期末 规律探究压轴题练习 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

期末 规律探究压轴题练习 苏科版2025-2026学年七年级上 一．填空题 1．如图，小明家客厅的电视背景墙ABCD是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为5：4．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比AD：AB的值为 　 　 ． 2．我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图①，计算31×47，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457．如图②，是用“铺地锦”计算两个两位数乘积的过程，它们的乘积等于 　 　 ． 3．将四张正方形纸片①，②，③，④，按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边即可，则这个正方形编号是 　 　 ． 二．解答题 4．【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体的名称叫做三棱台．如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 （1）在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图．（注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） （2）观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 　 　 　 　 　 　 … 棱数（E） 　 　 　 　 　 　 … 顶点数（V） 　 　 　 　 　 　 … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：F+E﹣2V＝2，你认为她的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于F、E、V三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 5．数学课上，鲍老师提出问题：观察如图的几种简单多面体，每个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有怎样的数量关系？ 同学们的思考如下： （1）完成以上解答； （2）某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成，且面数与顶点数的比值为5：3，那么这个玻璃饰品是几面体？ （3）如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体，那么柏拉图立体共有　 　 种． 6．【活动思考一】 光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 如图2，小明画出了汽车与右侧后视镜的示意图，汽车用长方形ABCD表示，司机位于车内左前方的点O处，OM∥BC，右侧后视镜用线段BE表示，后视镜BE与BC形成的∠CBE为60°，司机观察车右侧后视镜的视角∠MOH的度数不大于80°，点H为线段BE上的任意一点，且点H为入射点． （1）若∠MOH＝70°，则图2中入射角∠OHG等于　 　 °； （2）请用无刻度的直尺与圆规补全图2中的反射光线HF； （3）由（2），我们把∠OHF称为司机观察车右侧的“给力视野”，当入射点H与点E重合时，“给力视野”最大，最大值为　 　 °． 【活动思考二】 当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡，会形成我们常说的车尾盲区（如图3）． 在平直的公路上有一辆货车匀速行驶，正后方跟随一辆速度为20米/秒的小汽车．若此时货车司机紧急刹车，那么后方的小汽车司机也随即刹车，但小汽车司机有一个1.5秒的反应时间．已知货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为15米，小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为40米，货车车尾盲区为货车正后方的5米区域．小明根据题意画出了如图4所示的线性示意图． 请作答： （1）线段AB表示的实际意义是：　 　 ； （2）在货车刹车前，小汽车应与货车至少保持多少米的安全距离，才不会闯入货车的车尾盲区？ 7．【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．如图1，经过入射点O且垂直于反射面的直线OE叫做法线．入射光线CO与法线的夹角∠COE叫做入射角．反射光线OD与法线的夹角∠EOD叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即∠EOD＝∠COE． （1）探究图1中入射光线与镜面所夹的锐角∠AOC与反射光线与镜面所夹的锐角∠BOD的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用【问题情境】（2）中获得的结论解决以下问题： 如图2，直线MN∥PQ，点A在直线PQ上，点C在直线MN上，光线AC被MN反射后再次被PQ反射，入射光线AC经过两次反射的光线为BD，其中点B在直线PQ上． （2）BD与AC有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，已知∠1＝66°，直线MN绕点C顺时针旋转α（0＜α＜30°）至直线GH，当α为何值时，BD∥GH． （4）直线MN绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），直线BD与直线AC相交于点E，请直接写出∠AEB和α之间的数量关系　 　 ． 8．【习题再现】 （1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，AB∥CD，点E在AB，CD之间．