精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

2025年下学期望城二中高一期末考试数学试题 一、单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由可得，解得，即， 因，故. 故选：D． 2. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据范围代入解析式即可. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 4. 若对任意成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令、得或，，进而有，讨论参数a的范围确定b的范围. 【详解】令，则，故，则或， 令，得，解得，故，解得， 当时，， 当时，， 综上，. 故选：C 5. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ） （参考数据：，） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则，由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为16次． 故选：C. 6. 在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“分段法”判断出的大小关系. 【详解】由于，所以. 故选：A 7. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过角的拆分和三角恒等变换即可推导得到结果． 【详解】由，，将其代入， 得， 展开得， 整理得，又，，， 所以，两边除以 ， 得，解得． 故选：D． 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为函数递减区间上的零点，可得，即可求出. 【详解】因为图象过点，所以， 为函数递减区间上的零点，可得，， 即， 因为，所以. 故选：A. 二、多选题 9. 若m，n都为正实数，且则（ ） A. mn的最大值为1 B. 的最小值为9 C. 的最小值为2 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当时，取等号，所以的最大值为1，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为9，故B正确； 对于C，由，得，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为2，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数若关于的方程有3个实数解，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程恰有3个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，通过作关于轴对称的函数的图象与的交点情况，不难判断；对于B，C两项，主要是考虑二次函数图象的对称性和的取值范围分析或者特例判断即得；对于D项，要先判断的范围，结合图象易得. 【详解】如图，依题意作出函数的图象， 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：，， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：将方程的解的个数转化为函数的零点个数，或转化为对应的两个函数的图象交点个数求解，再通过作出函数的图象，根据其对称性、单调性或值域等推导相应参数的范围. 11. 已知函数在上有且仅有条对称轴；则（ ） A. B. 可能是的最小正周期 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上可能有个或个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到；根据对称轴条数可确定，进而解得范围，知A正确；不符合A中范围，知B错误；根据，可知当时，函数不单调，知C错误；根据，分类讨论可得零点个数，知D正确. 【详解】； 对于A，当时，， 在上有且仅有条对称轴，，解得：， 即，A正确； 对于B，若是的最小正周期，则，不能是的最小正周期，B错误； 对于C，当时，； ，，， ，当时，不是单调函数，C错误； 对于D，当时，， ，； 当时，在上有个零点； 当时，在上有个零点； 在上可能有个或个零点，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】借助指数运算法则计算即可得. 【详解】原式 . 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积（弦矢矢2）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆弧所对圆心角的弧度为，由题意求得．再运用扇形面积公式公式和三角形面积公式求得弧田实际的面积，利用九章算术中的弧田面积公式计算面积，可得答案. 【详解】设圆弧所对圆心角的弧度为，由题可知，解得． 故扇形的面积为，三角形的面积为，故弧田实际的面积为． 作分别交，于点，，则，， 所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为， 则所求差值为． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合、，利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）根据元素与集合的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为或， ， 且，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为，则，解得， 因为，则或，可得或. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性即可求得参数的值； （2）根据题意得到，先利用绝对值不等式得到，再构造，通过一系列的分类讨论与整合，结合二次函数的性质求得，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为为偶函数， 所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以，解得， 当时，得，由于不恒为，故不满足题意； 当时，得； 经检验，当时，， 所以，易知的定义域为，关于原点对称， 又易得，所以为偶函数， 综上：. 【小问2详解】 因为对任意的，都存在使得， 所以， 因为，所以，则， 令，则，， 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以当时，，则， 当时，，则， 综上：当时，；当时，， 所以当时，有，解得或，故； 当时，有，解得或，故； 所以或，即. 【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 17. 已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】（1） 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为. （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述，. 18. 已知函数且在上的最大值与最小值之和等于6，设函数. （1）求的值，判定函数的单调性，并用定义证明； （2）证明为奇函数； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增，证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）由在上单调，结合题设可得，然后由单调函数定义可证明在上单调递增； （2）由（1）结合奇偶函数定义可判断奇偶性； （3）由题可得，然后由（1），整体思想结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由在上单调，则，解得或(舍)． 故，函数定义域为， 在上单调递增，证明如下， 取任意，，则， 由，，则，即， 所以在上单调递增； 【小问2详解】 ，函数定义域为， 则， 所以为奇函数； 【小问3详解】 由题可得. ． 令， 当且仅当，即时取等号， 所以，. 所以实数的取值范围为． 19. 已知向量，，且函数. （1）求函数的最小正周期与单调增区间. （2）若锐角中，，，分别为角，，对的边，，求的取值范围. 【答案】（1），，. （2） 【解析】 【分析】（1）对化简得，根据定义求最小正周期和单调增区间即可. （2）对化简，求出，结合锐角三角形，求出的范围，将代入解析式，即可求解. 【小问1详解】 ， 所以，函数的最小正周期为. 令，解得，， 所以，函数的单调增区间为，. 【小问2详解】 因为，所以，即， 因为，，故. 因为是锐角三角形，故，，所以. 而，且， 故，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期望城二中高一期末考试数学试题 一、单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 若对任意成立，则（ ） A. B. C. D. 5. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ） （参考数据：，） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若m，n都为正实数，且则（ ） A. mn的最大值为1 B. 的最小值为9 C. 的最小值为2 D. 10. 已知函数若关于的方程有3个实数解，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程恰有3个实数解 11. 已知函数在上有且仅有条对称轴；则（ ） A. B. 可能是的最小正周期 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上可能有个或个零点 三、填空题 12. ______． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 14. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积（弦矢矢2）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为______． 四、解答题 15. 已知集合，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，求实数的取值范围. 16. 已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 17. 已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 18. 已知函数且在上的最大值与最小值之和等于6，设函数. （1）求的值，判定函数的单调性，并用定义证明； （2）证明为奇函数； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知向量，，且函数. （1）求函数的最小正周期与单调增区间. （2）若锐角中，，，分别为角，，对的边，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $