专题1.5三角形的内切圆（高效培优讲义，2知识&6题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

专题1.5三角形的内切圆 教学目标 1.理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形等概念. 2.会用尺规作三角形的内切圆. 3.掌握三角形内切圆的性质并利用其性质进行推理或计算. 4.会求圆与圆的位置关系 教学重难点 教学重点：掌握内切圆、内心的概念与性质，会尺规作内切圆，能运用内心性质和内切圆半径公式解决问题； 教学难点：概念辨析、半径公式推导及复杂图形中的综合应用 知识点01 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 3. 三角形内心的性质：三角形的内心到三角形的三边距离相等，且等于其内切圆的半径. 拓宽视野：如图，△ ABC 的周长是l，内切圆⊙ O 的半径为r. 设BC=a，AC=b，AB=c，则S △ ABC=S△BOC+S△AOC+S △AOB=ar+ br+ cr=(a+b+c)r= lr. 故三角形的面积可以用三角形的周长与其内切圆半径之积的一半表示. 4.三角形外心、内心的区别 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形 三边垂直平分线的交点. 三角形的内切圆圆心，即三角形三 条角平分线的交点. 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相 等，即 𝑶𝑨=𝑶𝑩=𝑶𝑪 . 内心到三角形三条边的距离相等，即 .内心与顶点连线平分三角形的内角 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠𝑩𝑶𝑪=𝟐∠𝑩𝑨𝑪 . ∠𝑩𝑰𝑪= 拓展 三角形的四心：外心、内心、重心（三角形三边中线的交点）、垂心（三角形三条高的交点）.当三角形是等边三角形时，这四心合一，称为等边三角形的中心 5.三角形内切圆的作法 作三角形内切圆的步骤 图示 ①作三角形任意两个内角的平分线: 如右图，作 ， 的平分线 ， . ②定圆心：以 ， 的交点 为圆心. ③定半径：以点 到 （或 或 ）的距离为半径 . ④作圆：以定点 为圆心，定长 为半径， 旋转一周作圆. 即为 的内切圆. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为 ． 知识点02 圆与圆的位置关系(拓展点) 在平面内，大小不一样的两圆做相对运动，可以得到平面上两圆之间的位置关系，如下表所示：(设r1，r2 为两圆的半径，d 为两圆圆心间的距离，简称圆心距) 圆与圆的位置关系 图示 公共点个数 圆心距d 与两圆半径r1，r2 的关系(r2>r1) 相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离 外离 0 d>r1+r2 内含 0 ≤ d< r2－ r1 相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切 1 d=r1+r2 内切 d= r2－ r1 相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交 2 r2－ r1<d< r1+r2 利用直线描述 【即学即练】（24-25九年级上·安徽六安·期末）两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两圆的位置关系为（） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 题型01 利用三角形的内切圆求角的度数 【例1-1】（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，是的内心，连接、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点O为的外心，点I为的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，是的内切圆，若，则的度数为 °． 【变式1-3】（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，是的内切圆，M，N，K是切点，连接，．交于E，D两点．点F是上的一点，连接，，则的度数是 ． 题型02 利用三角形的内切圆求线段长度 【例2-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在中，，，点是的外心，点是的内心，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 【变式2-2】（2024·安徽池州·二模）在中，，，、是的两条角平分线，分别交、于点、，且、交于点，过点作于点，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 题型03 利用三角形的内切圆进行证明 【例3-1】（2024·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【例3-2】（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．    (1)求证：O是的外心； (2)若，求的大小． 【变式3-1】（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的长． 【变式3-2】（2025·安徽合肥·二模）如图，是圆的直径，是圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交圆于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 题型04 三角形的内切圆与切线长定理综合 【例4】（23-24九年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为．若，，则的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【变式4-2】（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 题型05 与三角形的内切圆有关的阅读理解题 【例5】阅读材料并解答问题： 与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积． 如图①，当时，设切于点，连结， ，，，． 在中，，， ，, , ． (1) 如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ； (2) 如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求； (3) 如图④，根据以上探索过程，请直接写出． 【变式5】阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∴．      （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r； （2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值. 题型06 圆与圆的位置关系 【例6】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）两圆的半径分别为3和4，圆心距为5，则两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式6-1】（22-23九年级上·安徽合肥·月考）两圆的半径分别为3cm和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为 ． 【变式6-2】（23-24九年级上·安徽淮北·期末）已知线段，过，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式6-3】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 1．（2025·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，且，点为的内心，点为边中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·三模）三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，若直角边边长分别为，斜边长为，则该直角三角形的内切圆直径．当时，该直角三角形的内切圆半径为 ． 5．（22-23九年级下·安徽合肥·开学考试）若等边三角形ABC的边长为，则它的内切圆半径为 ． 6.（2020·安徽亳州·一模）如图，已知和相交于、两点，延长连心线交于点，连接、，若，，那么的半径等于 ．    7．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在中，，点是的内心． （）的度数为 ． （）若，，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，O是的内心． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，，则的半径为 ． 9．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 10．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点． (1)在图中仅用无刻度的直尺作的平分线； (2)连接，求内切圆的半径． 11．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)如果，于．求证：． 12．如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与弦BC交于点F． (1)求证：． (2)若，，求AE的长． 13．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）在平面直角坐标系中，点、、、、的坐标分别为，，，，． (1)请在图1中用无刻度的直尺将线段分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请在图2中用无刻度的直尺画出的内切圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (3)点为上一动点，求面积的最大值． 14．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交⊙于点，点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，请直接写出的周长． 15．（22-23九年级上·安徽·月考）如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． (3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长． 16．（2024·安徽六安·模拟预测）已知是等边三角形，点O是的内心，E，F分别是和边上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当点E，F分别位于和的延长线上时，请探究线段，和D之间的数量关系，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题1.5三角形的内切圆 内容概览 ★教学目标、教学重点 0三角形的内切圆 ★知识清单 ②圆与圆的位置关系（拓展点 0利用三角形的内切圆求角的度数 三角形的内切圆 ®利用三角形的内切圆求线段长度 目利用三角形的内切圆进行证明 ★题型精讲 ④三角形的内切圆与切线长定理综合 6与三角形的内切圆有关的阅读理解题 ⑥圆与圆的位置关系 ★强化训练 教学目标、教学重难点 1理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形等概念 2.会用尺规作三角形的内切圆. 教学目标 3.掌握三角形内切圆的性质并利用其性质进行推理或计算， 4.会求圆与圆的位置关系 教学重点：掌握内切圆、内心的概念与性质，会尺规作内切圆， 能运用内心性质和内 教学重难点 切圆半径公式解决问题： 教学难点：概念辨析、半径公式推导及复杂图形中的综合应用 知识清单 知识点01三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形 2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 3.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形的三边距离相等，且等于其内切圆的半径。 拓宽视野：如图，△ABC的周长是1，内切圆⊙O的半径为r 1/45 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B D 1 设BC=,AC=b,AB=C,则S△MBC-SBoC+SMOC+S MOR2a+ 111 2cr-2(atbre-n 故三角形的面积可以用三角形的周长与其内切圆半径之积的一半表示. 4.三角形外心、内心的区别 名称 三角形的外心 三角形的内心 三角形的外接圆圆心，即三角形 三角形的内切圆圆心，即三角形三 形成 三边垂直平分线的交点. 条角平分线的交点， F 图形 B B 外心到三角形三个顶点的距离相 内心到三角形三条边的距离相等，即 性质 等，即0A=0B=0C. ID=IE=IF.内心与顶点连线平分三角 形的内角 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠BOC=2LBAC. 拓展 三角形的四心：外心、内心、重心（三角形三边中线的交点）、垂心（三角形三条高的交点)当三角形是 等边三角形时，这四心合一，称为等边三角形的中心 5.三角形内切圆的作法 2/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 作三角形内切圆的步骤 图示 ①作三角形任意两个内角的平分线： 如右图，作∠ABC,∠ACB的平分线11，l2 ②定圆心：以11,12的交点I 为圆心. ③定半径：以点I到BC(或AB或AC)的距离为半径 ④作圆：以定点I为圆心，定长r 为半径， 旋转一周作圆.⊙I即为△ABC 的内切圆 【即学即练】(25-26九年级上·安徽阜阳·期末)如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB,BC,AC相切于 点D,E,F,且AD=6,BE=4.若△ABC的周长为36，则CF的长为一 A E 【答案】8 【详解】解：，△ABC的内切圆⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F, .AD=AF,BD=BE,CE=CF, AD=6,BE=4, AF=6,BD=4, .AB=AD+BD=10. 又，△ABC的周长为36， :.BC+AC=36-AB=26, 设CE=CF=x, ..AF+FC+CE+BE=BC+AC=26, .6+x+x+4=26, 解得：x=8, 即CF的长为8， 故答案为：8. 知识点02圆与圆的位置关系（拓展点） 在平面内，大小不一样的两圆做相对运动，可以得到平面上两圆之间的位置关系，如下表所示：（设， 3/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为两圆的半径，d为两圆圆心间的距离，简称圆心距) 圆与圆的位置关系 图示 公共点 圆心距d与两圆半径n,n的关系 个数 (r2>r1) 外 d>r+r 相离：如果 两个圆没有 公共点，那 0 么就说这两 个圆相离 客 o )o 0≤dkr2一rm1 外 相切：如果 0 0 d=r+r 两个圆只有 一个公共 1 点，那么就 说这两个圆 相切 寄 d=2一 相交：如果 两个圆有两 个公共点， 2 一r1<dK十n 那么就说这 两个圆相交 内切外切 利用直线描 内含相交外离 述 同心圆dn-ndeH+nd d=0 【即学即练】(24-25九年级上·安徽六安期末)两圆的半径分别为3和4，圆心距为7，则这两圆的位置 4/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关系为() A.相交 B.内含 C.内切 D.外切 【答案】D 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据圆心距等于两圆的半径的和可得两圆外切，即可求解. 【详解】解：，两圆的半径分别为3和4，圆心距为7,3+4=7， 这两圆的位置关系为外切 故选：D. 题型精讲 题型01利用三角形的内切圆求角的度数 【例1-1】(2024安徽合肥一模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠AB0=35°，则∠C的度数等于() A.35° B.40° C.55 D.65° 【答案】C 【详解】解：如图，连接AO, ⊙O是△ABC的外接圆， ∴OA=OB, .∠BA0=∠AB0=35°， .∠AOB=110°， 20-h08=58 故选：C. 【例1-2】(2024安徽合肥一模)如图，在△ABC中，∠A=80°，I是△ABC的内心，连接B1、CI,则 ∠BIC的度数是() 5/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.110° B.120° C.130° D.140° 【答案】C 【详解】解：I为△ABC的内心， ∠Al=∠8c-Ac,4C1=∠CB-4cB, ∠A=80°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°， 4c+∠ac8-50, 即∠IBC+∠ICB=50°， .∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB)=130°. 故选：C 【变式1-1】(24-25九年级上安徽淮南期末)如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若 ∠BOC=140°，则∠BIC的度数为() B C A.125o B.130° C.135° D.140° 【答案】A 【详解】解：：点O为△ABC的外心，∠BOC=140°， :∠4=∠B0C=70, ∴.∠ACB+∠ABC=180°-∠A=110°， :点I为△ABC的内心， ∠IBc+∠I0B=∠ACB+∠ABC=5, ∴.∠BIC=180°-∠IBC+∠ICB)=125°， 故选：A. 【变式1-2】(24-25九年级上·安徽安庆，期末)如图，⊙0是△ABC的内切圆，若∠A=60°，则∠BOC的 6/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 度数为 B 【答案】120 【详解】解：△ABC中，∠A=60°， .∠ABC+ACB=180°-∠BAC=120°， :⊙O是△ABC的内切圆， OB、OC平分∠ABC、∠ACB, ∠0BC+∠0CB=(∠ABC+ACB)=60°， :∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=120°， 故答案为：120. 【变式1-3】(2024安徽合肥一模)如图，在△ABC中，∠B=70°，⊙0是△ABC的内切圆，M,N,K是 切点，连接OA,OC.交⊙O于E,D两点.点F是MN上的一点，连接DF,EF,则∠EFD的度数是_ M 【答案】62.5 【详解】：⊙O是△ABC的内切圆， ∴OA,OC是△ABC的角平分线， 1 ∠01C=2∠BMC,∠0CA=2 ∠B=70°， ,.∠BAC+∠BCA=110°， ∠OAC+∠OCA=-(∠BAC+∠BCA)=55°， 7/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A0C=180°-55°=125°， ∴∠EFD=5∠EOD=62.5°. 故答案为：62.5° 题型02利用三角形的内切圆求线段长度 【例2-1】(24-25九年级上·安徽芜湖·月考)如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,点O是△ABC 的外心，点I是△ABC的内心，则OI的长度为() 3 A. B. 13 8 c. 119 0.24 【答案】B 【详解】解：如图，作△ABC的外接圆，则圆心为点O,连接并延长AO交BC于点E,连接OB、OC, 则OB=OA=OC, B AB=AC=13,BC=10, ∴AE垂直平分BC,∠ABC=∠ACB, ∠AEB=900' BE=cB=8cx10=5 AE=VAB2-BE2=V132-52=12, .BE2+OE2=OB2,OB=0A=12-OE, 52+0E2=12-0E)2, 解得：OE=19 24 连接IB、IC,过点I作IG⊥AB于点G、IF⊥AC于点F, 8/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点I是△ABC的内心， ∴.IB平分∠ABC,IC平分∠ACB,IG=IF=IE, ÷∠IBC=∠IBA=∠ABC,∠ICB=∠ICA=，∠ACB, ∴，∠IBC=∠ICB, .IB=IC, 点I在BC的垂直平分线上，即点I在AE上， :S△AB+S△AC+S△Bc=SAABC, 10x12-x13E+3×131E+×10E. 1 解得：B=10 3 01=0E-1B=19_10_13 24381 3 即o的长度为 故选：B 【例2-2】(2024安徽合肥模拟预测)如图，分别经过原点0和点A8,0)的动直线a,b,其夹角 ∠OBA=30°，点M是OB中点，连接AM,则AM的最小值是() a M A.4 B.25+2 C.4V3-4 D.4V3+4 【答案】C 【详解】解：作△AOB的外接圆⊙P,连接OP,PA,PB,取OP的中点Q,连接QM, 9/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 6 B P M M :∠APO=2∠ABO=60°，PO=PA, △OAP是等边三角形， A8,0), ..PO=PA=PB=8, .00=OP,OM=MB, ÷QM=)B=4, 2 ·点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出⊙Q, 当M在⊙Q与OA的交点时，连接QA交⊙Q于M,此时AM有最小值， :△OPA是等边三角形，OQ=PQ, AQ⊥OP, 0A=8,00=4, A0=V82-42=4V5 ∴AM的最小值是4V3-4, 故选：C. 【变式2-1】(23-24九年级下·安微徽合肥·期中)下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为 外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则O2=R2-2Rr.若△ABC的外接圆的半径为 5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为_cm. B 【答案】V5 【详解】解：由题意可知，OI2=R2-2Rr=52-2×5×2=5, 10/45