培优1 杨辉三角的性质与应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦杨辉三角的性质与应用，从历史背景导入，展示数表结构，系统梳理对称性、组合数递推等6条核心性质，搭建从二项式定理到组合数应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合数学文化与逻辑推理，通过“项、行、和”三类例题（如第2024行第3个数求和）培养数学思维，尝试训练题涵盖选择、多选等形式，提升数学语言表达与应用意识。学生能深化推理能力，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

培优1 　杨辉三角的性质与应用 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中被记载.在西方文献中，这个数表被叫做“帕斯卡三角”，帕斯卡的发现要比杨辉晚400年左右. 培 优 培 优 培 优 　杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵(如图所示)，现简称为“杨辉三角”，若用A(m，n)表示三角形数阵中的第m行第n个数，则A(101，3)＝__________.(结果用数字作答) 类型一 杨辉三角中“项”的问题 5 050 培 优 培 优 　在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，如图所示．那么在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5. 类型二 杨辉三角中“行”的问题 62 培 优 培 优 √ 类型三 杨辉三角中“和”的问题 培 优 培 优 【尝试训练】 1．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记an为图中所选数1，1，2，3，6，10，20，…构成的数列{an}的第n项，则a12的值为(　　) A．252 B．426 C．462 D．924 √ 培 优 培 优 √ √ √ 培 优 培 优 培 优 3．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…记这个数列前n项和为S(n)，则S(31)＝ ________． 951 培 优 培 优 √ √ 培 优 解析：对于A，根据杨辉三角的特点，当n为偶数时，中间的一项取得最大值，当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，所以当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当n是偶数时，中间的一项取得最小值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以A错误； 培 优 杨辉三角的性质： (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和，即C eq \o\al(r,n) ＝C eq \o\al(r－1,n－1) ＋C eq \o\al(r,n－1) . (3)当r＜ eq \f(n＋1,2) 时，二项式系数是逐渐变大的；当r＞ eq \f(n＋1,2) 时，二项式系数是逐渐变小的． (4)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． (5)第n行数的和为2n，即C eq \o\al(0,n) ＋C eq \o\al(1,n) ＋C eq \o\al(2,n) ＋…＋C eq \o\al(n,n) ＝2n. (6)自腰上的某个1开始平行平缓的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即C eq \o\al(r,r) ＋C eq \o\al(r,r＋1) ＋C eq \o\al(r,r＋2) ＋…＋C eq \o\al(r,n－1) ＝C eq \o\al(r＋1,n) ，如图． 【解析】　由二项式展开系数可知，第a行第b个数为C eq \o\al(b－1,a) ，故A(101，3)＝C eq \o\al(3－1,101) ＝ eq \f(101×100,2×1) ＝5 050. 【解析】　由题意可知第n∈N行第m∈N＋个数为C eq \o\al(m－1,n) ，根据题意，设所求的行数为n∈N＋，则存在正整数k，使得连续三项C eq \o\al(k－1,n) ，C eq \o\al(k,n) ，C eq \o\al(k＋1,n) ，有k－1,n) eq \f(C,C eq \o\al(k,n) ) ＝ eq \f(3,4) 且k,n) eq \f(C,C eq \o\al(k＋1,n) ) ＝ eq \f(4,5) .化简得 eq \f(k,n－k＋1) ＝ eq \f(3,4) ， eq \f(k＋1,n－k) ＝ eq \f(4,5) ，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 　杨辉三角(如图所示)是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2 024行，每行的第3个数字之和为(　　) A．C eq \o\al(3,2 024) B．C eq \o\al(3,2 025) C．C eq \o\al(3,2 024) －1 D．C eq \o\al(3,2 025) －1 【解析】　C eq \o\al(r,n) ＋C eq \o\al(r＋1,n) ＝ eq \f(n！,r！（n－r）！) ＋ eq \f(n！,（r＋1）！（n－r－1）！) ＝ eq \f(n！·（r＋1）＋n！·（n－r）,（r＋1）！（n－r）！) ＝ eq \f(n！·（n＋1）,（r＋1）！（n－r）！) ＝ eq \f(（n＋1）！,（r＋1）！