写出∠AEC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】 （2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线OE与平面镜l垂直，即OE⊥BC，垂足为O，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点D．小明认为，图中∠AOB＝∠COD，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜AB，BC，CD，DA，其中AD∥CB，若光线从AD上的E处射出，在平面镜AB上经点F反射后，到达BC上的点G，…其传播路径为E→F→G→H→E→F…请判断∠EFG与∠GHE的数量关系，并说明理由． 9．综合与实践：探究规律可以从简单情形入手： 【温故知新】小明在学习《鸡蛋饼的分割》后，先复习巩固相关知识，然后整理成如下笔记： （1）抽象数学问题：n条直线最多可以将平面分割成几个区域？ ①画图探究，数据整理，并补全表格； 分割线条数（n） 1 2 3 4 5 … 区域个数（An） 2 4 7 11 　 　 … ②结论：An＝ 　 　 （用含n的代数式表示）； 【探究新知】复习巩固相关知识后，小明又探究了新问题：n个圆最多可以将平面分割成几个区域？ （2）类比探究： ①画图探究，数据整理，并补全表格； 圆的个数（n） 1 2 3 4 … 区域个数An 2 4 　 　 　 　 … ②探究：An与n的关系？ 【实践应用】 （3）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：谁能用最少的刀数分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？写出你的分割方案，并简要说明． 10．【问题提出】连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一：如图①当五边形内有1个点时，可分得　 　 个三角形； 探究二：当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示、显然，不管哪种情况，都可分得　 　 个三角形． 探究三：当五边形内有3个点时，可分得　 　 个三角形．（可借助图④画图分析） 【问题解决】连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得　 　 个三角形． 【反思提高】若连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的若干个点，可把五边形区域分割成2024个三角形吗？如果能，请求出该五边形内部点的个数；如果不能，请说明理由． 【策略应用】若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成　 　 个三角形．（不计被分割的三角形） 11．【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律． m n t 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 x y 【问题解决】 （1）请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； （2）将表格中的数据补充完整，x＝ 　 　 ；y＝ 　 　 ； （3）猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为：　 　 ； （4）根据上面的规律，你能用10条分割线将一个圆面分出57个区域吗？请说明理由． 12．在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门票等．人类使用密码的历史相当久远，约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 如表，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母a，b，c…，z依次对应数字1，2，3，…，26．当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字x是偶数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；当数字x是奇数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母．例如：接收的密文内容为“pty”，英文字母“p”对应的数字16是偶数，则明文数字为对应的英文字母“s”；英文字母“t”对应的数字20是偶数，则明文数字为对应的英文字母“u”；英文字母“y”对应的数字25是奇数，则明文数字为对应的英文字母“n”，所以密文破译后的明文为“sun”． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题： （1）密文“jgf”破译成明文为　 　 ； （2）若破译后的明文为“me”，请用英文字母写出应该传输的密文，并说明理由； （3）是否存在这样的英文字母，在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，若存在，请找出这样的字母；若不存在，请说明理由． 13．在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“C”，密文“258”翻译成明文为“CZ”． （1）明文“A”对应的密文为“　 　 ”（写出符合条件的一种情况即可），密文“483847”翻译成明文为“　 　 ”； （2）为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文I”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． 密文I：t 1 2 3 4 … 密文Ⅱ：3t+4 7 10 13 16 … ①若密文I中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为　 　 ； ②若密文I中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“3t+4”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 14．