4.1.2 第3课时 贝叶斯公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该教案聚焦高中数学“贝叶斯公式”核心知识点，课堂导入从其历史背景（1763年Bayes提出，发展为Bayes方法，应用于计算机诊断等领域）切入，衔接古典概型和全概率公式，搭建从基础到应用的学习支架。 资料特色在于结合现实案例（如癌症诊断、汽车修理、树苗检查），通过例题与跟踪训练，培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维推理概率关系的能力，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题的应用意识。

第3课时　*贝叶斯公式 1.了解贝叶斯公式．　2.结合古典概型和全概率公式以及贝叶斯公式计算概率. (不作考试要求) 贝叶斯公式是英国数学家Bayes于1763年首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用． 下面我们就共同来学习贝叶斯公式，了解它的本质和应用吧． 一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时， 有P(A|B)＝＝_______________________. 这称为贝叶斯公式． [答案自填] 　(对接教材例5)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，试求P(C|A).(结果保留三位小数) 【解】　已知P(A|C)＝0.95，P(A|)＝1－P(|)＝0.05，P(C)＝0.005，P()＝0.995，由贝叶斯公式可知P(C|A)＝≈0.087. P(A|B)＝＝.此式中分子是概率的乘法公式，分母是全概率公式．　 [跟踪训练1] 若P(B)＝0.4，P(A|B)＝0.35，P(A|)＝0.2，则P(B|A)约为(　　) A．0.52 B．0.54 C．0.56 D．0.58 解析：选B.P(B|A) ＝ ＝≈0.54. 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)1＞P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝_________________________. 上述公式也称为贝叶斯公式． [答案自填] 　设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． 【解】　设事件B表示“中途停车修理”，事件A1表示“是货车”，事件A2表示“是客车”，则B＝A1B＋A2B.由于P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01， 由贝叶斯公式有P(A1|B) ＝ ＝＝0.8. 即该汽车是货车的概率为0.8. 在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i＝1，2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在此信息下考查Ai的概率P(Ai|B)，i＝1，2，…，n，它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常称为后验概率．　 [跟踪训练2] (2024·辽宁丹东月考)有一批树苗100株为一捆，抽取10株检查，有病株，则不通过． 一捆树苗中的病株数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求一捆树苗通过检查，没有病株的概率．(结果保留三位小数) 解：设事件Ai表示“一捆树苗中有i株病株，i＝0，1，2，3，4”，事件B表示“一捆树苗通过检查”，由题设所给条件，可求出P(B|A0)＝1，P(B|A1)＝＝0.9，P(B|A2)＝＝，P(B|A3)＝＝，P(B|A4)＝＝，由全概率公式知P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.1×1＋0.2×0.9＋0.4×＋0.2×＋0.1×≈0.814 1.由贝叶斯公式得所求概率为P(A0|B)＝≈≈0.123. 三　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 　小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知小张到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 【解】　(1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示小张从家到公司不迟到，则P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36. (2)P(L1|C)＝＝＝.所以已知小张到达公司未迟到，选择道路L1的概率为. 若随机试验可以看成分两个阶段进行，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算．　 [跟踪训练3] 某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6，0.5，0.4. (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率． 解：(1)记事件B为“小明获胜”，记事件Ai为“小明与i(i＝1，2，3)类棋手相遇”，由题可得，P(A1)＝＝0.25，P(A2)＝＝0.35，P(A3)＝＝0.4，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4.由全概率公式可知，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.6＋0.35×0.5＋0.4×0.4＝0.485. (2)由贝叶斯公式可得P(A1|B)＝＝＝＝.即小明获胜，对手为一类棋手的概率为. 1．ChatGPT是由OpenAI开发的一款聊天机器人程序．在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为90%；如果出现语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.假设输入的问题中出现语法错误的概率为10%.已知ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入语法没有错误的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.用事件A表示“ChatGPT中输入的问题没有语法错误”，事件B表示“ChatGPT中输入的问题有语法错误”，事件C表示“ChatGPT的回答被采纳”，则由题意得P(A)＝0.9，P(B)＝0.1，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.5，则P(A|C)＝＝＝. 2．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，在不知道正确答案进行猜测时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝，又由贝叶斯公式得P(B|A)＝＝＝.故选B. 3．(教材P58T5改编)假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为________；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为________． 解析：设A为甲厂产品，B为乙厂产品，C表示合格产品，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.8，所以P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.6×0.9＋0.4×0.8＝0.86，所以P(A|C)＝＝＝. 答案：0.86　 4．张宇去某地参加会议，他乘火车或飞机去的概率分别为0.6，0.4.如果他乘火车或飞机前去，迟到的概率分别为，.结果他迟到了，求张宇乘的是火车的概率． 解：记事件A为“张宇乘火车”，则事件为“张宇乘飞机”，事件B为“张宇迟到”，则P(A)＝0.6，P()＝0.4，P(B|A)＝，P(B|)＝.根据贝叶斯公式可得P(A|B)＝＝＝.因此，张宇迟到了，他乘的是火车的概率为. 1．已学习：贝叶斯公式和贝叶斯推广公式． 2．须贯通：(1)贝叶斯公式的应用规律；(2)贝叶斯公式推广公式应用的规律． 3．应注意：定理2要注意“任意两个事件均互斥”这个限制条件．　 学科网（北京）股份有限公司 $