4.2.2 离散型随机变量的分布列 课后达标检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的分布列及性质、概率计算、两点分布等核心知识点。课堂导入从基础题判断分布列正误入手，回顾分布列取值互异、概率非负且和为1的性质，过渡到利用性质求概率的简单应用，再到抛掷骰子点数之和等综合题及运动员得分等实际应用，形成由浅入深的学习支架。 其亮点在于分层设计基础达标、能力提升、素养拓展模块，通过数学思维（如第6题逻辑推理求参数范围）和数学语言（如第15题符号表达抛物线参数概率），结合正方体棱关系概率、购物抽奖分布列等实例，培养学生抽象能力与应用意识。学生能构建知识体系提升解题能力，教师可分层检测教学效果。

4.2　4.2.2　课后达标检测 1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 3．(2024·贵州遵义阶段练习)随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8 解析：因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2，所以P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－0.2＝0.8，由Y＝3X－2，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.故选D. 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 4．设随机变量ξ的取值范围为{1，2，…，n}，若P(ξ<4)＝0.3，则n＝(　　) A．3 B．4 C．10 D．20 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ 课后达标 检测 6．(2024·山东德州高二校考阶段练习)若随机变量X的分布列为(　　)   则当P(X＜a)＝0.7时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 解析：由随机变量X的分布列知，P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.4，P(X＜2)＝0.7，则当P(X＜a)＝0.7时，实数a的取值范围是(1，2].故选C. 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 课后达标 检测 7．(2024·山东潍坊高二统考期末)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a2，P(X＝1)＝a，那么a＝________． 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 课后达标 检测 8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab.   则这名运动员得3分的概率是________． 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 X 0 2 3 P a b c 课后达标 检测 9．已知X服从参数为0.3的两点分布，则P(X＝0)＝________；若Y＝3X－2，则P(Y＝1)＝________． 解析：由题意，得P(X＝1)＝0.3，所以P(X＝0)＝1－0.3＝0.7.当X＝1时，Y＝3×1－2＝1，所以P(Y＝1)＝P(X＝1)＝0.3. 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 0.7 0.3 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 (1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率； 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 (2)设小李所得奖金总数为随机变量X，求X的分布列． 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 1 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 14．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 解析：本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξ＝i)≥0，i＝1，2，…，n， eq \i\su(i＝1,n,P) (ξ＝i)＝1.A中，ξ的取值出现了重复；B中，P(ξ＝0)＝－ eq \f(1,4) <0； C中， eq \f(1,5) ＋ eq \f(2,5) ＋ eq \f(3,5) ＝ eq \f(6,5) ＞1.经检验，D项符合题意． 2．随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中2b＝a＋c，则P(|ξ|＝1)＝(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3) 解析：因为2b＝a＋c，且a＋b＋c＝1，解得b＝ eq \f(1,3) ，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝a＋c＝2b＝ eq \f(2,3) .故选D. 解析：因为随机变量ξ的取值范围为{1，2，3，…，n}，所以P(ξ＝k)＝ eq \f(1,n) (k＝1，2，3，…，n)，因为0.3＝P(ξ<4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝ eq \f(3,n) ，解得n＝10.故选C. 5．抛掷2枚均匀的骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝(　　) A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3) 解析：根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4).