根据背景素材，探索解决问题． 素材1 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为AB＝|a﹣b|． 素材2 已知a＞b，k＞0，可得结论ka＞kb． 已知a＞b，k＜0，可得结论ka＜kb． 素材3 对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB，使得将数组P中的每一个数乘以k之后，计算的结果都能够用线段AB上的某个点来表示，就称k为数组P的“美好系数”． 例如，对于数组P：1，2，3，因为＝，＝，，取A为原点，B为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断是P的“美好系数”． 【问题1】 （1）数轴上表示A，B两点的数分别为﹣1，2，则AB两点之间的距离为　 　 ； （2）|x﹣2|在数轴上表示数x和数2的两点之间的距离，则方程|x﹣2|＝3的解为　 　 ． 【问题2】 （3）对于数组P：﹣2025，2025，﹣2024，2024，0，当k＜0时，将数组P中的每一个数乘以k之后，最大数是　 　 ．（用含k的代数式表示） 【问题3】 已知k是数组P的“美好系数”． （4）对于数组P：1，2，﹣3，在下列各数中：，能成为k的值有　 　 ； （5）对于数组P：1，2，x，若k的最大值为，求x的值． 15．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 观察图案可得：第一个图案正三角形有4个，六边形有1个，第二图案正三角形有6个，六边形有3个． （1）第4个图案中，三角形有　 　 个，六边形有　 　 个； （2）第n（n为正整数）个图案中，三角形有　 　 个，六边形有　 　 个； （3）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 16．综合与实践 【问题情境】 “一笔画图形”是指笔尖不离纸，且不走重复路线，能够一笔画出的图形．我们把画图时，亮尖的起点、终点以及所画出的线与线的交点叫做“一笔画图形”的“点”，把由“点”分成的每一条线叫做“边”，把“边”将平面分成的每一部分叫做“区域”，图①、②、③、④都是“一笔画图形”，图①的“点”是A、B，“边”是a、b、c、d部分，“区域”是I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分． 【探索活动】 序号 “点”数V “边”数E “区域”数F 图① 2 4 4 图② 3 3 2 图③ 3 6 　 　 图④ 1 　 　 5 图⑤ 　 　 　 　 　 　 （1）请你在图⑤的方框中画出一个与图①、②、③、④都不同的“一笔画图形”，并完成表格； （2）写出V、E、F之间的关系式　 　 ； 【解决问题】 （3）图⑥是“一笔画图形”．已知该图形中有62个“区域”，除了“起点”和“终点”，其余每个“点”都连着4条“边”，该图形有多少条“边”？ 17．在数学中数与形之间也可以互相转化． （1）观察如图的图形与等式的关系，并填空： 结合图形，我们可以发现：1+3+5+…+（2n﹣1）＝　 　 ； （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①1+3+5+…+97+99＝　 　 ； ②计算：41+43+45+…+197+199． 参考答案 一．填空题 1．如图，小明家客厅的电视背景墙ABCD是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为5：4．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比AD：AB的值为 　　 ． 【解答】解：由题知， 令电视机的长为5a，宽为4a，小正方形的边长为m， 所以AD＝5a+2m，AB＝4a+2m． 因为小正方形的个数有166个， 所以（166﹣4）÷2＝81，81÷9＝9， 所以5a＝45m， 所以a＝9m， 则AD：AB＝． 故答案为：． 2．我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图①，计算31×47，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457．如图②，是用“铺地锦”计算两个两位数乘积的过程，它们的乘积等于 　345　 ． 【解答】解：根据题干得： 由题意得：5a＝10+a+2， 解得：a＝3， 故答案为：345． 3．将四张正方形纸片①，②，③，④，按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边即可，则这个正方形编号是 　①　 ． 【解答】解：设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d， 由题意得，左上角的阴影部分周长为（a+BC）+c+BC+AB+a+（c﹣AB）＝2a+2c+2BC， 右下角的阴影部分周长为b+c﹣（b﹣BC）+（b﹣d）+d+d+（c﹣d﹣b+BC）＝2c+2BC， 两块阴影周长之差为2a+2c+2BC﹣（2c+2BC）＝2a+2c+2BC﹣2c﹣2BC＝2a， 只需知道正方形①的边即可． 故答案为：①． 二．解答题 4．【阅读】图1是小茗同学在课本上看到的一个有趣的几何体．经过查阅资料，得知该几何体的名称叫做三棱台．如图2，所有的棱台都可以看作是某个棱锥被平行于底面的平面截去一个小的棱锥后得到的几何体． 【探究】 （1）在图3中，用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥，请画出截得的四棱台的平面直观图．（注意看得见的棱画成实线，看不见的棱画成虚线） （2）观察三棱台、四棱台、五棱台的面数（F）、棱数（E）和顶点数（V），分别填入下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 　5　 　6　 　7　 … 棱数（E） 　9　 　12　 　15　 … 顶点数（V） 　6　 　8　 　10　 … ①小茗通过观察，猜想，验证，发现所有的棱台都满足等式：F+E﹣2V＝2，你认为她的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例． ②请你写一条关于F、E、V三个量的等式，使其满足棱锥，但是不满足棱台，并说明理由． 【解答】解：（1）如图3所示， （2）如下表中： 三棱台 四棱台 五棱台 … 面数（F） 5 6 7 … 棱数（E） 9 12 15 … 顶点数（V） 6 8 10 … ①结论正确，理由如下： 结合上表，得三棱台有2×3＝6个顶点，3×3＝9个棱，3+2＝5个面， 四棱台有2×4＝8个顶点，3×4＝12个棱，4+2＝6个面， 五棱台有2×5＝10个顶点，3×5＝15个棱，5+2＝7个面， 依次类推……， n棱台有2n个顶点，3n个棱，（n+2）个面， 故F+E﹣2V＝n+2+3n﹣2×2n＝2； ②如下表中： 三棱锥 四棱锥 五棱锥 … 面数（F） 4 5 6 … 棱数（E） 6 8 10 … 顶点数（V） 4 5 6 … 结合上表，得三棱锥有3+1＝4个顶点，2×3＝6个棱，3+1＝4个面， 四棱锥有4+1＝5个顶点，2×4＝8个棱，4+1＝5个面， 五棱锥有5+1＝6个顶点，2×5＝10个棱，5+1＝6个面， 依次类推……， n棱锥有（n+1）个顶点，2n个棱，（n+1）个面， 故n+1+n+1﹣2n＝2， ∴F+V﹣E＝2（满足棱台，不符合题意）；F＝V＝E+1； 综上，满足棱锥的等量关系为：F＝V＝E+1． 5．数学课上，鲍老师提出问题：观察如图的几种简单多面体，每个多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间有怎样的数量关系？ 同学们的思考如下： （1）完成以上解答； （2）某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成，且面数与顶点数的比值为5：3，那么这个玻璃饰品是几面体？ （3）如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形，且各个顶点处结构完全相同，这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体，那么柏拉图立体共有　5　 种． 【解答】解：（1）8+6﹣2＝12； 12+2﹣8＝6； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F﹣E＝2； （2）设这个玻璃饰品的面数为F，顶点数为V， 已知面数与顶点数的比值为5：3，则可得，即， 因为该多面体外表面是由三角形构成，每个三角形有3条边，每一条棱被两个面共用，所以棱数， 根据欧拉公式V+F﹣E＝2，得， 解得F＝20， 答：这个玻璃饰品是二十面体； （3）1、正四面体：正四面体的每个面都是正三角形，且每个顶点处有3个面相交，满足正多面体的定义； 2、正六面体（正方体）：正六面体的每个面都是正方形，每个顶点处有3个面相交，符合正多面体的条件； 3、正八面体：正八面体的每个面都是正三角形，每个顶点处有4个面相交，是正多面体的一种； 4、正十二面体：正十二面体的每个面都是正五边形，每个顶点处有3个面相交，满足正多面体的要求； 5、正二十面体：正二十面体的每个面都是正三角形，每个顶点处有5个面相交，属于正多面体； 综上，柏拉图立体共有5种； 故答案为：5． 6．【活动思考一】 光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 如图2，小明画出了汽车与右侧后视镜的示意图，汽车用长方形ABCD表示，司机位于车内左前方的点O处，OM∥BC，右侧后视镜用线段BE表示，后视镜BE与BC形成的∠CBE为60°，司机观察车右侧后视镜的视角∠MOH的度数不大于80°，点H为线段BE上的任意一点，且点H为入射点． （1）若∠MOH＝70°，则图2中入射角∠OHG等于　40　 °； （2）请用无刻度的直尺与圆规补全图2中的反射光线HF； （3）由（2），我们把∠OHF称为司机观察车右侧的“给力视野”，当入射点H与点E重合时，“给力视野”最大，最大值为　100　 °． 【活动思考二】 当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡，会形成我们常说的车尾盲区（如图3）． 在平直的公路上有一辆货车匀速行驶，正后方跟随一辆速度为20米/秒的小汽车．若此时货车司机紧急刹车，那么后方的小汽车司机也随即刹车，但小汽车司机有一个1.5秒的反应时间．已知货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为15米，小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为40米，货车车尾盲区为货车正后方的5米区域．小明根据题意画出了如图4所示的线性示意图． 请作答： （1）线段AB表示的实际意义是：　货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为15米　 ； （2）在货车刹车前，小汽车应与货车至少保持多少米的安全距离，才不会闯入货车的车尾盲区？ 【解答】解：【活动思考一】 （1）汽车用长方形ABCD表示，司机位于车内左前方的点O处，OM∥BC，后视镜BE与BC形成的∠CBE为60°，∠MOH的度数不大于80°，如图2，设OH与BC交于点K， ∵OM∥BC， ∴∠BKH＝∠MOH＝70°， ∵∠KBH+∠BKH+∠BHK＝180°，∠CBE＝60°， ∴∠KHB＝50°， ∵HG⊥BE， ∴∠BHG＝90°， ∴∠OHG＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：40； （2）①如图3，以H为圆心，任意长度为半径画弧，交HO、HG分别为P、Q，连接PQ； ②以Q为圆心，PQ长度为半径画弧，交弧PQ于点F； ③连接HF； ∴HF即为所求； （3）如图4，设OH与BC交于点R，当入射点H与点E重合时，∠MOH的度数最大值为80°， ∵OM∥BC， ∴∠BRH＝∠MOH＝80°， ∵∠RBH+∠BRH+∠BHR＝180°，∠CBE＝60°， ∴∠RHB＝40°， ∵HG⊥BE， ∴∠BHG＝90°， ∴∠OHG＝90°﹣40°＝50°， ∴∠OHF＝2∠OHG＝100°， 即“给力视野”最大值为100°， 故答案为：100； 【活动思考二】 （1）线段AB表示的实际意义是：货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为15米， 故答案为：货车从开始刹车到完全停住的滑行距离为15米； （2）∵CD＝20×1.5＝30（米）， ∴CA＝CD+DE﹣（AB﹣EB）＝30+40﹣（15﹣5）＝60（米）， ∴小汽车应与货车至少保持60米的安全距离． 