第七章二次根式（复习讲义）数学鲁教版五四制八年级下册

第七章 二次根式（复习讲义） 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。 2.掌握二次根式的性质，会用二次根式的性质化去根号内的分母。 3.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 知识点 重点归纳 常见易错点 二次根式的概念 形如（a≥0）的式子 忽略被开方数a的取值范围 二次根式的性质 ② ③ ④ ⑤ 不能正确记忆公式 最简二次根式 被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式 认为分母含有根号的也是最简二次根式 同类二次根式 几个二次根式化简成最简二次根式后，它们的被开方数相同 忘记化成最简二次根式 二次根式的加减 先把各个二次根式分别化成最简二次根式， 再将同类二次根式分别合并。 有括号时，要先去括号。 忘记先化成最简二次根式 二次根式的乘除 ① ② 结果没有化成最简二次根式 题型一 二次根式的定义 【例1】下列代数式中，二次根式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。 属于整式； B. 是分式； C.由于，是二次根式； D. 属于分式． 故选C． 【变式1-1】下列各式中，不一定是二次根式的为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】．；当时，不是二次根式； B.；是二次根式； C.；是二次根式； D.；是二次根式； 故选A． 【变式1-2】在下列式子中，一定是二次根式的有(    ) ，，，，，． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】一定是二次根式的是，，共个． 故选B． 题型二 二次根式有意义的条件 【例2】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数． 解：在实数范围内有意义， ， 解得：， 的取值范围是：． 故选B． 【变式2-1】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 。 【答案】且 【解析】依题意，得 且， 解得且． 【变式2-2】使代数式有意义的整数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】代数式有意义， 解得：， 因为大于且不大于的整数有，，，共个， 所以使代数式有意义的整数有个， 故选B． 【变式2-3】已知，求的值。 【答案】要使有意义，则 解得， 故， ． 【解析】根据二次根式有意义的条件解答。 题型三 二次根式的性质（） 【例3】若，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查 解：， 且，， ． 【变式3-1】已知与互为相反数，求的值． 【答案】解：与互为相反数， ， ， 解得： ．  【解析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，再根据非负数的性质解答． 题型四 二次根式的性质（） 【例4】计算① 【答案】B  【解析】本题考查 ① ② ③， ． 【变式4-1】式子成立的条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】， ， ， 故选C． 【变式4-2】已知，化简二次根式的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】依题意得：，即 又 ，， 原式． 故选A． 【变式4-3】实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 【答案】由数轴知 原式， 【解析】由数轴得出a，a-b的符号，再根据二次根式的性质化简。 题型五 二次根式的性质（） 【例5】判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式。 ① ② ③ ④ 【答案】①不是最简二次根式， 是最简二次根式 ③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，= ④不是最简二次根式，=   【解析】被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。 【变式5-1】化简二次根式得 。 A. B. C. D. 【答案】 【解析】， 【变式5-2】下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：．，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，故D错误． 故选C． 题型六 二次根式的加减法 【例6】计算：（2025•吉林中考）计算： 【答案】 【解析】本题主要考查了二次根式的运算：先把各个二次根式分别化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。有括号时，要先去括号。 故答案为： 【变式6-1】若，则的值为    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】 因为， 所以， 所以的值为． 【变式6-2】最简二次根式与可以合并，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【变式6-3】一个三角形的三边长分别是，，，求此三角形的周长。 A. B. C. D. 【答案】三角形的周长为． 【解析】本题考查三角形的周长和二次根式的加减。 题型七 二次根式的乘除法 【例7】计算 ：① ② ③ 【答案】①， ②， ③，故本选项成立； 【解析】本题考查二次根式的乘除法： ② 【变式7-1】已知长方形的面积为，其中一边长为，则与其相邻的一边长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意得，所求边长，故选C． 【变式7-2】计算 【答案】原式 ． 【解析】乘除混合运算统一为乘法运算． 【变式7-3】计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】， 有意义， ， 原式． 故选C． 【变式7-4】把根号外的因式移到根号内，得(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】成立， ，即， 原式． 故选C． 题型八 二次根式的混合运算 【例8】（2025•天津）计算的结果为 　　 ． 【答案】60 【解析】可以利用平方差公式简化运算 ＝61﹣1 ＝60， 故答案为：60． 【变式8-1】（2025•湖北）计算：|﹣6|22． 【答案】|﹣6|22 ＝64 ＝6﹣4+4 ＝6． 【解析】先去绝对值、计算二次根式的乘法和有理数的乘方，再化简二次根式，然后计算加减法即可． 【变式8-2】如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由题意可得， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， 所以图中阴影部分的面积为：， 故选B． 【变式8-3】已知，，则代数式的值为          ． 【答案】  【解析】解：，， 原式， 故答案为： 基础巩固通关测 一、选择题 1.下列各式中，不属于二次根式的是． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题主要考查了二次根式的定义，当时，式子叫二次根式． 属于二次根式，故本选项错误； B.，不属于二次根式，故本选项正确； C.属于二次根式，故本选项错误； D.，属于二次根式，故本选项错误； 故选B． 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：．故A不符合题意， B.，故B不符合题意， C.故C符合题意， D.故D不符合题意， 故选C． 3.下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 、，与不是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、与不是同类二次根式； D、，与不是同类二次根式； 故选：． 4.实数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中有意义的是． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由数轴可得，， ，， 有意义． 故选B． 5.（2025•广东）计算的结果是（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】 原式6， 故选：B． 6.已知成立，则满足的条件是    ． A. B. C. D. 为任意实数 【答案】B  【解析】解：， ，， 解得：． 故选：． 7.下列各数中，与的商为有理数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】因为，为无理数，所以选项A不符合题意； B.因为，是无理数，所以选项B不符合题意； C.，是无理数，所以选项C不符合题意 D.，2为有理数，所以选项D符合题意； 故选D 8.对于任意的正数，，定义运算为计算的结果为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】=（-）×（）=（-）×（）=2 二、填空题 9.要使有意义，则的取值范围为 。 【答案】 【解析】根据二次根式有意义的条件得到，解之即可得到答案． 根据题意得，， 解得， 10.若化简后的结果是正整数，则的最小值是 。 【答案】2 【解析】n=1时不合题意，n=2时化简结果为2，所以的最小值是2 11.计算的结果是______． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 12.当时，式子的值是 . 【答案】1 【解析】， ，． 原式． 13.有一个体积为的长方体，它的高为，长为，则这个长方体的宽为          ． 【答案】  【解析】一个体积为的长方体，它的高为，长为， 这个长方体的宽为：， 故答案为． 三、解答题 14.把下列各式化成最简二次根式： 【答案】解： 【解析】 15.计算：（1）．（2）． 【答案】解：（1）原式 ．  （2）原式， ．  【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键． 16.用你喜欢的方式计算下列各题： （3） 【答案】 （3） （4）原式． 【解析】主要考查二次根式的加减乘除运算。 17.如果二次根式与能够合并，能否由此确定？若能，请说明理由；若不能，请举一个反例说明． 【答案】解：不能． 反例不唯一， 如当，即时，，则与也能够合并．  【解析】本题主要考查同类二次根式的意义，灵活掌握同类二次根式的定义是解决问题的关键． 二次根式不一定是最简二次根式，只要化简后的被开方数是就能与合并，所以只要是一个完全平方数的倍即可． 18.若，求的值。 【答案】由题意得： ，， ， ， ， 【解析】根据二次根式的性质被开方数大于等于，就可以求解． 19.若三角形的三边长分别是，，，且，求这个三角形的周长 【答案】解：根据题意得，，， ，，， 三角形的周长为． 【解析】根据几个非负数的和的性质得到，，，可解得，，，然后计算即可． 20.实数、在数轴上的对应点如图所示，请你化简：． 【答案】由数轴可知：，，， 原式   【解析】先根据数轴判断、、与的大小关系，然后利用二次根式的性质即可化简求出答案． 能力提升进阶练 1、 选择题 1.使得式子有意义的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】使得式子有意义，则：，解得：， 即的取值范围是：． 故选D． 2.