抛掷2枚均匀的骰子，按所得的点数之和共含36个样本点，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2). 故P(X＝2)＝ eq \f(1,36) ，P(X＝3)＝ eq \f(2,36) ＝ eq \f(1,18) ，P(X＝4)＝ eq \f(3,36) ＝ eq \f(1,12) ，所以P(X≤4)＝ eq \f(1,36) ＋ eq \f(1,18) ＋ eq \f(1,12) ＝ eq \f(1,6) . 解析：由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝a＋2a2＝1，解得a＝ eq \f(1,2) 或a＝－1，由于a＞0，所以a＝ eq \f(1,2) . eq \f(1,2) 解析：由题意得2b＝a＋c，c＝ab，a＋b＋c＝1，且a≥0，b≥0，c≥0，联立得a＝ eq \f(1,2) ，b＝ eq \f(1,3) ，c＝ eq \f(1,6) ，故这名运动员得3分的概率是 eq \f(1,6) . eq \f(1,6) 10．某商场为了促销，规定顾客购买商品满500元即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为 eq \f(2,3) ， eq \f(1,2) ， eq \f(1,3) ，如果第一次抽中后选择继续抽奖的概率为 eq \f(2,3) ，第二次抽中后选择继续抽奖的概率为 eq \f(1,4) ，且每次是否抽中互不影响． 解：记小李第i次抽中为事件Ai(i＝1，2，3)，则有P(A1)＝ eq \f(2,3) ，P(A2)＝ eq \f(1,2) ，P(A3)＝ eq \f(1,3) ，且A1，A2，A3两两互相独立， 记小李第一次抽中但奖金归零为事件A， 则P(A)＝P(A1 eq \x\to(A) 2)＋P(A1A2 eq \x\to(A) 3)＝ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) ＋ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) × eq \f(1,2) × eq \f(1,4) ×(1－ eq \f(1,3) )＝ eq \f(7,27) . 解：由题意可知X的取值范围为{0，10，40，90}， P(X＝0)＝P(A)＋(1－ eq \f(2,3) )＝ eq \f(16,27) ， P(X＝10)＝ eq \f(2,3) ×(1－ eq \f(2,3) )＝ eq \f(2,9) ， P(X＝40)＝ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ×(1－ eq \f(1,4) )＝ eq \f(1,6) ， P(X＝90)＝ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) × eq \f(1,2) × eq \f(1,4) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,54) ， 所以X的分布列为 X 0 10 40 90 P eq \f(16,27) eq \f(2,9) eq \f(1,6) eq \f(1,54) 11.(多选)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是(　　) A．P(ξ＝0)＝ eq \f(4,11) B．P(ξ＝ eq \r(2) )＝ eq \f(1,11) C．P(ξ＝1)＝ eq \f(6,11) D．P(ξ＝ eq \r(2) )＝ eq \f(1,22) 解析：由题设，ξ的取值范围为{0，1， eq \r(2) }，若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P(ξ＝0)＝2,3) eq \f(8C,C eq \o\al(2,12) ) ＝ eq \f(4,11) ，若两条棱平行，两条棱之间的距离为1或 eq \r(2) ，而距离为 eq \r(2) 的共有6对，所以P(ξ＝ eq \r(2) )＝2,12) eq \f(6,C) ＝ eq \f(1,11) ，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝ eq \r(2) )＝1－ eq \f(4,11) － eq \f(1,11) ＝ eq \f(6,11) ，ξ的分布列如下： ξ 0 1 eq \r(2) P eq \f(4,11) eq \f(6,11) eq \f(1,11) 故选ABC. 12．已知病毒A在某溶液中的存活个数(k)的概率满足P(X＝k)＝ eq \f(3k,k！) e－3(k＝0，1，2，…)，已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为________． 1－ eq \f(1,e3) 解析：根据题意，P(X＝k)＝ eq \f(3k,k！) e－3(k＝0，1，2，…)，则 P(X＝0)＝ eq \f(30,0！) e－3＝ eq \f(1,e3) ，若该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率．P(X＞0)＝1－P(X＝0)＝1－ eq \f(1,e3) . 13．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 eq \f(4,5) ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 P eq \f(6,125) a b eq \f(24,125) 则a＋b的值为______；p＋q的值为__________． eq \f(19,25) 解析：由分布列的性质有 eq \f(6,125) ＋a＋b＋ eq \f(24,125) ＝1，解得a＋b＝ eq \f(95,125) ＝ eq \f(19,25) ，由P(ξ＝0)＝ eq \f(6,125) ，P(ξ＝3)＝ eq \f(24,125) 可知， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)（1－p）（1－q）＝\f(6,125)，,\f(4,5)pq＝\f(24,125)，,p>q，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝\f(3,5)，,q＝\f(2,5)．)) 