7．【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．如图1，经过入射点O且垂直于反射面的直线OE叫做法线．入射光线CO与法线的夹角∠COE叫做入射角．反射光线OD与法线的夹角∠EOD叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即∠EOD＝∠COE． （1）探究图1中入射光线与镜面所夹的锐角∠AOC与反射光线与镜面所夹的锐角∠BOD的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用【问题情境】（2）中获得的结论解决以下问题： 如图2，直线MN∥PQ，点A在直线PQ上，点C在直线MN上，光线AC被MN反射后再次被PQ反射，入射光线AC经过两次反射的光线为BD，其中点B在直线PQ上． （2）BD与AC有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，已知∠1＝66°，直线MN绕点C顺时针旋转α（0＜α＜30°）至直线GH，当α为何值时，BD∥GH． （4）直线MN绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），直线BD与直线AC相交于点E，请直接写出∠AEB和α之间的数量关系　∠AEB＝2α或∠AEB＝360°﹣2α　 ． 【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD；理由如下： ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝∠BOE＝90°， ∵∠COE＝∠DOE， ∴∠AOE﹣∠COE＝∠BOE﹣∠DOE， ∴∠AOC＝∠BOD； （2）BD∥AC；理由如下： ∵MN∥PQ， ∴∠BCM＝∠CBQ， 由（1）的结论可得∠ACN＝∠BCM，∠CBQ＝∠PBD， ∴∠ACB＝180°﹣∠ACN﹣∠BCM＝180°﹣2∠BCM， ∠CBD＝180°﹣∠CBQ﹣∠PBD＝180°﹣2∠CBQ， ∴∠ACB＝∠CBD， ∴AC∥BD； （3）∵MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠1＝66°， ∵直线MN绕点C顺时针旋转α（0＜α＜30°）至直线GH，即∠HCN＝α， ∴∠ACH＝∠ACM﹣∠HCN＝66°﹣α， 由（1）的结论可得∠BCG＝∠ACH＝66°﹣α， ∴∠ACB＝180°﹣∠ACH﹣∠BCG＝180°﹣（66°﹣α）﹣（66°﹣α）＝48°+2α， ∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣（48°+2α）＝66°﹣2α， 由（1）的结论可得∠DBP＝∠ABC＝66°﹣2α， ∴∠CBD＝180°﹣∠DBP﹣∠ABC＝180°﹣（66°﹣2α）﹣（66°﹣2α）＝48°+4α， ∵当∠BCG+∠CBD＝180°，即66°﹣α+48°+4α＝180°时，BD∥GH， ∴α＝22°； （4）分两种情况讨论： ①当BD在AC的左侧时，直线BD与AC相交于点E， ∵MN∥PQ， ∴∠NCA＝∠CAB， ∵直线MN绕点 C顺时针旋转α，即∠NCH＝∠MCG＝α， ∴∠ACH＝∠NCA﹣∠NCH＝∠CAB﹣α， 由（1）的结论可得∠GCB＝∠ACH＝∠CAB﹣α， ∴∠BCM＝∠GCB﹣∠GCM＝∠CAB﹣2α， ∵MN∥PQ， ∴∠ABC＝∠BCM＝∠CAB﹣2α， 由（1）结论有∠DBP＝∠ABC＝∠CAB﹣2α， ∴∠ABE＝∠DBP＝∠CAB﹣2α， ∴∠E＝∠CAB﹣∠ABE＝∠CAB﹣（∠CAB﹣2α）＝2α； ②当BD在AC的右侧时，直线BD与AC相交于点E， ∵MN∥PQ， ∴∠MCA＝180°﹣∠1， ∵直线MN绕点 C顺时针旋转α，即∠MCG＝α， ∴∠2＝180°﹣∠MCG＝180°﹣α， ∴∠3＝∠MCA﹣∠2＝（180°﹣∠1）﹣（180°﹣α）＝α﹣∠1， 由（1）结论可得，∠GCB＝∠3＝α﹣∠1， 又∠4＝∠2＝180°﹣α， ∴∠5＝∠GCB﹣∠4＝（α﹣∠1）﹣（180°﹣α）＝2α﹣∠1﹣180°， ∵MN∥PQ， ∴∠6＝∠5＝2α﹣∠1﹣180°， 由（1）结论可得∠7＝∠6＝2α﹣∠1﹣180°， ∴∠ABE＝∠7＝2α﹣∠1﹣180°， ∵∠BAE＝∠1， ∴∠E＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE ＝180°﹣（2α﹣∠1﹣180°）﹣∠1 ＝360°﹣2α． 综上所述，∠AEB＝2α或∠AEB＝360°﹣2α， 故答案为：∠AEB＝2α或∠AEB＝360°﹣2α． 8．【习题再现】 （1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，AB∥CD，点E在AB，CD之间．写出∠AEC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】 （2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线OE与平面镜l垂直，即OE⊥BC，垂足为O，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点D．小明认为，图中∠AOB＝∠COD，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜AB，BC，CD，DA，其中AD∥CB，若光线从AD上的E处射出，在平面镜AB上经点F反射后，到达BC上的点G，…其传播路径为E→F→G→H→E→F…请判断∠EFG与∠GHE的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∠AEC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠AEC＝∠A+∠C，理由如下： 过点E作EM∥AB，如图所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥CD， ∴∠AEM＝∠A，∠CEM＝∠C， ∴∠AEM+∠CEM＝∠A+∠C， ∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM， ∴∠AEC＝∠A+∠C， （2）①理由如下： ∵OE⊥BC， ∴∠EOC＝∠EOD＝90°， ∴∠AOE+∠AOB＝∠DOE+∠COD＝90°， ∵光线的入射角等于反射角， ∴∠AOE＝∠DOE， ∴∠AOB＝∠COD； ②∠EFG与∠GHE的数量关系是：∠EFG＝∠GHE，理由如下： 由（2）的结论得：∠AEF＝∠DEH，∠BGF＝∠CGH， ∴∠AEF+∠BGF＝∠DEH+∠CGH， ∵AD∥CB， 由（1）的结论得：∠EFG＝∠AEF+∠BGF，∠EHG＝∠DEH+∠CGH， ∴∠EFG＝∠EHG． 9．综合与实践：探究规律可以从简单情形入手： 【温故知新】小明在学习《鸡蛋饼的分割》后，先复习巩固相关知识，然后整理成如下笔记： （1）抽象数学问题：n条直线最多可以将平面分割成几个区域？ ①画图探究，数据整理，并补全表格； 分割线条数（n） 1 2 3 4 5 … 区域个数（An） 2 4 7 11 　16　 … ②结论：An＝ 　　 （用含n的代数式表示）； 【探究新知】复习巩固相关知识后，小明又探究了新问题：n个圆最多可以将平面分割成几个区域？ （2）类比探究： ①画图探究，数据整理，并补全表格； 圆的个数（n） 1 2 3 4 … 区域个数An 2 4 　8　 　14　 … ②探究：An与n的关系？ 【实践应用】 （3）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：谁能用最少的刀数分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？写出你的分割方案，并简要说明． 【解答】解：（1）①根据题意可得，当n＝1时，A1＝1+1＝1+＝2， 当n＝2时，A2＝1+1+2＝1+＝4， 当n＝3时，A3＝1+1+2+3＝1+＝7， 当n＝4时，A4＝1+1+2+3+4＝1+＝11， 当n＝5时，A5＝1+1+2+3+4+5＝1+＝16， 故答案为：16； ②由①可得：An＝1+＝， 故答案为：； （2）①根据题意可得，第三个图为： 当n＝1时，圆的个数为：A1＝2+1×（1﹣1）＝2， 当n＝2时，圆的个数为：A2＝2+2×（2﹣1）＝4， 当n＝3时，圆的个数为：A3＝2+3×（3﹣1）＝8， 当n＝4时，圆的个数为：A4＝2+4×（4﹣1）＝14， 故答案为：8；14； ②由①可得：An＝n2﹣n+2， （3）分割方案：先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀，理由： ∵44＝11×4， 切1刀最多2块，切2刀最多4块，切3刀最多7块，切4刀最多11块， 将一个长方体大蛋糕竖直方向切4刀，最多可切割成11块，然后再平行于桌面切3刀得四层蛋糕，每层有11块， ∴共切成蛋糕有11×4＝44块． 10．【问题提出】连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一：如图①当五边形内有1个点时，可分得　5　 个三角形； 探究二：当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形ABCDE的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示、显然，不管哪种情况，都可分得　7　 个三角形． 探究三：当五边形内有3个点时，可分得　9　 个三角形．（可借助图④画图分析） 【问题解决】连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得　（2n+3）　 个三角形． 【反思提高】若连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的若干个点，可把五边形区域分割成2024个三角形吗？如果能，请求出该五边形内部点的个数；如果不能，请说明理由． 【策略应用】若连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，可把六边形区域分割成　（2m+4）　 个三角形．（不计被分割的三角形） 【解答】解：探究一：如图①，当五边形内有1个点时，可分得5+2×1﹣2＝5（个）三角形； 故答案为：5； 探究二：由图②和图③，当五边形内有2个点时，可分得5+2×2﹣2＝7（个）三角形； 故答案为：7； 探究三：画出图形如下，当五边形内有3个点时，可分得5+2×3﹣2＝9（个）三角形； 故答案为：9； 问题解决：由探究一可知：当五边形内有1个点时，可分得5+2×1﹣2＝5（个）三角形； 由探究二可知：当五边形内有2个点时，可分得5+2×2﹣2＝7（个）三角形； 由探究三可知：当五边形内有3个点时，可分得5+2×3﹣2＝9（个）三角形； ……， 以此类推，当五边形内有n个点时，可分得5+2n﹣2＝（2n+3）个三角形； 故答案为：（2n+3）； 拓展延伸：（1）不能， 理由：由问题解决可知2n+3＝2024， ∴n＝1010.5， ∴不能把五边形区域分割成2024个三角形； （2）如图所示，当六边形内有1个点时，可以分6+2×1﹣2＝6个三角形， 当六边形内有2个点时，可以分6+2×2﹣2＝8个三角形， 当六边形内有3个点时，可以分6+2×3﹣2＝10个三角形， 以此类推，可知当六边形内有m个点时，可分得6+2m﹣2＝（2m+4）个三角形， 故答案为：（2m+4）． 11．