强化课 二项式定理的综合问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该教案聚焦二项式定理综合应用，涵盖两个二项式乘积特定项、三项式展开、整除与近似计算等核心知识点。通过例题导入，从基础公式复习过渡到综合问题分析，搭建从单一二项式到复杂展开式的学习支架，梳理知识脉络。 资料以实例（如(1+2x²)(1+x)⁴展开式x³系数求解）培养抽象能力，通过分类讨论（如三项式展开中不同项组合）发展推理思维，规范符号表达（通项公式应用）提升数学语言。助力学生构建知识体系，提升解题能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

　二项式定理的综合问题 　(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数是(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 (2)已知(ax－2)的展开式中的常数项为240，则a＝________． 【解析】　(1)由(1＋2x2)(1＋x)4知展开式中含有x3的项为1×C×11×x3＝4x3 和2x2×C×13×x＝8x3 ，所以展开式中x3的系数为4＋8＝12.故选C. (2)的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r·＝2rCx5－2r(r＝0，1，2，3，4，5)，令5－2r＝－1得r＝3，令5－2r＝0，无解，所以(ax－2)的展开式中的常数项为a·23C＝80a＝240，所以a＝3. 【答案】　(1)C　(2)3 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．　 [跟踪训练1] (1)(x2＋y2)(x＋y)7的展开式中x5y4的系数为(　　) A．28 B．35 C．56 D．70 解析：选C.因为(x＋y)7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7－ryr，其中0≤r≤7，r∈N，令r＝2得x5y2的系数为C，令r＝4得x3y4的系数为C，所以(x2＋y2)(x＋y)7的展开式中x5y4的系数为C＋C＝56.故选C. (2)若(1＋ax2)(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，则实数a的值为________． 解析：(1＋ax2)(1＋x)6＝(1＋x)6＋ax2(1＋x)6，(1＋x)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，当r＝4时，C＝15；当r＝2时，C＝15，因为(1＋ax2)·(1＋x)6的展开式中x4的系数为－45，所以15＋15a＝－45，解得a＝－4. 答案：－4 　(1＋x＋x2)5展开式中所有项的系数和是________，含x3的项的系数是________． 【解析】　令x＝1，则所有项的系数和是(1＋1＋12)5＝243. 方法一：因为(1＋x＋x2)5的通项为C(1＋x)5－rx2r(r＝0，1，2，3，4，5)，所以当r＝0时，(1＋x)5展开式中的x3项为Cx3；当r＝1时，(1＋x)4展开式中的x项为Cx，所以含x3的项的系数是CC＋CC＝20＋10＝30. 方法二：(1＋x＋x2)5是5个(1＋x＋x2)式子连乘，欲求含x3＝x·x·x＝x2·x的项的系数，只需在5个(1＋x＋x2)式子中选三个式子提供x，两个式子提供1；或者一个式子提供x，一个式子提供x2，三个式子提供1即可，所以含x3的项的系数是CC＋CCC＝10＋20＝30. 【答案】　243　30 【变式探究】 (设问变式)本例条件不变，含x5的项的系数是________． 解析：x5＝x·x·x·x·x＝x2·x·x·x＝x2·x2·x，故含x5的项的系数C＋CCC＋CCC＝1＋20＋30＝51. 答案：51 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合．项与项结合时，要注意合理性和简捷性．　 [跟踪训练2] (1)展开式中的常数项为(　　) A．6 B．15 C．20 D．28 解析：选C.因为＝＝，所以展开式中的常数项即分子(x＋1)6展开式中x3的系数，即C＝20.故选C. (2)(x－2y＋z)8的展开式共有________项，其中含x3y3z2的项的系数是________________________________．(用数字作答) 解析：方法一：当(x－2y＋z)8展开式的项只含有1个字母时，有3项；当(x－2y＋z)8展开式的项只含有2个字母时，有CC＝21项；当(x－2y＋z)8展开式的项含有3个字母时，有C＝21项，所以(x－2y＋z)8的展开式共有45项． 方法二：因为(x－2y＋z)8＝[(x－2y)＋z]8＝C(x－2y)8＋C(x－2y)7z＋…＋C(x－2y)z7＋Cz8，由二项式定理可知，(x＋y)n展开式中共有n＋1项，所以(x－2y＋z)8的展开式共有9＋8＋…＋2＋1＝45项．(x－2y＋z)8是8个(x－2y＋z)连乘，欲求x3y3z2的系数，只需要在8个(x－2y＋z)式子中选定三个(x－2y＋z)提供x，在剩下的5个(x－2y＋z)中选定三个(x－2y＋z)提供y，剩下的最后两个(x－2y＋z)提供z，则x3y3z2的系数是CC(－2)3·C＝－4 480. 答案：45　－4 480 角度1　整除问题 　(1)719－1除以8的余数为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 (2)(对接教材例5)若642 024＋m能被13整除，则m的最小正整数取值为______． 【解析】　(1)719－1＝(72－1)9－1＝C729＋C728×(－1)＋…＋C72×(－1)8＋C(－1)9－1＝72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]－2，因为72[C728＋C727×(－1)＋…＋C(－1)8]肯定是8的倍数，因此719－1除以8的余数为6.故选D. (2)642 024＋m＝(13×5－1)2 024＋m ＝C(13×5)2 024＋C(13×5)2 023×(－1)1＋C(13×5)2 022×(－1)2＋…＋C(13×5)1×(－1)2 023＋1＋m，因为C(13×5)2 024＋C·(13×5)2 023×(－1)1＋C·(13×5)2 022×(－1)2＋…＋C·(13×5)1×(－1)2 023能被13整除，所以m＋1是13的倍数时，642 024＋m能被13整除，所以m的最小正整数取值为12. 【答案】　(1)D　(2)12 角度2　近似计算 　(1)某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m′，则下列各数中与最接近的是(　　) A．70% B．65% C．60% D．55% (2)用二项式定理估算1.0110＝__________．(精确到0.001) 【解析】　(1)由题意可知m′＝m0(1－5%)10⇒＝(1－5%)10＝1－C×0.05＋C×0.052－C×0.053＋…＋C×0.0510 ≈1－0.5＋45×0.052＝61.25%，故与最接近的是60%. (2)1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋C×0.01＋C×0.012＋C×0.013＋…≈1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105. 【答案】　(1)C　(2)1.105 整除问题和近似计算的解题策略 (1)整除问题的解题思路 用二项式定理解决整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：①是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负；②是二项式定理的逆用． (2)求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算：当n不是很大，且|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.　 [跟踪训练3] (1)若今天是星期二，则5123天后是星期(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 解析：选A.令A＝7×18＝126，则5123＝12541＝(A－1)41＝CA41－CA40＋CA39－…＋CA－1＝CA41－CA40＋CA39－…＋CA－7＋6，所以5123除以7的余数为6，由今天是星期二，则5123天后是星期一．故选A. (2)将0.9915精确到0.01的近似值是________． 解析：因为0.9915＝(1－0.009)5＝C×1－C×0.0091＋C×0.0092－…≈1－0.045＋0.000 81＝0.955 81，故将0.9915精确到0.01，故近似值为0.96. 答案：0.96 学科网（北京）股份有限公司 $