3.1.2 第2课时 排列数的应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦排列数的应用，涵盖数字排列、“在”与“不在”、“相邻”与“不相邻”及定序问题，通过衔接计数原理与排列概念，以例题为支架搭建从概念到实际应用的学习路径。 其亮点在于以实例驱动，通过分类分步、捆绑插空等方法培养数学思维，用符号表达和逻辑推理深化数学语言，课堂巩固分层设计。学生能提升解决问题能力，教师可依托清晰结构高效教学。

第2课时　排列数的应用 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 一　数字排列问题 　(对接教材例5)用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的无重复数字的四位数中． (1)有多少个奇数； 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例5)用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的无重复数字的四位数中． (2)有多少个偶数； 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例5)用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的无重复数字的四位数中． (3)有多少个大于3 125的数． 新知学习 探究 返回导航 数字排列问题是排列组合问题中的常见题目，其解法仍是从分析特殊元素或特殊位置入手，恰当分类(或分步)，如果问题中涉及元素“0”，那么0往往是分类的关键．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 用0，1，2，3，4五个数字： (1)可组成多少个五位数？ 解：各位数上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理可知，可组成4×5×5×5×5＝2 500个五位数． 新知学习 探究 返回导航 用0，1，2，3，4五个数字： (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ 新知学习 探究 返回导航 用0，1，2，3，4五个数字： (3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？ 新知学习 探究 返回导航 (4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ 新知学习 探究 返回导航 二　“在”与“不在”问题 　9名同学排成一排，在下列条件下各有多少种不同的排法： (1)甲只能在中间或两头位置； 新知学习 探究 返回导航 9名同学排成一排，在下列条件下各有多少种不同的排法： (2)甲、乙两人必须排在两头． 新知学习 探究 返回导航 “在”与“不在”的排列问题既可以从元素入手(元素分析法)，也可以从位置入手(位置分析法)，原则是谁“特殊”谁优先．常用的方法有直接法和间接法．特别注意，从元素入手或从位置入手，都要贯彻到底．不能一会儿考虑元素，一会儿考虑位置，分类、分步混乱会导致解题错误． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答) 2 400 新知学习 探究 返回导航 三　“相邻”与“不相邻”问题 　(对接教材例7)3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？ (1)男生排在一起，女生排在一起； 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例7)3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？ (2)男、女生间隔排列； 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例7)3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？ (3)男生互不相邻． 新知学习 探究 返回导航 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　) A．144 B．72 C．36 D．12 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　) A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的共有120种排法 C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D．男女生相间的排法总数为72种 √ √ 新知学习 探究 返回导航 四　定序问题 　某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ 新知学习 探究 返回导航 方法二(依次插空法)：记3位老者按年龄由大到小的顺序为“A，B，C”，则三人形成四个空档(含两端).第4位嘉宾有4种出场方法，第5位嘉宾站前4位嘉宾形成的5个空挡(含两端)，所以共有4×5＝20种出场顺序． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练4] 某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有(　　) A．12种 B．30种 C．36种 D．42种 解析：方法一：由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再增加2名同学时，可分两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42种不同的比赛顺序． √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排列在b的左边，则这5本书的排列方法共有(　　) A．42种 B．60种 C．30种 D．36种 √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．(教材P15T3改编)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为(　　) A．2 301 B．2 304 C．2 305 D．