【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律． m n t 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 x y 【问题解决】 （1）请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； （2）将表格中的数据补充完整，x＝ 　6　 ；y＝ 　11　 ； （3）猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为：t﹣m﹣n＝1　 ； （4）根据上面的规律，你能用10条分割线将一个圆面分出57个区域吗？请说明理由． 【解答】解：（1）出分割后的图形，如图所示： （2）根据解析（1）画出的图形，交点个数为6个，分成的区域为11个， 即x＝6，y＝11； 故答案为：6；11； （3）当m＝1时，n＝0，t＝2，则2﹣1﹣0＝1； 当m＝2时，n＝1，t＝4，则4﹣2﹣1＝1； 当m＝3时，n＝3，t＝7，则7﹣3﹣3＝1； 当m＝4时，n＝6，t＝11，则11﹣4﹣6＝1； ∴t﹣m﹣n＝1； 故答案为：t﹣m﹣n＝1； （4）不能，理由如下： 2条分割线最多有1个交点， 3条分割线最多有1+2＝3个交点， 4条分割线最多有1+2+3＝6个交点， 5条分割线最多有1+2+3+4＝10个交点， 6条分割线最多有1+2+3+4+5＝15个交点， ……， 10条分割线最多有个交点， 根据解析（3）可得：10条分割线将圆面分割出最多的区域为： t＝m+n+1＝10+45+1＝56＜57， ∴不能用10条分割线将一个圆面分出57个区域． 12．在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门票等．人类使用密码的历史相当久远，约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 如表，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母a，b，c…，z依次对应数字1，2，3，…，26．当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字x是偶数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；当数字x是奇数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母．例如：接收的密文内容为“pty”，英文字母“p”对应的数字16是偶数，则明文数字为对应的英文字母“s”；英文字母“t”对应的数字20是偶数，则明文数字为对应的英文字母“u”；英文字母“y”对应的数字25是奇数，则明文数字为对应的英文字母“n”，所以密文破译后的明文为“sun”． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题： （1）密文“jgf”破译成明文为pen ； （2）若破译后的明文为“me”，请用英文字母写出应该传输的密文，并说明理由； （3）是否存在这样的英文字母，在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，若存在，请找出这样的字母；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题知， 英文字母“j”对应的数字10是偶数， 则明文为对应的英文字母“p”； 同理可得， 密文字母“g”对应的明文字母为“e”；密文字母“f”对应的明文字母为“n”， 所以密文“jgf”破译成明文为“pen”． 故答案为：pen． （2）dg或wg，理由如下： 因为字母“m”对应的数值为13， 由得，x＝4（符合题意）； 由得，x＝23（符合题意）， 所以密文字母“d”或“w”都对应明文字母“m”； 同理可得， 密文字母“g”对应明文字母“e”． 所以应该传输的密文为“dg”或“wg”． （3）存在，为字母v和c，理由如下： 当x为偶数时， ， 解得x＝22， 所以密文字母“v”经过破译后还是字母“v”． 当x为奇数时， ， 解得x＝3， 所以密文字母“c”经过破译后还是字母“c”， 所以密文字母“v”和“c”经过破译后还是同一个字母． 13．在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“C”，密文“258”翻译成明文为“CZ”． （1）明文“A”对应的密文为“　1（答案不唯一）　 ”（写出符合条件的一种情况即可），密文“483847”翻译成明文为“GOOD ”； （2）为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文I”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． 密文I：t 1 2 3 4 … 密文Ⅱ：3t+4 7 10 13 16 … ①若密文I中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为　增加3　 ； ②若密文I中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“3t+4”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 【解答】解：（1）由题知，明文“A”对应的密文为“1”（答案不唯一），密文“483847”翻译成明文为：“GOOD”， 故答案为：1（答案不唯一），GOOD； （2）①由所给表格可知， 密文I中正整数每增加1，密文Ⅱ中正整数增加3， 故答案为：增加3； ②若密文I中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“3t+4”直接利用原规则对应的明文相同，则： 3t+4＝t+30m（m为正整数） 则t＝15m﹣2， 当m＝1时，t＝13，此时明文为Y； 当m＝2时，t＝28，此时明文为Z； 当m＝3时，t＝43，此时明文为Y； 当m＝4时，t＝58，此时明文为Z； ⋯， 所以该明文为Y或Z 14．根据背景素材，探索解决问题． 素材1 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为AB＝|a﹣b|． 素材2 已知a＞b，k＞0，可得结论ka＞kb． 已知a＞b，k＜0，可得结论ka＜kb． 