上海上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题

虹口区2025学年度初三年级第一次学生学习能力诊断练习 数学 练习卷 （满分150分，时间100分钟） 2026.1 注意： 1．本练习含三个大题，共25题； 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列四组线段中，成比例的是 A．1，2，3，4； B．2，3，4，5； C．1，2，3，5； D．2，3，4，6． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝3，BC＝4，下列锐角三角比中，值为的是 A．sinB； B．cosB； C．tanB； D．cotB． 3．已知（m为常数）是二次函数，那么m的值是 A．3； B．-1； C．-3； D．3或-1． 4．如图1是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是 A．； B．； C．； D．． 图2 A C B E M D N 41 3 2 1 y x O 图1 图3 A C B D 5．如图2，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA、BC，分别交直线DE于点M、N．如果添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，那么这个条件是 A．∠2＝∠3； B．CD∥AB； C．∠1＝∠4； D．∠B+∠1＝180°． 6．如图3，在△ABC中，AB＝2AC，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，如果AD＝2，那么BD的长是 A．3； B．4； C．5； D．6． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：= ▲ ． 8．如果抛物线（a为常数）开口向下，那么a的取值范围是 ▲ ． 9．已知点A（-5，）、B（-3，）都在二次函数的图像上，那 么 ▲ （填“＞”、“＜”或“＝”）． 10．小丽为了画二次函数的图像，列出了表1（信息不全），那么m的值是 ▲ ． x … -5 -4 -2 0 m … y … 10 5 1 5 10 … 表1 11．已知两个相似三角形的相似比为2：3， 且这两个三角形的周长之和为25，那么 其中较小三角形的周长是 ▲ ． 12．在Rt△ACB中，∠C＝90°，如果AB＝6，，那么AC的长是 ▲ ． 13．如图4，直线AB∥CD∥EF，如果，BD＝6，那么BF的长是 ▲ ．A C B D 图4 E F A B C 图5 D E 图7 A C B 图6 A C B Q P D 14．如图5，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上， 联结AB、CD交于点E，那么的值是 ▲ ． 15．如图6，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，点P和Q分别是△ABD和△ACD的重心．如果，，那么用和表示是 ▲ ． 16．对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以（1，-1）为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是 ▲ ． 17．如图7，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=．点D在边BC上，联结AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B对应点E，联结CE，如果CE∥AB，那么BD的长是 ▲ ． 18．如图8，在△ABC中，BC＝5，，，图8 A C B D D是AB的中点．E是线段AC延长线上一点，联结BE， 如果四边形BDCE的一组对角相等且另一组对角不相等， 那么AE的长是 ▲ ． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：． 20．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） “已知抛物线C1:经过点A（0，-5），B（-1，0）， 求抛物线C1的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线C1的表达式为． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件： ▲ ； （2）将抛物线C1向上平移m个单位后得到抛物线C2，如果抛物线C2的顶点关于原点的对称点在抛物线C1上，求m的值． 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图9，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，DE=4，BC=12，AE=3． （1）求CE的长；A B 图9 D E C （2）如果∠ACD=∠ABC，求CD的长． 22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 如图10，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图11所示，BC为地面，AB为斜坡上的传送带，∠B=26.5°，四边形DEFG是边长为1.8米正方形．点M为仓库卷帘门打开的最高位置，点M、D、H在同一直线上，点D到地面的距离DH为5米． （1）求BE的长（精确到0.1米）； （2）已知M到地面的距离MH为6.8米，如果正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（AB足够长）． （参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50）B A C D 图11 M G E F HD 图10 23．（本题满分12分，“模型探究”6分，“模型应用”6分）A BA O 图12 N P M 【模型探究】 如图12，已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点， P是∠AOB的平分线上一点，满足． 求证：． 【模型应用】 （1）已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，A B 图13 N O P是∠AOB的平分线上一点，如果∠AOB=60°，OM=6， ON=4，OP=，那么∠MPN的度数为 ▲ ； （2）如图13，已知∠AOB=90°，N是边OB上一 点，请在边OA上选择一个合适的点M，并在∠AOB内 部求作一个点P，满足∠MPN=135°且PM=2PN． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）题4分，第（3）题4分） 如图14，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C，抛物线的顶点为D． （1）直接写出点B的坐标，并用含a的代数式表示顶点D的坐标； （2）将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是B，且与y轴的交点为E，联结AC、AE，如果△ACE的面积为6，求a的值； （3）当点D的坐标为（-1，-4）时，如果点P在抛物线上，且∠ADP=45°，求点P 的坐标．图14 O y x A 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①题5分，第（2）②题5分） 如图15，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB且AC=AD． （1）求证：； （2）联结BD交AC于点E，过点C作CF∥AD交BD于点F． ①过点C作CG⊥AD分别交AD、BD于点G、H，如图16所示．已知AB=5，，求CF和CH的长； ②如图17，如果F为BE的中点，求的值． B A C D 图15 B A C D 图17 E F   B A C D 图16 G H E F   评分参考建议 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 8．a<1 9．< 10．1 11．10 12． 13．14 14． 15． 16．（2，-2） 17． 18．或 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19． 20．解：（1）（5，0） 答案不唯一 （2）C1： 顶点为（2，-9+m） 根据题意，对称点为（-2，9-m） 代入C1，得 解得m=2 21． 解：（1）∵ DE∥BC， ∴ ． ∵ DE=4，BC=12，AE=3 ∴ ．∴ AC=9． ∴ CE=AC－AE=6． （2）∵ DE∥BC， ∴ ∠EDC =∠DCB ． 又∵∠ACD =∠ABC， ∴△EDC∽△DCB． ∴ ． ∴．∴ CD =． 22．解：（1）设DH与AB相交于点N， ∵∠DNE=∠BNH，∴∠EDN=∠B=26.5°． 在Rt△DEN中，DN=，GN=． ∴NH=DH-DN=3， 在Rt△BHN中，BN=． ∴BE=EN+BN（米）． 答：BE的长约为7.6米． （2）不能继续利用该传送带运输． 理由如下：DE=3.6， 在Rt△DEN中，DN=． ∴DH= DN+NH=7>6.8 ． 答：不能继续利用该传送带运输． 22． 证明：【模型探究】∵点P是∠AOB的平分线上的一点，∴∠MOP=∠NOP=． ∵∠NOP+∠ONP+∠NPO=180°， 又∵， ∴∠MPN=∠ONP+∠NPO． 又∵∠MPN=∠OPM+∠NPO， ∴∠ONP=∠OPM． ∴△NOP∽△POM． ∴． 【模型应用】 （1）150° （2）A B N O P M ∴如图，点P为所求作的点． 24．解：（1）B（1,0）． 把A（-3，0）代入，得 ，∴． ∴． ∴顶点D（-1，-4a）． （2）由题可得，点C（0，-3a）． 新抛物线的表达式为． 可得E（0，a）． 即． ∵a<0 ∴解得． （3）根据题意，a=1， ∴抛物线的表达式为． ①当点P在抛物线对称轴右侧时， 过点A作AF⊥AD，交DP于点F， 过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点F作FN⊥x轴，垂足为点N， 可得△ADM≌△FAN． ∴AN=DM=4，FN=AM=2． ∴点F（1，2）． 过点D作DG⊥FN，交FN的延长线于点G， 过点P作PH⊥DG，交DG的延长线于点H， 由题可得，． 设点P（）， ∴． 解得m=2或-1（舍）． ∴点P的坐标为（2，5）． ②当点P在抛物线对称轴左侧时， 同理可得，点P的坐标为（） 25． 解：（1）过点A作AM⊥CD，垂足为M， ∵AC=AD， ∴CD=2CM． ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACM． 又∵∠AMC=∠ACB=90°， ∴△ABC∽△CAM． ∴． ∵CD=2CM， ∴． （2）①在Rt△ABC中，有题意可得AC=3，BC=4． ∵∠BAC=∠ACM ∴． 在Rt△ACM中，． ∴． ∵CD∥AB， ∴． ∵CF∥AD， ∴．∴CF=． 在Rt△DCG中，DG=．∴CF=DG． ∵CF∥AD， ∴ ∴CH=GH． 在Rt△DCG中，CG=． ∴CH=． ②过点D作DP⊥AC，垂足为点P ∵CD∥AB ∴ ∵CF∥AD ∴ ∴ ∵F为BE的中点 ∴ ∴ ∵∠ACB=90°，∴DP∥BC ∴ ∴= 虹口区初三数学 本卷共4页 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $