中任选1列，有C种方法；第4步，从所选的3行中的第3行，除第2，3步选中的2列外的3列中任选1列，有C种方法．根据分步乘法计数原理得，共有C×C×C×C＝600种不同的选法．故选D. 6．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的是(　　) A．若任意选择三门课程，则选法种数为C B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为CC C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为CC－C 解析：选AC.对于A，若任意选择三门课程，则选法种数为C，故A正确．对于B，若物理和化学至少选一门，则选法种数为CC＋CC，故B错误．对于C，若物理和历史不能同时选，则选法种数为C－CC＝C－C，故C正确．对于D，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法种数为CC＋CC－C，故D错误．故选AC. 7．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为________． 解析：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205. 答案：205 8．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是______________．(用数字作答) 解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336. 答案：336 9．(2024·辽宁丹东月考)将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为________． 解析：分两步进行计算：第1步，选出盒子的编号与小球编号相同的3个编号，共有C＝35种选法；第2步，对余下的4个编号的球，将它们放置到不同盒子中，且盒子的编号与球的编号不同，有3×3＝9种方法，故不同的放法种数为35×9＝315. 答案：315 10．将6名学生(简记为A，B，C，D，E，F)安排到甲、乙、丙三个场馆． (1)每名学生只去1个场馆，每个场馆去的人数不限，则有多少种不同的安排方法？ (2)每名学生至多去1个场馆，每个场馆只去1人，则有多少种不同的安排方法？ (3)每名学生只去1个场馆，甲场馆安排1人，乙场馆安排2人，丙场馆安排3人，则有多少种不同的安排方法？ (4)每名学生只去1个场馆，每个场馆至少要去1人，且A，B两人约定去同一个场馆，C，D不想去同一个场馆，则不同的安排方法共有多少种？ (5)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名学生至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？ 解：(1)每名学生都有3种选择，所以共有36＝729种不同的安排方法． (2)任选3名学生，将选出的学生进行全排列，则有CA＝120种不同的安排方法． (3)由题意可知有CCC＝60种不同的安排方法． (4)将A，B捆绑成一个整体，当C，D无特殊要求时，即看成AB，C，D，E，F，可将5人分为3，1，1或2，2，1，故有CCC＋CCC＝150种不同的安排方法．当C，D在同一个场馆时，可将6人看成AB，CD，E，F，故有CCC＝36种不同的安排方法．综上所述，满足同学要求的不同的安排方法种数为150－36＝114. (5)先每人发放1个口罩，则剩下的10个转化为隔板问题，10个口罩间有9个空位，插入5个挡板，则有C＝126种不同的发放方法． 11．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.根据题意，从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，有C＝56种取法，其中任意两只都不成双的情况有C×2×2×2＝32(种)，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为＝. 12．(2024·山东潍坊联考)只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(　　) A．6个 B．9个 C．18个 D．36个 解析：选C.由题意知，1，2，3中必有一个数字重复使用两次．第1步确定哪个数字使用两次，有C种方法；第2步把只使用一次的两个数进行排列，有A种排法；第3步将使用两次的两个相同的数字插入到3个空当中，有C种方法．故共可组成CAC＝18个不同的四位数． 13．某机场将开通向北至沈阳、哈尔滨；向南至昆明、深圳；向西至兰州、银川的六条航线．甲、乙、丙、丁、戊、己6人各选择一条不同航线体验．已知甲不去沈阳、哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班．则不同的体验方案有(　　) A．56种 B．72种 C．96种 D．144种 解析：选C.由题意，共6个城市，3个方向，甲不去沈阳、哈尔滨，有C种方案，乙和丙乘坐同一方向的航班，有CA种方案，剩余3人有A种方案，故不同的体验方案有CCAA＝4×2×2×1×3×2×1＝96(种).故选C. 14．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选取3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？ 解：(1)从余下的34名学生中选取2名，有C＝561种取法．所以不同的取法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法．所以不同的取法有5 984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100种取法．所以不同的取法有2 100种． (4)选取2名女生有CC种取法，选取3名女生有C种取法，所以共有选取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). 所以不同的取法有2 555种． (5)选取3名学生的种数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090(种). 所以不同的取法有6 090种． 15．将甲、乙等5名学生保送到A，B，C三所大学就读，每所大学至少保送一人． (1)有____________种不同的保送方法； (2)若甲不能被保送到A大学，有___________________种不同的保送方案． 解析：(1)5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种组合，当5名学生分成2，2，1时，共有A＝90种方法；当5名学生分成3，1，1时，共有A＝60种方法．根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法． (2)先将5名学生分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或3，1，1，所以有＋＝25种分组方法．因为甲不能被保送到A大学，所以有甲的那组只能保送到B和C两所大学，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种). 答案：(1)150　(2)100 16.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架，小红欲从A处行走至B处，则行走路程最短且任意2次向上行走都不连续的不同路线共有多少条？ 解：根据题意知，要使路程最短，则行走时3次向上，2次向右，2次向前．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列，也就是2次向右和2次向前全排列，有A种方法，又因为2次向右和2次向前是没有顺序的，所以共有种方法；再把3次向上插到4次不向上之间及两端的5个空位中，有C种方法．所以满足题意的不同路线共有C＝60(条). 学科网（北京）股份有限公司 $