素材3 对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB，使得将数组P中的每一个数乘以k之后，计算的结果都能够用线段AB上的某个点来表示，就称k为数组P的“美好系数”． 例如，对于数组P：1，2，3，因为＝，＝，，取A为原点，B为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断是P的“美好系数”． 【问题1】 （1）数轴上表示A，B两点的数分别为﹣1，2，则AB两点之间的距离为　3　 ； （2）|x﹣2|在数轴上表示数x和数2的两点之间的距离，则方程|x﹣2|＝3的解为x＝5或﹣1　 ． 【问题2】 （3）对于数组P：﹣2025，2025，﹣2024，2024，0，当k＜0时，将数组P中的每一个数乘以k之后，最大数是　﹣2025k ．（用含k的代数式表示） 【问题3】 已知k是数组P的“美好系数”． （4）对于数组P：1，2，﹣3，在下列各数中：，能成为k的值有　或　 ； （5）对于数组P：1，2，x，若k的最大值为，求x的值． 【解答】解：（1）由题意得，AB＝|﹣1﹣2|＝|﹣3|＝3， 故答案为：3； （2）由题意，∵|x﹣2|＝3， ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3． ∴x＝5或﹣1； 故答案为：x＝5或﹣1； （3）对于数组P：﹣2025，2025，﹣2024，2024，0，当k＜0时，将数组P中的每一个数乘以k之后，得：﹣2025k，2025k，﹣2024k，2024k，0，则有： 2025k＜2024k＜0＜﹣2024k＜﹣2025k， 所以，最大的数为：﹣2025k， 故答案为：﹣2025k； （4）∵1×1＝1，2×1＝2，﹣3×1＝﹣3，1﹣（﹣3）＝1+3＝4＞1， ∴k不可能为1； ∵， ∴k不可能为； ∵， ∴k可能为． ∵， ∴k可能为； 故答案为：或； （5）取美好系数，将它乘以数组P中的每个数，得： ． 依题意，k的最大值即为， ∴中最大的数与最小的数的差恰好为1． 情况1：当x＜1时，最大的数为，最小的数为，，得x＝﹣1； 情况2：当1＜x＜2时，最大的数为，最小的数为，不合题意； 情况3：当x＞2时，最大的数为，最小的数为，，得x＝4； 综上，x的值为﹣1或4． 15．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 观察图案可得：第一个图案正三角形有4个，六边形有1个，第二图案正三角形有6个，六边形有3个． （1）第4个图案中，三角形有　10　 个，六边形有　7　 个； （2）第n（n为正整数）个图案中，三角形有　（2n+2）　 个，六边形有　（2n﹣1）　 个； （3）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【解答】解：（1）第4个图案中，三角形10个，六边形有7个； 故答案为：10，7； （2）由图可知： 第一个图案有三角形4个，六边形1个， 第二个图案有三角形6个，六边形3个， 第三个图案有三角形8个，六边形5个， 那么第n个图案中有三角形（2n+2）个，六边形有（2n﹣1）个， 故答案为：（2n+2），（2n﹣1）； （3）没有，理由如下： 当有100个三角形时，2n+2＝100，解得n＝49， 当n＝49时，六边形个数2×49﹣1＝97， 100≠97， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与100个六边形． 16．综合与实践 【问题情境】 “一笔画图形”是指笔尖不离纸，且不走重复路线，能够一笔画出的图形．我们把画图时，亮尖的起点、终点以及所画出的线与线的交点叫做“一笔画图形”的“点”，把由“点”分成的每一条线叫做“边”，把“边”将平面分成的每一部分叫做“区域”，图①、②、③、④都是“一笔画图形”，图①的“点”是A、B，“边”是a、b、c、d部分，“区域”是I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分． 【探索活动】 序号 “点”数V “边”数E “区域”数F 图① 2 4 4 图② 3 3 2 图③ 3 6 　5　 图④ 1 　4　 5 图⑤ 　4　 　5　 　3　 （1）请你在图⑤的方框中画出一个与图①、②、③、④都不同的“一笔画图形”，并完成表格； （2）写出V、E、F之间的关系式E＝V+F﹣2　 ； 【解决问题】 （3）图⑥是“一笔画图形”．已知该图形中有62个“区域”，除了“起点”和“终点”，其余每个“点”都连着4条“边”，该图形有多少条“边”？ 【解答】解：（1） 序号 “点”数V “边”数E “区域”数F 图① 2 4 4 图② 3 3 2 图③ 3 6 5 图④ 1 4 5 图⑤ 4 5 3 故答案为：5；4；4；5；3； （2）由表格中的数据可得：中间数列等于两边数列之和减去2，即E＝V+F﹣2． 故答案为：E＝V+F﹣2； （3）设共有x个点，由（2）得：E＝x+62﹣2＝x+60， ∵x个点每个点都连着4条边，且起点和终点的边数分别是3条和5条， ∴E＝＝2x， ∴x+60＝2x， 解得：x＝60， ∴E＝2×60＝120， ∴该图形有120条“边”． 17．在数学中数与形之间也可以互相转化． （1）观察如图的图形与等式的关系，并填空： 结合图形，我们可以发现：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2 ； （2）利用（1）中的结论解决下列问题： ①1+3+5+…+97+99＝　2500　 ； ②计算：41+43+45+…+197+199． 【解答】解：（1）由题知， 因为1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…， 所以1+3+5+…+（2n﹣1）＝＝n2． 故答案为：n2． （2）①由（1）发现的结论可知， 1+3+5+…+97+99＝＝502＝2500． 故答案为：2500； ②∵1+3+5+…+41+43+45+…+197+199 ＝ ＝1002 ＝10000， 1+3+5+…+39＝＝202＝400， ∴41+43+45+…+197+199＝10000﹣400＝9600． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $