高观点下的课堂生长点-椭圆仿射变换教学设计-2026届高三数学二轮复习

《挖掘高中数学课堂生长点 赋能核心素养导向教学》 之高观点下圆锥曲线系列：椭圆仿射变换 一、内容与内容解析 1. 内容 本课时立足“高观点衔接+真题导向”的核心定位，核心内容包括：仿射变换的定义与本质（平行投影变换）；椭圆与圆的双向仿射变换规则（拉长短轴、压缩长轴）；仿射变换五大核心性质（同素性、结合性、平行关系不变、共线线段比例不变、斜率/面积/弦长的定量缩放规律）；以及仿射变换在高考核心题型（弦长问题、面积问题、斜率问题）中的真题落地应用。 2. 内容解析 （1）知识定位：仿射变换是连接高中圆锥曲线与大学几何的“桥梁性知识”，以高观点视角将椭圆问题转化为圆的问题，衔接高二已学的椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、圆的性质，破解传统代数方法（联立方程、韦达定理）运算繁琐的痛点。 （2）本质特征：核心是“保结构、变度量”，即保持点线的基本关系（平行、共线、相交、相切、中点）不变，仅对斜率、面积、弦长进行固定比例的缩放，其定量比例关系是真题解题的关键抓手。 （3）思想方法：贯穿“转化与化归”“数形结合”核心思想，通过“椭圆→圆（用圆的直观性质求解）→椭圆（比例还原）”的闭环，实现“复杂问题简单化、抽象问题直观化”，呼应菲利克斯·克莱因“高观点审视初等数学”的教学理念。 （4）应用价值：针对性解决高考椭圆题，课件中的真题表明该方法可将运算量减少50%以上，同时培养学生的直观想象与逻辑推理素养，为后续向量、微积分等高阶知识埋下伏笔。 二、目标与目标解析 1. 目标 （1）掌握椭圆与圆的两类仿射变换规则，能根据真题题型灵活选择变换方式。 （2）理解并熟记仿射变换的五大性质与五大定理，明确定理的适用条件与应用场景。 （3）能运用“变换—用定理/圆的性质—还原”三步法，规范解答高考椭圆真题。 （4）通过“性质推导—定理验证—真题拆解—变式迁移”的探究过程，体会椭圆与圆的内在统一性，提升结构化思维能力。 （5）在真题实战中，形成“题型—定理—变换”的对应思维模式，掌握高观点工具的实战技巧。 （6）感受数学变换的简洁美与高观点知识的实用性，消除对椭圆压轴题的畏惧心理。 （7）通过真题解题效率的提升，增强学习信心，培养严谨求实的科学精神。 2. 目标解析 （1）能独立写出椭圆的两类仿射变换公式，并验证变换后圆的方程，准确率100%。 （2）给定斜率、面积或弦长，能准确运用比例公式完成变换与还原，误差率不超过5%；能快速匹配“题型—定理”，匹配准确率90%以上。 （3）能在20分钟内独立完成一道2022-2024年高考真题的仿射变换求解，步骤完整、逻辑清晰，得分率不低于80%。 三、教学问题诊断分析 1. 已有基础与认知障碍 （1）学生已掌握椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、圆的基本性质，但对“几何变换”的高观点思维方式较为陌生，习惯依赖代数运算，缺乏“转化”意识。 （2）核心障碍1：比例关系混淆，斜率（）、面积（）的缩放比例在变换与还原时易颠倒，弦长比例公式应用不熟练。 （3）核心障碍2：定理应用误区，误将圆中的垂直关系直接迁移到椭圆中（非坐标轴平行的垂直关系不保持）。 （4）核心障碍3：题型识别困难，无法快速判断“面积问题”“斜率问题”等对应哪种变换策略与定理，真题应用中难以建立“椭圆—圆”的转化关联。 （5）核心障碍4：解答题书写不规范，未明确标注变换规则、定理依据与比例还原过程，导致失分。 2. 教学重难点 重点：仿射变换的两类规则、五大性质与五大定理、真题解题三步法（变换—求解—还原）。 难点：五大定理的理解与灵活应用、不同题型的变换策略选择、圆的性质向椭圆的准确还原、解答题规范书写。 四、教学过程设计 （一）情境导入：课本探究，真题激趣 1.课本探究：教师展示：【人教A版《选择性必修一》第115页，第9题】如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． （【详解】设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即，点P在圆上运动，， 即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点.） 师生活动：引导学生解答，初步感知这个问题本质是用仿射变换将圆转化为椭圆.同时展示反射变换在教材上多次出现，如人教A版《选择性必修一》第108页，例2，北师大版《选择性必修一》第59页，阅读。 2.真题激趣： 教师展示：2025年高考全国Ⅱ卷第16题： 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． （【详解】（1）椭圆方程为：. （2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且，故， 解得，故.） 师生活动：引导学生用常规方法（联立方程+韦达定理）尝试求解，感受运算存在的问题教师同步展示仿射变换+斜率乘积定理的求解过程。 提问：“为什么仿射变换能大幅简化运算？它背后的核心逻辑是什么？”引出本节课主题——高观点下的圆锥曲线仿射变换。 简要介绍仿射变换的历史背景，说明其是从运动变换到射影变换的桥梁，让学生理解高观点知识的价值。 设计意图：通过课本问题以及高考真题的“常规方法”与“仿射变换”对比，直观展示高观点工具的优势，激发学习兴趣；数学文化的融入提升课堂深度，为“高观点”教学铺垫认知基础。 （二）高等数学下的命题背景 仿射变换是高等几何中的重要概念，在新教材《选择性必修一》第115页第9题中略有体现，而且在高考圆锥曲线的试题中也经常有所反映，仿射变换常被高考命题人作为考查解析几何的理论背景。如果我们在学习中，能挖掘教材、钻研试题，来探究仿射变换在圆锥曲线中的运用，并结合平面几何知识，来解决圆锥曲线问题，这将会帮助我们优化运算，在减少运算的同时大幅提升准确率。 因此，本节课将以几何和代数结合为主线切入，探究仿射变换在圆锥曲线中的运用，落实数学学科核心素养，开阔思维，将复杂情景问题简单化，优化繁琐运算，突出数形结合思想，构建相关数学知识之间的联系，选择合理的运算方法降低计算量，起到帮助我们解决问题，在快速得到结论的同时，增强我们解决问题的信心，从而更有效的转变数学育人方式，发挥数学育人功能，达到透彻理解圆锥曲线的效果。 （3） 新知探究：性质推导，定理建构 1. 仿射变换规则与性质探究 师生活动 1. 复习椭圆与圆的方程结构差异，引导学生分组探究：“如何通过代数变换将椭圆方程转化为圆的方程？” 问题一：椭圆中，经伸缩变换后，后变成什么图形？则可以得到圆， 问题二：椭圆中，还可以通过怎样的伸缩变换变成圆？ 拉长短轴：，椭圆→圆。 压缩长轴：，椭圆→圆。 长短轴都变：椭圆→单位圆。 问题三：变换成圆有什么样的优势？ 圆是平面几何中最简洁、优美的图形，它有着丰富的几何性质，其完美的对称性和垂径定理等一些特有的性质解题，从而使问题解决的过程大大简化． 问题四：仿射变换有哪些基本性质？ 1. 直观展示“椭圆拉伸为圆”的几何意义，总结六大不变性： 性质一：同素性．仿射变换后几何要素不变，即原来是点，变换后还是点，原来是直线（线段），变换后还是直线（线段）． 性质二：结合性．仿射变换后，在线上的点仍然在直线上，而不会离散． 性质三：面积比值不变性．仿射变换后与变换前对应封闭图形的面积比值不变 性质四：位置关系不变性．仿射变换前后的直线和圆锥曲线位置关系不变，即原来相切，变换后还相切，原来相交，变换后还相交． 性质五：斜率比值不变性．仿射变换后，对应的直线的斜率比值不变，即原来平行，变换后还是平行． 性质六：三点单比不变性．直线上三点分割的两条线段的比值，变换前后不变． 问题五：仿射变换有对应关系？（变化的） （1） 椭圆变成圆， （2）点变为点； （3）直线 变为 ， 斜率 变为 。 （4）弦长 变为 （5）平面图形的面积 变为 。 问题六：对于其他变换会有什么样的对应关系？ 学生活动：分组进行探究，每组派代表展示结果，教师展示定理内容与应用条件。 设椭圆的标准方程为 ，令 （即水平方向变为原来的 倍，竖直方向变为原来的 倍），则在此伸缩变换下： 1. 原椭圆的方程变成单位圆的方程 。 1. 点 变为点 。 1. 直线 变为 ，斜率 变为 1. 弦长 变为 1. 平面图形的面积 变为 。 3.分步骤解答2025年真题： 步骤1：仿射变换（椭圆→圆） 对椭圆 （），作变换，椭圆变为圆 （半径 ）。 步骤2：变换直线与面积 原直线过点 ，设方程为 ，变换后为 。 原面积 ，仿射变换面积比例为 ，故圆中面积： 步骤3：圆中弦长与距离 圆的面积公式 （ 为圆心到直线的距离）。 圆心 到直线 的距离： 代入面积 ，结合圆弦长公式 ，解得 ，且 。 步骤4：还原椭圆弦长 弦长比例为 ，代入 ： 设计意图：通过问题串，让学生参与变换规则的建构过程，避免机械记忆；直观感受“变与不变”的本质；即时提问巩固核心性质，为定理推导铺垫。 （四）真题精讲：分类套用，规范书写（25分钟） 师生活动 1. 按“题型—定理—解题”逻辑，精讲课件中3道典型真题： 应用一：妙解弦长为背景问题 例1（真题改编）已知椭圆：，是坐标原点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T（2,1）．直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值． 解法一：（常规解法）由已知可设直线的方程为，由方程组 可得所以P点坐标为（），.设点A，B的坐标分别为.由方程组 可得.② 方程②的判别式为，由，解得.由②得. 所以，同理， 所以 .故存在常数，使得. 解法二：步骤1：确定仿射变换规则 椭圆 中，，，即 ，。 作仿射变换，椭圆变为圆 （半径 ）。 步骤2：弦长比例公式转换 由仿射变换的弦长对应公式， 因为 ，所以则 步骤3：结合圆中圆幂定理推导 的值 又由圆幂定理可得 ，所以 即故 满足题目条件。 应用二：妙解斜率为背景问题 例2 【2025年高考天津卷】已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. （1）依题意，设椭圆的半焦距为，则左焦点，右顶点，离心率，即，因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即，所以，解得，则，即，因为的面积为，，高为， 所以，解得，则，， 所以椭圆的方程为. （2）解法一：（常规方法）由（1）可知，，，易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，联立，消去得，，因为直线与椭圆有唯一交点，所以，即，则，解得，则， 所以直线的方程为，联立，解得，则，则，所以，，则，又，所以，即平分. 解法二：步骤1：确定仿射变换规则 对椭圆 （），作变换 椭圆变为圆 （半径 ）。 步骤2：变换各点 ，，。 过 的椭圆切线（唯一交点 ）变换为圆的切线，切点为 。 步骤3：求圆的切线与切点 圆 过 的切线方程为 ，解得切点 。 步骤4：还原回椭圆 由逆变换 ，得椭圆上切点 。 步骤5：角平分线判定（斜率夹角相等） 计算 ，。 用夹角公式： 两角正切值相等，故 平分 。 应用三：妙解面积为背景问题 例3 【2024年新课标全国Ⅰ卷】已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． （1）由题意得，解得，所以. （2）解法一：（常规解法），则直线的方程为，即， ，由（1）知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：， 则，解得或，当时，联立，解得或， 即或，当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或. 解法二：步骤1：仿射变换（椭圆→圆） 对椭圆 （），作变换 椭圆变为圆 （半径 ）。 步骤2：变换点与面积 ，。 原面积 ，仿射变换面积比例为 ，故圆中面积 。 步骤3：圆中求直线 圆中 ，由面积公式 ，得 到直线 的距离 。结合圆的性质，解得圆中直线 的斜率 或 ，还原回椭圆得原直线斜率 或 。 步骤4：直线方程 当 时，直线 ；当 时，直线 。 则直线为或，即或. （五）课堂小结：梳理体系，提炼方法（5分钟） 仿射变换优点 1. 降低计算复杂度：规避椭圆的复杂代数运算 2. 利用圆的几何性质，简化核心问题 3. 逻辑更直观：从“代数运算”回归“几何本质 仿射变换（椭圆→圆）解题通用步骤 1.明确椭圆标准形式 2.选择变换类型 3.执行变换，转化所有条件 4.在圆的坐标系下求解问题 5.还原回原椭圆坐标系 设计意图：梳理知识体系，帮助学生形成结构化记忆；口诀强化核心方法，易错点回顾规避失分风险。 （6） 课后分层作业： 基础作业： 1.用仿射变换做：已知椭圆的左右顶点为A、B，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则直线、的斜率之积为_______. 【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为，其推导方法是设点P的坐标，运用点P的坐标满足椭圆的方程来化简、的斜率之积，得出斜率之积为定值， 其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换，则椭圆C变换成圆， 如图，在圆中，显然是直径，所以，从而， 又，，所以，故. 【答案】 2.用仿射变换做：已知过点的直线l与椭圆交于A、B两点，若M恰好为的中点，则直线l的方程为_______. 【解析】解法1：如图1，由中点弦结论，，而，所以， 从而直线l的方程为，即 解法2：作变换，则椭圆C变换成圆，如图2， 在圆中，仍为中点，所以，且，所以直线的斜率为，从而直线的斜率为，故直线的方程为，即，将代入可得，即，所以直线的方程为 【答案】 拔高作业： 3.用仿射变换做：已知椭圆的A、B两点满足直线、的斜率之积为，其中O为原点，点P在射线上，且，若与椭圆交于另一点Q，则_______. 【解析】作变换，则椭圆C变成圆，如图，则，，由题意，所以，从而，显然，，，所以，作于G，则，，因为，所以G为的中点，从而，故，所以在变换前的图形中，. 【答案】 拓展作业：证明一下相交弦问题 4.如图1所示， 是椭圆，长轴上一点，过点 作椭圆的两条弦 ，，两条弦分别与椭圆相交于 四点，连接直线 ，，使其相交于点 ，则 【解析】我们作仿射变换 ，椭圆 变为圆 ，椭圆上的点 与长轴上的点 分别变换为圆上的点 与 ，直线 的交点 变换为 ；在圆中，点 的极线方程为 ，而由圆的极点极线性质，两条过 的弦 的端点连线 的交点 必在 的极线上，故 ；因仿射变换中横坐标不变，该等式在椭圆中同样成立，即 。 学科网（北京）股份有限公司 $