4.2.5 第1课时 二项分布与正态曲线(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该高中数学教案聚焦“二项分布与正态曲线”，通过高尔顿板实验观察小球分布频率图，从二项分布“钟形”直观图过渡到正态曲线，搭建从离散到连续的知识支架，梳理正态曲线的引入脉络。 特色在于情境化导入与数形结合，以高尔顿板实验培养数学眼光，通过分析μ、σ对曲线的影响发展数学思维，结合面积计算训练数学语言表达。助力学生直观理解抽象概念，为教师提供生动教学素材，提升课堂效率。

4．2.5　正态分布 第1课时　二项分布与正态曲线 1.利用服从二项分布的随机变量的分布列的直观图，了解正态曲线的意义．　2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质，明确正态曲线中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状的影响． 如图，是一块高尔顿板示意图．在一块木板上钉上若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内． 为了更好地考察随着试验次数的增加，落在各个球槽内的小球分布情况，我们进一步从频率的角度探究一下小球的分布规律，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，得到如图统计图： 思考　随着试验次数的增加，这个统计图会呈现出什么形状？ 提示：随着重复次数的增加，题图的形状会越来越像一条钟形曲线，如图所示． (1)二项分布的分布列的直观图的特点：当n充分大时，X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”． (2)正态曲线的解析式：φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝________，即X的均值；σ＝________，即X的标准差． (3)正态曲线的形状：一般地，φ(x)对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“________________”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x)). [答案自填] E(X)　　钟形曲线 　(1)下列函数中，可以作为正态曲线的是(　　) A．f(x)＝e－ B．f(x)＝e C.f(x)＝e－ D．f(x)＝e－ (2)若随机变量X的正态曲线对应函数为φμ，σ(x)＝e，则D＝________________________________________________________________________． 【解析】　(1)显然f(x)＝e－可以作为正态曲线．故选A. (2)因为D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1. 【答案】　(1)A　(2)1 熟记正态曲线解析式的形式，理解解析式中μ，σ的意义，μ＝E(X)，σ2＝D(X).　 [跟踪训练1] 设正态曲线的解析式为f(x)＝e－，则(　　) A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝ 解析：选C.由f(x)＝e－，得μ＝2，σ＝.故选C. (1)正态曲线关于________对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有____________、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为____； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度________，所以曲线越“________”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度________，所以曲线越“________”． [答案自填] x＝μ　中间高　1　越弱 胖　越强　瘦 　(2024·辽宁朝阳期末)已知三个正态曲线对应的函数fi(x)＝·e－(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．μ1＝μ2＞μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 D．μ1＝μ2＞μ3，σ1＝σ2＜σ3 【解析】　根据正态曲线对应的函数中参数μ，σ的意义，结合题图可知f2(x)，f3(x)对称轴位置相同，所以可得μ2＝μ3，且都在f1(x)的右侧，即μ1＜μ2＝μ3，比较f1(x)和f2(x)图象可得，其形状相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的离散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故选B. 【答案】　B (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“胖”，表示总体的分布越分散．　 [跟踪训练2] 已知甲、乙两类水果的质量(单位：kg)的均值和方差分别为μ1，σ，μ2，σ，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果质量的方差σ2＝1.99 解析：选D.由题图可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；因为甲曲线比乙曲线更“瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，令x＝μ得，＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误． 正态曲线与x轴在某个区间内所围的面积： (1)在区间[μ，μ＋σ]内所围面积约为________， (2)在区间[μ＋σ，μ＋2σ]内所围面积约为________， (3)在区间[μ＋2σ，μ＋3σ]内所围面积约为________． 如图． [答案自填] 0.341 3　0.135 9　0.021 5 　(对接教材例1) 在一次测试中，测量结果X的正态曲线如图所示，若正态曲线与x轴在区间[0，2]内所围面积为0.2.求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积． (1)[0，4]； (2)(4，＋∞). 【解】　(1)由题意可知，正态曲线关于直线x＝2对称，故正态曲线与x轴在区间[0，4]内所围面积是在区间[0，2]内所围面积的2倍，即2×0.2＝0.4. (2)正态曲线与x轴在区间[2，4]内所围面积与在区间[0，2]内所围面积相等，均为0.2，且正态曲线与x轴在区间[2，4]内所围面积与在区间(4，＋∞)内所围面积的和为0.5，故在区间(4，＋∞)内所围面积为0.5－0.2＝0.3. 【变式探究】 (设问变式)在题设条件不变的情况下，分别计算区间(－∞，0) 及(－∞，4)内所围面积． 解：区间(4，＋∞)与区间(－∞，0)关于直线x＝2对称，故正态曲线与x轴在区间(－∞，0)内所围面积为0.3.正态曲线与x轴在区间(－∞，4)内所围面积与在区间(4，＋∞)内所围面积的和为1，故正态曲线与x轴在区间(－∞，4)内所围面积为1－0.3＝0.7. 熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，即正态曲线与x轴所围面积在关于x＝μ对称的区间上相等．　 [跟踪训练3] (2024·山东济南月考)已知随机变量X的正态曲线的解析式为φ(x)＝·e－，若正态曲线与x轴在区间(－∞，m]内所围面积为0.3，则正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)内所围面积为________． 解析：区间(－∞，6－m)与区间(m，＋∞)关于直线x＝3对称，故正态曲线与x轴在区间(－∞，6－m)与在区间(m，＋∞)内所围面积相等，正态曲线在区间(m，＋∞)内与x轴所围面积为1－0.3＝0.7，所以所求面积为0.7. 答案：0.7 1．关于正态曲线函数φ(x)＝e－，下列说法错误的是(　　) A．曲线关于直线x＝μ对称，峰值为 B．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交 C．σ越大，曲线越“矮胖” D．对任意σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1 解析：选B.A，C，D说法正确．对于B，正态曲线位于x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，但与x轴不相交，B说法错误． 2．已知正态曲线f(x)＝e－，x∈R，则μ，σ分别是(　　) A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 解析：选B.f(x)＝e－＝·e－，故μ＝0，σ＝2.故选B. 3．(教材P97练习BT1改编)若随机变量X的正态曲线关于直线x＝2对称，若正态曲线与x轴在区间(－∞，k)内所围面积与在区间(k，＋∞)内所围面积是相等的，则k＝________． 解析：由于正态曲线与x轴在区间(－∞，k)内所围面积与在区间(k，＋∞)内所围面积是相等的，所以正态曲线关于直线x＝k对称，所以k＝2. 答案：2 1．已学习：(1)二项分布与正态曲线； (2)正态曲线及其性质； (3)正态曲线与x轴所围的面积． 2．须贯通：正态曲线及其性质判断需借助数形结合思想． 3．应注意：概率区间转化不等价．　 学科网（北京）股份有限公司 $