所以p＋q＝ eq \f(3,5) ＋ eq \f(2,5) ＝1. 解：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值范围为{0，1}．P(X＝1)＝1,4) eq \f(C,C eq \o\al(1,10) ) ＝ eq \f(2,5) ，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－ eq \f(2,5) ＝ eq \f(3,5) .因此X的分布列为 X 0 1 P eq \f(3,5) eq \f(2,5) 15．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈ {－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|，则P(|ξ－1|＝1)＝(　　) A． eq \f(5,9) B． eq \f(3,5) C． eq \f(2,5) D． eq \f(1,3) 解析：由于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴左侧，所以－ eq \f(b,2a) ＜0，即a，b同号且均不为零，c可取{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的任意值，所以共有3×3×7×2＝126种不同的情况．因为ξ＝|a－b|，所以ξ的取值范围是{0，1，2}，其中ξ＝0的可能情况为a＝b且a，b∈{－3，－2，－1，1，2，3}，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，所以P(ξ＝0)＝ eq \f(6×7,126) ＝ eq \f(1,3) ，ξ＝1的可能情况为(a，b)∈{(－3，－2)，(－2，－3)，(－2，－1)，(－1，－2)，(3，2)，(2，3)，(2，1)，(1，2)}且c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，所以 P(ξ＝1)＝ eq \f(8×7,126) ＝ eq \f(4,9) ，ξ＝2的可能情况为(a，b)∈{(－3，－1)，(－1，－3)，(3，1)，(1，3)}且c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3} ，所以P(ξ＝2)＝ eq \f(4×7,126) ＝ eq \f(2,9) ，所以P(|ξ－1|＝1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝ eq \f(1,3) ＋ eq \f(2,9) ＝ eq \f(5,9) .故选A. 16．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 eq \f(3,4) ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 eq \f(4,5) 和 eq \f(5,8) ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和 eq \f(3,2) －p，其中0＜p＜ eq \f(3,4) . (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； 解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为P1＝ eq \f(3,4) × eq \f(3,4) ＝ eq \f(9,16) ；乙在初赛的两轮中均获胜的概率为P2＝ eq \f(4,5) × eq \f(5,8) ＝ eq \f(1,2) ；丙在初赛的两轮中均获胜的概率为P3＝p·( eq \f(3,2) －p)＝－p2＋ eq \f(3,2) p，因为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜p＜\f(3,4)，,0＜\f(3,2)－p＜1，)) 所以 eq \f(1,2) ＜p＜ eq \f(3,4) ，所以P3＝ －(p－ eq \f(3,4) )2＋ eq \f(9,16) ＜ eq \f(9,16) ，所以甲进入决赛可能性最大． (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为 eq \f(5,32) ，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列． 解：P＝P1×P2×P3＝ eq \f(9,16) × eq \f(1,2) ×(－p2＋ eq \f(3,2) p)＝ eq \f(5,32) ，整理得18p2－27p＋10＝0， 解得p＝ eq \f(2,3) 或p＝ eq \f(5,6) ，又因为 eq \f(1,2) ＜p＜ eq \f(3,4) ，所以p＝ eq \f(2,3) ，所以丙在初赛的两轮中均获胜的概率为P3＝ eq \f(2,3) ×( eq \f(3,2) － eq \f(2,3) )＝ eq \f(5,9) ，进入决赛的人数ξ的取值范围为 {0，1，2，3}，P(ξ＝0)＝ eq \f(7,16) × eq \f(1,2) × eq \f(4,9) ＝ eq \f(7,72) ，P(ξ＝1)＝ eq \f(7,16) × eq \f(1,2) × eq \f(5,9) ＋ eq \f(9,16) × eq \f(1,2) × eq \f(4,9) ＋ eq \f(7,16) × eq \f(1,2) × eq \f(4,9) ＝ eq \f(11,32) ，P(ξ＝2)＝ eq \f(9,16) × eq \f(1,2) × eq \f(4,9) ＋ eq \f(9,16) × eq \f(1,2) × eq \f(5,9) ＋ eq \f(7,16) × eq \f(1,2) × eq \f(5,9) ＝ eq \f(29,72) ，P(ξ＝3)＝ eq \f(5,32) ，故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P eq \f(7,72) eq \f(11,32) eq \f(29,72) eq \f(5,32) $