（n－r）！) ＝C eq \o\al(r＋1,n＋1) ，由题意可得，第2行到第2 024行，每行的第3个数字之和为C eq \o\al(2,2) ＋C eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(2,4) ＋…＋C eq \o\al(2,2 024) ＝C eq \o\al(3,3) ＋C eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(2,4) ＋…＋C eq \o\al(2,2 024) ＝C eq \o\al(3,4) ＋C eq \o\al(2,4) ＋…＋C eq \o\al(2,2 024) ＝…＝C eq \o\al(3,2 024) ＋C eq \o\al(2,2 024) ＝C eq \o\al(3,2 025) .故选B. 解析：由题意及数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的第 eq \f(n＋1,2) 项，偶数项为每行数列的第 eq \f(n,2) 项，则a12即第11行的第 eq \f(12,2) ＝6项，结合二项展开式的二项式系数的性质，可得a12＝C eq \o\al(6,11) ＝462.故选C. 2．(多选)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律．结合“杨辉三角”所学知识，则下列叙述正确的是(　　) A.C eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(2,4) ＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,9) ＝118 B．第20行中，第11个数最大 C．记第n行的第i个数为ai，则 eq \i\su(i＝1,n＋1,2) i－1ai＝3n D．第34行中，第15个数与第16个数的比为3∶4 解析：由题图知，第n行的第i个数为ai，则ai＝C eq \o\al(i－1,n) .对于A，由C eq \o\al(m－1,n) ＋C eq \o\al(m,n) ＝C eq \o\al(m,n＋1) 可得，C eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(2,4) ＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,9) ＝(C eq \o\al(3,3) ＋C eq \o\al(2,3) )＋C eq \o\al(2,4) ＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,9) －1＝(C eq \o\al(3,4) ＋C eq \o\al(2,4) )＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,9) －1＝C eq \o\al(3,10) －1＝119，故A错误； 对于B，第20行有21项，中间一项最大为C eq \o\al(10,20) ，是第11个数，故B正确； 对于C，第n行的第i个数为ai，所以 eq \i\su(i＝1,n＋1,2) i－1ai＝20a1＋21a2＋22a3＋…＋ 2nan＋1，所以 eq \i\su(i＝1,n＋1,2) i－1ai＝C eq \o\al(0,n) 20＋C eq \o\al(1,n) 21＋C eq \o\al(2,n) 22＋…＋C eq \o\al(n,n) 2n＝(1＋2)n＝3n，故C正确； 对于D，第34行中，第15个数与第16个数的比为C eq \o\al(14,34) ∶C eq \o\al(15,34) ＝ eq \f(34×33×…×21,14×13×…×1) ∶ eq \f(34×33×…×20,15×14×…×1) ＝15∶20＝3∶4，故D正确．故选BCD. 解析：由“杨辉三角”性质，得：S(31)＝C eq \o\al(1,2) ＋C eq \o\al(2,2) ＋C eq \o\al(1,3) ＋C eq \o\al(2,3) ＋…＋C eq \o\al(1,16) ＋C eq \o\al(2,16) ＋C eq \o\al(2,17) ＝(C eq \o\al(1,2) ＋C eq \o\al(1,3) ＋…＋C eq \o\al(1,16) )＋(C eq \o\al(2,2) ＋C eq \o\al(2,3) ＋…＋C eq \o\al(2,17) )＝(C eq \o\al(2,2) ＋C eq \o\al(1,2) ＋C eq \o\al(1,3) ＋…＋C eq \o\al(1,16) )＋(C eq \o\al(3,3) ＋C eq \o\al(2,3) ＋…＋C eq \o\al(2,17) )－1＝C eq \o\al(2,17) ＋C eq \o\al(3,18) －1＝951. 4．(多选)将杨辉三角中的每一个数C eq \o\al(r,n) 都换成r,n) eq \f(1,（n＋1）C) ，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果n≥2(n为正整数)，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的是(　　) A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B．第8行第2个数是 eq \f(1,72) C．r,n) eq \f(1,（n＋1）C) ＝n－r,n) eq \f(1,（n＋1）C) (r∈N，0≤r≤n) D．第8行第2个数是 eq \f(1,27) 对于B，第7行第1个数为 eq \f(1,8) ，第8行第1个数为 eq \f(1,9) ，所以第8行第2个数为 eq \f(1,8) － eq \f(1,9) ＝ eq \f(1,72) ，所以B正确，D错误； 对于C，每一行距离首末相等的两项相等，即r,n) eq \f(1,（n＋1）C) ＝n－r,n) eq \f(1,（n＋1）C) (r∈N，0≤r≤n)，所以C正确． $