3.1.3 第1课时 组合与组合数 课后达标检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦排列组合与计数原理，通过楼道关灯、医疗小组组建等现实情境问题导入，衔接排列知识，区分组合概念，构建从具体实例到抽象原理的学习支架，帮助学生理解核心知识点。 其特色是分层设计（基础达标、能力提升、素养拓展），结合多选、填空等题型，以医生选组、台阶上楼等实例，培养学生用数学眼光观察现实，用数学思维推理判断（如组合与排列辨析），用数学语言表达计数模型。学生能提升实际问题解决能力，教师可利用清晰结构分层教学，提高效率。

3.1　3.1.3　第1课时　课后达标检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 3．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案的种数为(　　) A．72 B．84 C．120 D．168 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 4．(2024·辽宁朝阳月考)现有6名男医生、5名女医生，从中选出3名男医生、2名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　) A．150种 B．180种 C．200种 D．462种 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 5．(多选)下列四个问题中属于组合问题的是(　　) A．从3个不同的小球中取出2个排成一列，共有多少种不同的排法 B．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式，共有多少种不同的选法 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星，共有多少种不同的选法 D．从13名司机中任选2名开同一辆车往返甲、乙两地，共有多少种不同的选法 解析： A，D项属于排列问题，只有B，C项属于组合问题．故选BC. 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为__________．(用数字作答) 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 210 课后达标 检测 8．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．(用数字作答) 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 2或3 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 6 课后达标 检测 10．已知某圆上有12个不同的点． (1)过每2个点画一条弦，一共可画多少条不同的弦？ 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 (2)过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个不同的圆内接三角形？ 课后达标 检测 11．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有(　　) A．35种 B．70种 C．30种 D．65种 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 12．在某次数学考试中，学号为i(i＝1，2，3，4)的同学的考试成绩f(i)∈{85，87，88，90，93}，且满足f(1)≤f(2)<f(3)<f(4)，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有__________种． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 15 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 4 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 15．某幢楼房从2楼到3楼共10个台阶，上楼可以一步上1个台阶，也可以一步上2个台阶，若规定从2楼到3楼用8步走完，则上楼的方法共有________种． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 28 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．C eq \o\al(2,5) ＋C eq \o\al(3,6) ＝(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 解析：C eq \o\al(2,5) ＋C eq \o\al(3,6) ＝ eq \f(5×4,2×1) ＋ eq \f(6×5×4,3×2×1) ＝10＋20＝30.故选B. 2．若A eq \o\al(2,n) －C eq \o\al(n－2,n) ＝28，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：由组合数的性质，得C eq \o\al(n－2,n) ＝C eq \o\al(2,n) ，所以A eq \o\al(2,n) －C eq \o\al(2,n) ＝28，即n(n－1)－ eq \f(n（n－1）,2) ＝28，解得n＝8或n＝－7(舍去).故选C. 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C eq \o\al(3,10) ＝120(种). 解析：先从6名男医生中选出3名男医生，再从5名女医生中选出2名女医生，根据分步乘法计数原理可得，不同的选法共有C eq \o\al(3,6) C eq \o\al(2,5) ＝200(种).故选C. 6．(多选)下列有关排列数、组合数计算正确的有(　　) A．C eq \o\al(m,n) ＝m,n) eq \f(A,n！) B．(n＋2)(n＋1)A eq \o\al(m,n) ＝A eq \o\al(m＋2,n＋2) C．C eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(2,4) ＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,100) ＝C eq \o\al(3,101) D．C eq \o\al(n－2,2n－1) ＋C eq \o\al(2n－1,n＋1) 是一个常数 解析：因为C eq \o\al(m,n) ＝m,n) eq \f(A,m！) ，故A不正确； 因为(n＋2)(n＋1)A eq \o\al(m,n) ＝(n＋2)(n＋1)n(n－1)…(n－m＋1)＝A eq \o\al(m＋2,n＋2) ，故B正确； 因为C eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(2,4) ＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,100) ＝C eq \o\al(3,3) ＋C eq \o\al(2,3) ＋C eq \o\al(2,4) ＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,100) －1＝C eq \o\al(3,4) ＋C eq \o\al(2,4) ＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,100) －1＝C eq \o\al(3,5) ＋C eq \o\al(2,5) ＋…＋C eq \o\al(2,100) －1＝C eq \o\al(3,101) －1，故C不正确； 因为式子C eq \o\al(n－2,2n－1) ＋C eq \o\al(2n－1,n＋1) 有意义，则式中n应满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n－2≥0，,2n－1≥n－2，,2n－1≤n＋1，,n∈N＋，)) 解得n＝2.所以C eq \o\al(n－2,2n－1) ＋C eq \o\al(2n－1,n＋1) ＝C eq \o\al(0,3) ＋C eq \o\al(3,3) ＝2结果为常数，故D正确．故选BD. 解析：从10人中任选出4人作为甲组， 则剩下的人即为乙组，这是组合问题， 共有C eq \o\al(4,10) ＝210种分法． 解析：设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C eq \o\al(2,n) C eq \o\al(1,8－n) ＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证均符合题意，可知女生有2人或3人． 9．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋C eq \o\al(m,n) y2＝1所表示的不同的椭圆的个数为________． 解析：因为1≤m<n≤5，所以C eq \o\al(m,n) 可以是C eq \o\al(1,2) ，C eq \o\al(1,3) ，C eq \o\al(2,3) ，C eq \o\al(1,4) ，C eq \o\al(2,4) ，C eq \o\al(3,4) ，C eq \o\al(1,5) ，C eq \o\al(2,5) ，C eq \o\al(3,5) ，C eq \o\al(4,5) ，其中C eq \o\al(1,3) ＝C eq \o\al(2,3) ，C eq \o\al(1,4) ＝C eq \o\al(3,4) ，C eq \o\al(1,5) ＝C eq \o\al(4,5) ，C eq \o\al(2,5) ＝C eq \o\al(3,5) ，所以方程x2＋C eq \o\al(m,n) y2＝1所表示的不同的椭圆的个数为6. 解：因为2点可以确定一条直线，所以从12个点中任选2个点的取法有C eq \o\al(2,12) ＝66(种)，故一共可画66条不同的弦． 解：因为不共线的三点确定一个三角形，所以从12个点中任选3个点的取法有C eq \o\al(3,12) ＝220(种).故一共可画220个不同的圆内接三角形． 解析：先从7人中选出3人有C eq \o\al(3,7) ＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案有2C eq \o\al(3,7) ＝70(种). 解析：由题意，分2种情况讨论：当f(1)＝f(2)<f(3)<f(4)时，从集合{85，87，88，90，93}中任选三个数据从小到大作为f(2)，f(3)，f(4)的值，有C eq \o\al(3,5) ＝10种可能的情况；当f(1)<f(2)<f(3)<f(4)时，从集合{85，87，88，90，93}中任选四个数据从小到大作为f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，有C eq \o\al(4,5) ＝5种可能的情况，所以一共有10＋5＝15种可能的情况． 13．若nC eq \o\al(n－1,n) ＋A eq \o\al(3,n) ＝4C eq \o\al(3,n＋1) ，则n＝_____________. 解析：由题知n2＋n(n－1)(n－2)＝ eq \f(2n（n－1）（n＋1）,3) ，可得n2－6n＋8＝0，解得n＝2或n＝4，又n≥3，所以n＝4. 解：由题意，得x≥5，x∈N＋. 原不等式可化简为 eq \f(6,x（x－1）（x－2）) － eq \f(24,x（x－1）（x－2）（x－3）) < eq \f(240,x（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）) ， 即x2－11x－12<0，解得－1<x<12. 又x≥5，x∈N＋，所以x∈{5，6，7，8，9，10，11}． 14．解不等式：3,x) eq \f(1,C) －4,x) eq \f(1,C) <5,x) eq \f(2,C) . 解析：由于10÷8的余数为2，则必有一步1个台阶6次，一步2个台阶2次，问题即转化为6个1和2个2，这8个有重复的数字的排列．分两步：第1步，从8个位置中选2个位置排2，有C eq \o\al(2,8) 种方法；第2步，其余的6个位置排1，只有1种方法．根据分步乘法计数原理得，共有C eq \o\al(2,8) ×1＝28种方法． 16．规定C eq \o\al(m,x) ＝ eq \f(x（x－1）·…·（x－m＋1）,m！) ，其中x∈R，m是正整数，且C eq \o\al(0,x) ＝1，这是组合数C eq \o\al(m,n) (n，m是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求C eq \o\al(4,－12) 的值； 解：由题意可得C eq \o\al(4,－12) ＝ eq \f(（－12）×（－13）×（－14）×（－15）,4！) ＝1 365. (2)设x>0，当x为何值时，3,x) eq \f(C,（C eq \o\al(1,x) ）3) 取得最小值？ 解：3,x) eq \f(C,（C eq \o\al(1,x) ）3) ＝ eq \f(x（x－1）（x－2）,6x3) ＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（\f(1,x)－\f(3,4)）2－\f(1,16))) ，因为x>0，所以当 eq \f(1,x) ＝ eq \f(3,4) ，即x＝ eq \f(4,3) 时，3,x) eq \f(C,（C eq \o\al(1,x) ）3) 取得最小值． (3)组合数的两个性质：①C eq \o\al(m,n) ＝C eq \o\al(n－m,n) ；②C eq \o\al(m,n) ＋C eq \o\al(m－1,n) ＝C eq \o\al(m,n＋1) 是否都能推广到C eq \o\al(m,x) (x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由． 解：性质①不能推广，例如当x＝ eq \r(　,2) 时，C1 eq \r(　,2) 有定义，但C eq \r(　,2) －1 eq \r(　,2) 　　无意义．性质②能推广，它的推广形式是C eq \o\al(m,x) ＋C eq \o\al(m－1,x) ＝C eq \o\al(m,x＋1) ，x∈R，m是正整数，事实上，当m＝1时，C eq \o\al(1,x) ＋C eq \o\al(0,x) ＝x＋1＝C eq \o\al(1,x＋1) ；当m≥2时，C eq \o\al(m,x) ＋C eq \o\al(m－1,x) ＝ eq \f(x（x－1）·…·（x－m＋1）,m！) ＋ eq \f(x（x－1）·…·（x－m＋2）,（m－1）！) ＝ eq \f(x（x－1）·…·（x－m＋2）,（m－1）！) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－m＋1,m)＋1)) ＝ eq \f(x（x－1）·…·（x－m＋2）（x＋1）,m！) ＝C eq \o\al(m,x＋1) .综上，C eq \o\al(m,x) ＋C eq \o\al(m－1,x) ＝C eq \o\al(m,x＋1) ，x∈R，m是正整数． $