2 310 √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．某市雁塔路是一条南北走向的繁华的主街道，也是一道美丽的风景线．某单位利用周日安排6名志愿者在雁塔路上相邻的6个十字路口进行“创文”宣传活动，每个路口安排1名志愿者，则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口的安排方式共有__________种． 240 课堂巩固 自测 返回导航 4. (教材P15练习BT5改编)某班级周一的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课． (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ 课堂巩固 自测 返回导航 (教材P15练习BT5改编)某班级周一的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课． (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ 课堂巩固 自测 返回导航 (教材P15练习BT5改编)某班级周一的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课． (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：排列应用题的基本的解法． 2．须贯通：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法). 3．应注意：解与排列有关的应用题时应注意以下几点： (1)注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏． (2)对受限制条件的位置或元素应首先排列，并适当选择直接法或间接法． (3)同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.掌握基本计数原理与排列的关系，进一步加深对排列概念的理解．　2.能利用排列数公式解决简单的实际问题． 【解】　本题是有限制条件的数字排列问题，条件是末位必须排1，3，5，首位不能排0.第一步：排末位有A eq \o\al(1,3) 种方法，第二步：排首位有A eq \o\al(1,4) 种方法；第三步：排中间两个位置有A eq \o\al(2,4) 种方法，所以所求奇数共有A eq \o\al(1,3) A eq \o\al(1,4) A eq \o\al(2,4) ＝144(个). 【解】　先排末位有A eq \o\al(1,3) 种方法(从0，2，4中选一个)，则排首位就涉及末位排的是0还是2，4中的一个，所以需分类讨论：①若末位排0，则有A eq \o\al(3,5) 个偶数；②若末位不排0，则末位有A eq \o\al(1,2) 种排法，再排首位有A eq \o\al(1,4) 种，再排中间两位有A eq \o\al(2,4) 种，所以末位不是0的偶数有A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(1,4) A eq \o\al(2,4) 个．由①②知，所求偶数共有A eq \o\al(3,5) ＋A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(1,4) A eq \o\al(2,4) ＝156(个). 【解】　第一类：首位可排4，5，有A eq \o\al(1,2) 种，其余各位有A eq \o\al(3,5) 种，此类共有A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(3,5) 种；第二类：首位排3，下一位可排2，4，5，有A eq \o\al(1,3) 种，其余两位有A eq \o\al(2,4) 种，此类共有A eq \o\al(1,3) A eq \o\al(2,4) 种；第三类：首位排3，下一位排1，第三位可排4，5中的一个，有A eq \o\al(1,2) 种，第四位可从剩下的3个数中取一个，有A eq \o\al(1,3) 种，所以此类共A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(1,3) 种，因此，所求大于3 125的数共有A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(3,5) ＋A eq \o\al(1,3) A eq \o\al(2,4) ＋A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(1,3) ＝162(个). 解：方法一：考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，共有A eq \o\al(1,4) 种填法，其余4个数字作全排列，有A eq \o\al(4,4) 种排法，故共有A eq \o\al(1,4) A eq \o\al(4,4) ＝96个符合条件的五位数． 方法二：先考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A eq \o\al(1,4) 种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A eq \o\al(4,4) 种排法，故共有A eq \o\al(1,4) A eq \o\al(4,4) ＝96个符合条件的五位数． 解：构成的无重复数字的三位数是3的倍数，则各数位上数字之和是3的倍数，将0，1，2，3，4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，有A eq \o\al(1,2) 种取法，再取2进行排列，先填百位有A eq \o\al(1,2) 种填法，再填其余位有A eq \o\al(2,2) 种排法，故有A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(2,2) 个；不取0，则必取3，从1和4中任取一数，有A eq \o\al(1,2) 种取法，再取2，然后进行全排列，故有A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(3,3) 种排法．所以共有A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(2,2) ＋A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(3,3) ＝8＋12＝20个符合条件的三位数． 解：考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位，有A eq \o\al(1,2) 种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A eq \o\al(1,3) 种填法，最后将包含0在内的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A eq \o\al(3,3) ，故共有A eq \o\al(1,2) A eq \o\al(1,3) A eq \o\al(3,3) ＝36个符合条件的五位数． 【解】　将9个元素(同学)分成两类：甲为特殊元素，其余8人为一般元素，所以完成这件事需分两步，先排甲有A eq \o\al(1,3) 种方法，再排另外8人有A eq \o\al(8,8) 种．所以共有A eq \o\al(1,3) A eq \o\al(8,8) ＝120 960种不同的排法． 【解】　先排甲、乙两人有A eq \o\al(2,2) 种方法，再排其余7人有A eq \o\al(7,7) 种方法．所以共有A eq \o\al(2,2) A eq \o\al(7,7) ＝10 080种不同的排法． 解析：将人视为元素，日期视为位置，先安排甲、乙两人有A eq \o\al(2,5) 种安排方法，再安排其余5人，有A eq \o\al(5,5) 种安排方法．由分步乘法计数原理知不同的安排方法共有A eq \o\al(2,5) A eq \o\al(5,5) ＝2 400(种). 【解】　将男生和女生分别进行捆绑，则分别有A eq \o\al(3,3) 和A eq \o\al(4,4) 种排法，再将男生组和女生组进行全排列，故共有A eq \o\al(3,3) A eq \o\al(4,4) A eq \o\al(2,2) ＝288种排法． 【解】　先将男生进行排列，有A eq \o\al(3,3) 种排法，再将女生进行插空，刚好有A eq \o\al(4,4) 种排法，故男、女生间隔排列，共有A eq \o\al(3,3) A eq \o\al(4,4) ＝144种排法． 【解】　先将女生进行排列，有A eq \o\al(4,4) 种排法，形成5个空，再将男生进行插空，即男生互不相邻，有A eq \o\al(3,5) 种排法，共有A eq \o\al(4,4) A eq \o\al(3,5) ＝1 440种排法． 解析：先将老师排列，有A eq \o\al(3,3) 种排法，形成4个空，再将3名学生插入4个空中，有A eq \o\al(3,4) 种排法，故共有A eq \o\al(3,3) A eq \o\al(3,4) ＝144种排法． 解析：3男3女排成一排，共计有A eq \o\al(6,6) ＝720种排法；男生甲排在两端，共有2A eq \o\al(5,5) ＝240种排法；男生甲、乙相邻的排法总数为A eq \o\al(2,2) A eq \o\al(5,5) ＝240(种)；男女生相间的排法总数为2A eq \o\al(3,3) A eq \o\al(3,3) ＝72(种). 【解】　方法一(倍缩法)：5位嘉宾无约束条件的全排列有A eq \o\al(5,5) 种，其中3位老者不考虑年龄的顺序有A eq \o\al(3,3) 种．因此满足3位老者按年龄从大到小的出场顺序有5,5) eq \f(A,A eq \o\al(3,3) ) ＝20(种). 方法三(空位法)：假设出场顺序1到5个位置，除3位老者之外的2人先选位置有A eq \o\al(2,5) 种方法，还空下3个位置，3位老者按年龄从大到小的出场顺序只有一种，故A eq \o\al(2,5) ×1＝20种出场顺序． 这类问题采用分类法，n个不同对象的全排列有A eq \o\al(n,n) 种排法，m个对象的全排列有A eq \o\al(m,m) 种排法．因此A eq \o\al(n,n) 种排法中，关于m个对象的不同分法有A eq \o\al(m,m) 类，而且每一分类的排法数是一样的．当这m个对象顺序确定时，共有n,n) eq \f(A,A eq \o\al(m,m) ) 种排法．　 方法二：先将所有同学重排，共有A eq \o\al(7,7) 种方法，而原来5名同学共有A eq \o\al(5,5) 种不同顺序，因此共有7,7) eq \f(A,A eq \o\al(5,5) ) ＝42种不同的比赛顺序． 解析：由题意得5个编号任意排列，有A eq \o\al(5,5) 种排法，其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目是一样的，所以一共有 eq \f(1,2) A eq \o\al(5,5) ＝60种排列方法．故选B. 解析：首位为1的有A eq \o\al(3,5) ＝60个，前两位为20的有A eq \o\al(2,4) ＝12个，前两位为21的有A eq \o\al(2,4) ＝12个，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2 301. 解析：把甲乙看成一个元素，该元素与其余4人一起共有A eq \o\al(5,5) ＝120种不同的安排方式，故甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口的安排方式种数为A eq \o\al(2,2) ×120＝240. 解：先排其余四科，共有A eq \o\al(4,4) 种排法，再把数学和物理插入空中，有A eq \o\al(2,5) 种排法，则不同的排法共有A eq \o\al(4,4) A eq \o\al(2,5) ＝24×20＝480(种). 解：第一节排数学，则其余科目没有要求，共有A eq \o\al(5,5) 种排法； 第一节不排数学，先排第一节有A eq \o\al(1,4) 种排法，再排第六节有A eq \o\al(1,4) 种排法，最后安排其它节有A eq \o\al(4,4) 种排法，所以共有A eq \o\al(5,5) ＋A eq \o\al(1,4) A eq \o\al(1,4) A eq \o\al(4,4) ＝504种排法． 解：9节课随机排列共有A eq \o\al(9,9) 种排法，原定6节课在其中的排法有A eq \o\al(6,6) 种，所以共有9,9) eq \f(A,A eq \o\al(6,6) ) ＝504种不同的排法． $