精品解析：安徽省合肥市四十二中学2025-2026学年上学期九年级数学一模 试卷

2026年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 据国家电影局统计，截至2月5日9：00，2025年春节档票房为95.10亿元，观影人次为1.87亿，创下历史纪录．将数据“95.10亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：“95.10亿”用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 4. 如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．由俯视图判断出组合的正方体的几何体的列数即可． 【详解】解：根据给出的俯视图，这个立体图形的左上边有2个叠放在一起的正方体，右边一列上有各有1个正方体． 故选：D 5. 已知反比例函数与二次函数的图象有一个交点的横坐标为，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，利用二次函数的解析式求得交点坐标，然后代入，即可求得k的值． 【详解】解：将代入得：， ∴此点为， 代入反比例函数得：， 解得：． 故选：D． 6. 如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长． 【详解】解：∵ ∴点为的中点， ∵ ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键 7. 如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，再通过三角形外角的性质计算出的度数． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为， 因为正五边形各边相等，所以和均为等腰三角形． 在中，； 同理，在中． ， 故选：C． 8. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点，先从A，B，C中任意取两点，再从D，E中任取一点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到所画三角形是等腰三角形的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中所画三角形是等腰三角形的有、这2种情况， 所以所画三角形是等腰三角形的概率是， 故选：A． 9. 已知二次函数的图像如图，其对称轴为，它与x轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次函数图像开口向下可得，根据二次函数图像的对称轴可知，然后由二次函数图像经过y轴正半轴可知，利用a与b和c的关系求得一次函数和反比例函数是否有交点，再利用排除法即可求解． 【详解】解：∵二次函数图像开口向下， ∴， ∵二次函数图像对称轴为， ∴， ∵次函数图像经过轴正半轴， ∴， 由，可知：直线经过第一、二、四象限，由可知：反比例函数图像经过第一、三象限， ∵二次函数图像过， ∴，即， 令，即， ∵， ∴一次函数与反比例函数有交点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质、反比例函数图像与性质，解题的关键是熟练掌握以上函数图像与性质． 10. 如图，，，，，点D为的中点，点E为斜边 上一个动点，将沿折叠得到，连接，，下列结论错误的是（ ） A. 若点与点C不重合时，的面积最大值为4.5 B. 若点不在斜边上时，的周长最小值为 C. 若时，的长为 D. 若时，的长为 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠性质得对应线段相等，对应角相等，根据点与点C不重合时，，的面积最大值为4.5；当在上时取等号时最小周长；作 于点，在中，，，；在中，. 【详解】解：A.若点与点C不重合时，在以点为圆心的圆上，则当时的面积最大，则， ∴ ，故A选项正确，不符合题意； B.在，得， 由折叠性质：，周长为：，由于，如图： 因为 当在上时取等号，最小周长：，故B选项正确，不符合题意； C.如图，作 于点F ， 为中点， 当由折叠对称性得， 在中， ， ， ，故C选项不正确，符合题意； D.若时，则，在中， ，故D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查了折叠问题中的对称性问题，从而求最小面积和运动轨迹，圆的相关内容知识，勾股定理求线段长，三角函数求线段，解题关键在于熟练掌握各个知识点联系. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 12. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，则， 故答案为：． 13. 如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点是这个函数的“二倍点”，已知二次函数． （1）若点是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是_______， （2）若此函数有两个相异的“二倍点”、，且，则k的取值范围_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解同值点的定义，并根据定义列方程求解． （1）根据题意将点A代入确定，再由 “二倍点”的定义得出方程求解即可； （2）根据题意得出，，然后利用一元二次方程的解及根与系数的关系求解不等式即可． 【详解】解：（1）把点代入中得， 解得， ∴， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， ∴， 故答案为： （2）∵二次函数图象上有两个相异的“二倍点”、， ∴二次函数与直线有两个交点、， 联立得， 解得，， ∵， ∴； ∵， ∴，， 解得， 综上所述， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同乘以，不等号方向改变，得． 16. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）把向下平移8个单位后得到对应的，画出； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点对称的； （3）用无刻度直尺找出的三边中线的交点，请在图中标出点的位置． 【答案】（1） 解：根据题意得， 即为所求； （2）解：根据题意得， 即为所求； （3）解：根据题意得， 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，作中心对称图形，掌握平移和中心对称图形的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据中心对称图形的性质画出图形即可； （3）利用网格找到中线的位置即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： （1）填空： ， （用含n的式子表示）： （2）当n的值为多少时，的值开始大于2025． 