下列根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 、该二次根式符合最简二次根式的定义， ，该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式， C、，该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式， D、，该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式， 故选A． 3.下列根式中，与是同类二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】先把各选项中的二次根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断． ，，，， 经过化简后，可以发现，与是同类二次根式． 故选D． 4.一个长方形的周长为，它的一边长为，则另一边的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】 故选C． 5.若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据二次根式的非负性得到的取值为任意数，结合等式的定义再确定的正负即可． 由二次根式的非负性知， 欲使等式成立， 则需． 故选D． 6.小明的作业本上有以下四题：；；；做错的题是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】，正确； ，正确； ，正确； 无法合并，错误； 所以做错的是． 故选D． 7.已知式子有意义，则点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A  【解析】根据题意得，， 解得， 则点在第一象限． 故选A． 8.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，即， ， ． 故选A． 二、填空题。 9.要使二次根式有意义，则的最大值是          ． 【答案】  【解析】由题意得：， 解得，则的最大值是． 故答案为． 10.要使等式成立，则          ． 【答案】  【解析】解：由题意知， ，解得． 11.若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为          ． 【答案】1 【解析】最简二次根式与是同类二次根式， ，， ，， . 12.计算的结果是          ． 【答案】 【解析】原式 ． 13.使是整数的最小正整数             ． 【答案】  【解析】若是整数，则为完全平方数． 由于是符合条件的最小正整数，所以的值为． 三、解答题。 14.化简下列各式： ． 【答案】解：原式． 原式． 原式． 原式． 原式．  【解析】本题考查了二次根式的性质。 15.计算：（1） （2）． 【答案】解：原式= （2）原式 ．  原式 ； 【解析】此题主要考查了二次根式的混合运算 16.已知，求的值． 【答案】由题意得， ． ． 【解析】若几个非负数的和为，则各个非负数同时为。 17.在中，，为斜边，、为直角边，化简 【答案】解：，，是的三边， ，， ，， 原式 ． 【解析】本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了三角形三边的关系． 18.若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形。理由如下：  ， ， ． ，， ，． ，， ，， ． 是等边三角形． 【解析】若几个非负数的和为，则各个非负数同时为。 19.阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答：原式． 乙的解答：原式． 你认为          的解答是错误的 错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：           模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 【答案】解：甲； ； 原式， ， ，， 原式 ． 【解析】当时，甲没有判断的符号，错误的是：甲； 故答案为：甲； ，当时，， 只有当，才有成立． 故答案为：． 见答案． 20.已知，求的值． 【答案】解：由题意得， 解得． 去掉绝对值号，得， ． 两边平方，得， ．  【解析】利用二次根式中被开方数的非负性确定的范围 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 二次根式（复习讲义） 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。 2.掌握二次根式的性质，会用二次根式的性质化去根号内的分母。 3.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 知识点 重点归纳 常见易错点 二次根式的概念 形如（a≥0）的式子 忽略被开方数a的取值范围 二次根式的性质 ② ③ ④ ⑤ 不能正确记忆公式 最简二次根式 被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式 认为分母含有根号的也是最简二次根式 同类二次根式 几个二次根式化简成最简二次根式后，它们的被开方数相同 忘记化成最简二次根式 二次根式的加减 先把各个二次根式分别化成最简二次根式， 再将同类二次根式分别合并。 有括号时，要先去括号。 忘记先化成最简二次根式 二次根式的乘除 ① ② 结果没有化成最简二次根式 题型一 二次根式的定义 【例1】下列代数式中，二次根式为(    ) A. B. C. D. 【变式1-1】下列各式中，不一定是二次根式的为(    ) A. B. C. D. 【变式1-2】在下列式子中，一定是二次根式的有(    ) ，，，，，． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 题型二 二次根式有意义的条件 【例2】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【变式2-1】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 。 【变式2-2】使代数式有意义的整数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【变式2-3】已知，求的值。 题型三 二次根式的性质（） 【例3】若，则的值是(    ) A. B. C. D. 【变式3-1】已知与互为相反数，求的值． 题型四 二次根式的性质（） 【例4】计算① 【变式4-1】式子成立的条件是(    ) A. B. C. D. 【变式4-2】已知，化简二次根式的结果是(    ) A. B. C. D. 【变式4-3】实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 题型五 二次根式的性质（） 【例5】判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式。 ① ② ③ ④ 【变式5-1】化简二次根式得 。 A. B. C. D. 【变式5-2】下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 题型六 二次根式的加减法 【例6】计算：（2025•吉林中考）计算： 【变式6-1】若，则的值为    A. B. C. D. 【变式6-2】最简二次根式与可以合并，则的值是(    ) A. B. C. D. 【变式6-3】一个三角形的三边长分别是，，，求此三角形的周长。 A. B. C. D. 题型七 二次根式的乘除法 【例7】计算 ：① ② ③ 【变式7-1】已知长方形的面积为，其中一边长为，则与其相邻的一边长为(    ) A. B. C. D. 【变式7-2】计算 【变式7-3】计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【变式7-4】把根号外的因式移到根号内，得(    ) A. B. C. D. 题型八 二次根式的混合运算 【例8】（2025•天津）计算的结果为 　　 ． 【变式8-1】（2025•湖北）计算：|﹣6|22． 【变式8-2】如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【变式8-3】已知，，则代数式的值为          ． 基础巩固通关测 一、选择题 1.下列各式中，不属于二次根式的是． A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    ) A. B. C. D. 4.实数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中有意义的是． A. B. C. D. 5.（2025•广东）计算的结果是（　　） A．3 B．6 C． D． 6.已知成立，则满足的条件是    ． A. B. C. D. 为任意实数 7.下列各数中，与的商为有理数的是(    ) A. B. C. D. 8.对于任意的正数，，定义运算为计算的结果为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 9.要使有意义，则的取值范围为 。 10.若化简后的结果是正整数，则的最小值是 。 11.计算的结果是______． 12.当时，式子的值是 . 13.有一个体积为的长方体，它的高为，长为，则这个长方体的宽为          ． 三、解答题 14.把下列各式化成最简二次根式： 15.计算：（1）．（2）． 16.用你喜欢的方式计算下列各题： （3） 17.如果二次根式与能够合并，能否由此确定？若能，请说明理由；若不能，请举一个反例说明． 18.若，求的值。 19.若三角形的三边长分别是，，，且，求这个三角形的周长 20.实数、在数轴上的对应点如图所示，请你化简：． 能力提升进阶练 1、 选择题 1.使得式子有意义的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.下列根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 3.下列根式中，与是同类二次根式的是(    ) A. B. C. D. 4.一个长方形的周长为，它的一边长为，则另一边的长为(    ) A. B. C. D. 5.若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.小明的作业本上有以下四题：；；；做错的题是(    ) A. B. C. D. 7.已知式子有意义，则点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题。 9.要使二次根式有意义，则的最大值是          ． 10.要使等式成立，则          ． 11.若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为          ． 12.计算的结果是          ． 13.使是整数的最小正整数             ． 三、解答题。 14.化简下列各式： ． 15.计算：（1） （2）． 16.已知，求的值． 17.在中，，为斜边，、为直角边，化简 18.若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由． 19.阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答：原式． 乙的解答：原式． 你认为          的解答是错误的 错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：           模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 20.已知，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $