4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该高中数学教案聚焦离散型随机变量的均值，通过射击环数实例导入，从具体平均环数计算过渡到抽象均值定义，衔接前序分布列知识，搭建从具体到抽象的认知支架。 以射击、取球、志愿者支教等真实情境驱动教学，培养数学眼光观察现实问题，通过推导均值性质及分布公式发展数学思维，用分布列和公式表达结果强化数学语言。助力学生提升抽象与应用能力，为教师提供清晰教学路径。

4．2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量均值的性质．　3.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值． 4．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题． 在射击运动中，射击选手每次的射击成绩是一个非常典型的随机事件．如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？如何比较两个选手的射击情况？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识． 假如某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10. 思考　此人射击所得的平均环数是多少？ 提示：＝＝8. 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝___________________________________________＝ ________为离散型随机变量X的______________________(简称为期望).离散型随机变量X的均值E(X)也可用EX表示，它刻画了X的平均取值． [答案自填] x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　xipi　均值或数学期望 　(对接教材例2)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球． (1)求取出的3个球编号都不相同的概率； (2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与均值． 【解】　(1)设A：取出的3个球编号都不相同，B：取出的3个球中恰有两个球编号相同，则P(B)＝＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝. (2)X的取值范围为{1，2，3，4}． P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P X的均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝. 求随机变量X的均值的步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X的取值范围； (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)利用均值的定义E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求E(X).　 [跟踪训练1] 某台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品会亏损20元．已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　) A．39元 B．37元 C．20元 D．元 解析：选B.设这台机器生产一件产品可获利ξ元，由题易知随机变量ξ的分布列为 ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 所以E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37. (1)两点分布：若X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝________． (2)二项分布：若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝________． (3)超几何分布：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝________． [答案自填] p　np　 　一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是，甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次试验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套． (1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率； (2)记3次试验中，都选择了第一套方案且试验不成功的次数为X，求X的分布列和均值． 【解】　记事件Ai：一次试验中，选择第i套方案并试验成功，i＝1，2，则P＝×＝. (1)3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P＝P＝3＋3＝. (2)X的取值范围为{0，1，2，3}，则X～B， P＝C，k＝0，1，2，3，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝3×＝1. 如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；如果随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，则E(X)＝，以上两公式可以作为常用结论，直接代入求解，可避免繁杂的计算过程．　 [跟踪训练2] 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值． 解：(1)设A：选出的3名同学来自互不相同学院，则P(A)＝＝.所以选出的3名同学来自互不相同学院的概率为. (2)由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，n＝3，M＝4，且随机变量X的取值范围为{0，1，2，3}，P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝(或E(X)＝＝). 若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知E(Y)＝______________________． [答案自填] aE(X)＋b 　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m (1)求E(X)； (2)若Y＝2X－3，求E(Y). 【解】　(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (2)方法一(性质法)：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－)－3＝－. 方法二(直接法)：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝－7×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. 【变式探究】 1．(设问变式)本例条件不变，若ξ＝aX＋4，且E(ξ)＝－13，求a的值． 解：E(ξ)＝E(aX＋4)＝aE(X)＋4＝－a＋4＝－13，解得a＝30. 2．(设问变式)本例条件不变，若ξ＝5X＋b，η＝aY－2，且E(ξ)＝E(η)，试求a，b的关系． 解：E(ξ)＝E(5X＋b)＝5E(X)＋b＝5×(－)＋b＝－＋b，E(η)＝E(aY－2)＝aE(Y)－2＝－a－2，因为E(ξ)＝E(η)，所以－＋b＝－a－2，即a＋b＝－2，即124a＋30b＝25. 利用离散型随机变量性质解决问题的思路 若给出的随机变量ξ与X之间的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．　 [跟踪训练3] (1)(2024·辽宁辽阳高二期末)设ξ的分布列如表所示，又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝(　　) ξ 1 2 3 4 P A. B． C． D． 解析：选D.依题意可得E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选D. (2)(2024·山东济南高二期末)已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝，X的分布列为 X －1 0 1 P a b 则a，b的值分别为(　　) A．a＝，b＝ B．a＝，b＝ C．a＝，b＝ D．a＝，b＝ 解析：选A.依题意得E(X)＝－1×＋0×a＋1×b＝b－，所以E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×(b－)＋3＝，解得b＝.又因为＋a＋b＝1，所以a＝.故选A. 1．(教材P89练习BT2改编)已知随机变量X服从两点分布，其分布列如表所示，则E(X)＝(　　) X 0 1 P a A. B． C． D． 解析：选A.由题意知＋a＝1，所以a＝，E(X)＝0×＋1×a＝a＝. 2．(教材P89T4改编)一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意得，选出女性成员的人数X服从参数为N＝5，n＝2，M＝3的超几何分布，则E(X)＝＝. 3．同学用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两名同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为__________________________________________________． 解析：依题意得，得分之和X的取值范围是{0，1，2}，且P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以得分之和X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 所以E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. 答案：0.9 4．盒子中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止． 求：(1)抽取次数X的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X的取值范围为{1，2，3}．P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P (2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，即平均抽取1.5次可取到好电池． 1．已学习：(1)离散型随机变量的均值；(2)两点分布、二项分布及超几何分布的均值；(3)均值的性质．　 2．须贯通：(1)求离散型随机变量的均值的方法；(2)求两点分布、二项分布及超几何分布的均值的方法． 3．应注意：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数． 学科网（北京）股份有限公司 $