【答案】（1）31， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，然后代入式子中进行求解即可． 【小问1详解】 解：第一个图形有1个“沙漏型”， 第二个图形有 个“沙漏型”， 第三个图形有 个“沙漏型”， …． 由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即 ∴， 故答案为：31；； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ 则当成立，. ∴ 18. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 【答案】规定时间为8天 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 由题意得：， 解得，经检验是所列方程的根，且符合题意 答：规定时间为8天． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当后备箱从关闭到完全打开时，箱盖落在的位置（如图2）．此时，，已知厘米，点到地面距离为110厘米．长为40厘米，求此时点离地面的高度．（结果取整数）（参考数据：，，） 【答案】190厘米 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，如图所示，在中，解直角三角形得到，结合矩形性质与旋转性质得到，在中，求出，再由矩形的判定与性质即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为点M，过点作，垂足为点P，过点作，垂足为点N，如图所示： 由题意得：厘米，， ∵， ∴，则， 在中，（厘米）， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转所得，则， 在中，（厘米）， ∴（厘米）， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴（厘米）， ∵点到地面的距离是110厘米， ∴点到地面的距离是厘米厘米, 答：点到地面的距离为190厘米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及点到直线距离、矩形的判定与性质、旋转性质等知识，读懂题意，建立数学模型，运用所学知识求解是解决问题的关键． 20. 如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴，， ∴． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先由，可得，再由是⊙O的切线，可得，，即可求证． （2）先由的值得出和的关系，在利用勾股定理求得的长，通过推理可证，得出成比例线段求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数逆运用，解答此题的关键是作出辅助线． 六、解答题（本题满分12分） 21. 2022年9月开始，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程，安庆市某中学提前尝试建立劳动教育实践基地，将劳动教育纳入日常教育教学中．某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了20个花圃对管理情况进行了评分（满分100分，数据分组为A组，，B组：，C组：，D组：，表示评分的分数），现将评分情况绘制成了不完整的统计图： （1）补全图①中的条形统计图；图②中C组所对应的圆心角为__________； （2）若八年级B组得分情况为89，88，87，87，86，85． ①八年级B组得分的方差为__________； ②八年级20个花圃得分的中位数为__________分； （3）若90分以上为“五星花圃”，七、八年级各有200个花圃，估计七、八年级的花圃中“五星花圃”共多少个? 【答案】（1） 补画条形统计图如下： （2）①；② （3）估计七、八年级的花圃中“五星花圃”的数量为：110个． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图分析计算即可； （2）①根据给定的数据先计算组得分的平均值，再利用方差计算公式计算即可； ②根据扇形统计图分别计算评分为A、B、C、D四组花圃个数，确定按从小到大排列后第10、11两个数据的值，再根据中位数的求法计算即可； （3）先分别计算抽查的七、八年级管理的花圃得分在90分以上数量，再根据抽查的得分在90分以上的花圃数量与抽查总数的比值估算七、八年级200个花圃中“五星花圃”的数量． 【小问1详解】 解：由图①可知，七年级管理的花圃中，评分B组的个数为， 由图②可知，八年级班级管理的花圃中，评分C组的占比为， 故部分所占的圆心角为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意可知，B组得分的平均数为：， 故方差为； ②由题意可知，八年级20个花圃得分情况为 A组个， 若将20个数据按从小到大排列，其中中位数为第10、11两个分数的平均数，即B组中86和87两个分数的平均数， 所以八年级20个花圃得分的中位数为． 故答案为：①；②； 【小问3详解】 解：抽查的七年级管理的花圃得分在90分以上的有3个，抽查的八年级管理的花圃得分在90分以上的有8个， 所以可估计七、八年级各200个花圃中“五星花圃”的数量为：个． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、方差、中位数的知识以及利用样本所占百分比估计总体的数量的知识，解题关键是熟练掌握相关概念及计算方法． 七、解答题（本题满分12分） 22. 已知：如图，等腰直角中，，点D是直线上一个动点，以为底边作等腰直角，连接并延长交直线于点F，点G为的中点，连接． （1）如图1，若点D在线段上， 求证：①； ②． （2）如图2，若点D在线段的延长线上，与相交于点H，当与全等时，求的值． 【答案】（1） 证明：①∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ，即， 又∵， ； ②， ， G为的中点，且， ， ， ， ， ， 为的中点， ∴， E为的中点， ， ， 点A，B，D，F在以点E为圆心，为半径的圆上， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得到，则， 又，即可证明；②可得，则，得到E为的中点，由，得到，则点A，B，D，F在以点E为圆心，为半径的圆上，故； ②先证明，为的中点，由平行线分线段成比例定理得到E为的中点，由直角三角形得到，则点A，B，D，F在以点E为圆心，为半径的圆上，故，则； （2）过E作，垂足为M，则，那么，那么，由与全等，为腰，得到，而，，故，可得由（1）同理得：E为的中点，．可得，则，设， 解三角形得到，那么，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：过E作，垂足为M， ∵ ∴， ， ， 与全等，为腰， ， ，， ， ， 由（1）同理得：E为的中点，． ， ∴， ， 设，则，， ∵， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，四点共圆，直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 八、解答题（本题满分14分） 23. 已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． （1）求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； （2）连接，求线段的最小值； （3）当直线恰好经过点E时，求a的值． 【答案】（1） （2）的最小值为1 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）令，求出，再由又点在直线，得到，即可求出点； （2）先表示出，而，那么，化简转化为二次函数求最值，再求的最小值； （3）设直线为，将代入，求得直线为，可得，那么，由于直线经过点E，则，即可求解． 【小问1详解】 解：令，得，， 即与x轴交点为， 又点在直线， ， 点B在点C左边， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线：， 将代入得： ∴， ∵， ∴， 当时最小值为1，即的最小值为1 【小问3详解】 解：设直线为，将代入 求得，， 直线为， ∵ ∴， 当时 ， 直线经过点E， ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年安徽省合肥四十二中中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 据国家电影局统计，截至2月5日9：00，2025年春节档票房为95.10亿元，观影人次为1.87亿，创下历史纪录．将数据“95.10亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数与二次函数的图象有一个交点的横坐标为，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点，先从A，B，C中任意取两点，再从D，E中任取一点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图像如图，其对称轴为，它与x轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，，，，，点D为的中点，点E为斜边 上一个动点，将沿折叠得到，连接，，下列结论错误的是（ ） A. 若点与点C不重合时，的面积最大值为4.5 B. 若点不在斜边上时，的周长最小值为 C. 若时，的长为 D. 若时，的长为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 12. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 13. 如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为___________． 14. 对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点是这个函数的“二倍点”，已知二次函数． （1）若点是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是_______， （2）若此函数有两个相异的“二倍点”、，且，则k的取值范围_______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）把向下平移8个单位后得到对应的，画出； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点对称的； （3）用无刻度直尺找出的三边中线的交点，请在图中标出点的位置． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： （1）填空： ， （用含n的式子表示）： （2）当n的值为多少时，的值开始大于2025． 18. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当后备箱从关闭到完全打开时，箱盖落在的位置（如图2）．此时，，已知厘米，点到地面距离为110厘米．长为40厘米，求此时点离地面的高度．（结果取整数）（参考数据：，，） 20. 如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 六、解答题（本题满分12分） 21. 2022年9月开始，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程，安庆市某中学提前尝试建立劳动教育实践基地，将劳动教育纳入日常教育教学中．某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了20个花圃对管理情况进行了评分（满分100分，数据分组为A组，，B组：，C组：，D组：，表示评分的分数），现将评分情况绘制成了不完整的统计图： （1）补全图①中的条形统计图；图②中C组所对应的圆心角为__________； （2）若八年级B组得分情况为89，88，87，87，86，85． ①八年级B组得分的方差为__________； ②八年级20个花圃得分的中位数为__________分； （3）若90分以上为“五星花圃”，七、八年级各有200个花圃，估计七、八年级的花圃中“五星花圃”共多少个? 七、解答题（本题满分12分） 22. 已知：如图，等腰直角中，，点D是直线上一个动点，以为底边作等腰直角，连接并延长交直线于点F，点G为的中点，连接． （1）如图1，若点D在线段上， 求证：①； ②． （2）如图2，若点D在线段的延长线上，与相交于点H，当与全等时，求的值． 八、解答题（本题满分14分） 23. 已知：直线经过点，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D，抛物线与交y轴于点E． （1）求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）； （2）连接，求线段的最小值； （3）当直线恰好经过点E时，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $