高观点下的课堂生长点-椭圆仿射变换课件-2026届高三数学二轮复习

安徽省青阳中学 汪孝 《挖掘高中数学课堂生长点 赋能核心素养导向教学》 之高观点下圆锥曲线系列 椭圆仿射变换 教师专业成长的学习共同体 环节一：课本问题探究 针砭药石，砥节砺行 【人教A版《选择性必修一》第115页，第9题】 如图，，垂足为，点 线上，且 。当点在圆 上运动时， 求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 这个问题本质是用仿射变换将圆转化为椭圆 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 环节一：课本问题探究 针砭药石，砥节砺行 【人教A版《选择性必修一》第108页，例2】 【北师大版《选择性必修一》第59页，阅读】 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 环节一：课本问题探究 针砭药石，砥节砺行 有没有不联立，快速解决的方法呢？ 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 环节一：课本问题探究 针砭药石，砥节砺行 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 环节二：高等数学下的命题背景 针砭药石，砥节砺行 仿射变换是高等几何中的重要概念，在新教材《选择性必修一》第115页第9题中略有体现，而且在高考圆锥曲线的试题中也经常有所反映，仿射变换常被高考命题人作为考查解析几何的理论背景。如果我们在学习中，能挖掘教材、钻研试题，来探究仿射变换在圆锥曲线中的运用，并结合平面几何知识，来解决圆锥曲线问题，这将会帮助我们优化运算，在减少运算的同时大幅提升准确率。 因此，本节课将以几何和代数结合为主线切入，探究仿射变换在圆锥曲线中的运用，落实数学学科核心素养，开阔思维，将复杂情景问题简单化，优化繁琐运算，突出数形结合思想，构建相关数学知识之间的联系，选择合理的运算方法降低计算量，起到帮助我们解决问题，在快速得到结论的同时，增强我们解决问题的信心，从而更有效的转变数学育人方式，发挥数学育人功能，达到透彻理解圆锥曲线的效果。 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 环节三：探究仿射变换 针砭药石，砥节砺行 仿射变换定义：又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。 伸缩变换： 后变成什么图形？ 问题一：椭圆 ，经伸缩变换 问题三：变换成圆有什么样的优势？ 圆是平面几何中最简洁、优美的图形，它有着丰富的几何性质，其完美的对称性和垂径定理等一些特有的性质解题，从而使问题解决的过程大大简化． 问题二：椭圆 ，还可以通过怎样的伸缩变换变成圆？ 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 性质一：同素性．仿射变换后几何要素不变，即原来是点，变换后还是点，原来是直线（线段），变换后还是直线（线段）． 仿射变换的基本性质：（不变性） 性质二：结合性．仿射变换后，在线上的点仍然在直线上，而不会离散． 问题四：仿射变换有哪些基本性质？ 性质三：面积比值不变性．仿射变换后与变换前对应封闭图形的面积比值不变 性质四：位置关系不变性．仿射变换前后的直线和圆锥曲线位置关系不变，即原来相切，变换后还相切，原来相交，变换后还相交． 性质五：斜率比值不变性．仿射变换后，对应的直线的斜率比值不变，即原来平行，变换后还是平行． 性质六：三点单比不变性．直线上三点分割的两条线段的比值，变换前后不变． 环节三：探究仿射变换 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 问题五：仿射变换有对应关系？（变化的） 后有如下对应关系？ 椭圆 ，经伸缩变换 （1）椭圆 变成圆的方程 ； （2）点 变为点 ； （3）直线 变为 ，斜率k 变为 （4）弦长 变为 （5）平面图形的面积s 变为 证明：因为 ， 即证之． 环节三：探究仿射变换 （利用三角形） 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 问题六：对于其他变换会有什么样的对应关系？ （1）椭圆 变成圆的方程__________ ； （2）点 变为点__________ ； 后有如下对应关系？ 设椭圆的标准方程为 ，令 变为 （3）直线 变为 ，斜率k __________ ； （4）弦长 变为 __________ ； （5）平面图形的面积s变为 __________ ； 环节三：探究仿射变换 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 问题六：对于其他变换会有什么样的对应关系？ （1）椭圆 变成圆的方程__________ ； （2）点 变为点__________ ； 后有如下对应关系？ 设椭圆的标准方程为 ，令 变为 （3）直线 变为 ，斜率k __________ ； （4）弦长 变为 __________ ； （5）平面图形的面积s变为 __________ ； 环节三：探究仿射变换 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 解决问题 针砭药石，砥节砺行 步骤1：仿射变换（椭圆→圆） 步骤2：变换直线与面积 步骤3：圆中弦长与距离 步骤4：还原椭圆弦长 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用一：妙解弦长为背景问题 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用一：妙解弦长为背景问题 解法二：步骤1：确定仿射变换规则 步骤2：弦长比例公式转换 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用一：妙解弦长为背景问题 步骤3：结合圆中圆幂定理推导 的值 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用二：妙解斜率为背景问题 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用二：妙解斜率为背景问题 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用二：妙解斜率为背景问题 （2）解法二：步骤1：确定仿射变换规则 步骤2：变换各点 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用二：妙解斜率为背景问题 （2）步骤3：求圆的切线与切点 步骤4：还原回椭圆 步骤5：角平分线判定（斜率夹角相等） 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用三：妙解面积为背景问题 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用三：妙解面积为背景问题 步骤1：仿射变换（椭圆→圆） 步骤2：变换点与面积 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节四：仿射变换的应用 应用三：妙解面积为背景问题 步骤3：圆中求直线 步骤4：直线方程 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节五：课堂小结 仿射变换优点 1. 降低计算复杂度：规避椭圆的复杂代数运算 2. 利用圆的几何性质，简化核心问题 3. 逻辑更直观：从“代数运算”回归“几何本质” 仿射变换（椭圆→圆）解题通用步骤 1.明确椭圆标准形式 2.选择变换类型 3.执行变换，转化所有条件 4.在圆的坐标系下求解问题 5.还原回原椭圆坐标系 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 针砭药石，砥节砺行 环节六：课后作业 基础作业： 拔高作业： 拓展作业：证明一下相交弦问题 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 安徽省青阳中学 针砭药石，砥节砺行 感谢聆听，下课！ 观看完以上视频，我们发现客观世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。那么，这种现象可以用什么样的函数模型来刻画呢？已有的函数模型无法刻画，就需要我们学习一种新的函数——三角函数 （1）椭圆方程为： . （2）由题设直线 的斜率不为0，故设直线 ， ， 由 可得 ，故 即 ， 且 ，故 ， 解得 ，故 . 思考：【2025年高考全国Ⅱ卷】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点 的直线l交C于 两点， 为坐标原点.若 的面积为 ，求 ． 思考：【2025年高考全国Ⅱ卷】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点 的直线l交C于 两点， 为坐标原点.若 的面积为 ，求 ． 思考：【2025年高考全国Ⅱ卷】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点 的直线l交C于 两点， 为坐标原点.若 的面积为 ，求 ． 例1（真题改编）已知椭圆 ： ， 是坐标原点，直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点T（2,1）．直线 平行于 ，与椭圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 ，证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值． 解法一：（常规解法）由已知可设直线 的方程为 ，由方程组 可得 所以P点坐标为（ ）， .设点A，B的坐标分别为 . 由方程组 可得 .② 方程②的判别式为 ，由 ，解得 .由②得 . 所以 ，同理 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .故存在常数 ，使得 . 例1（真题改编）已知椭圆 ： ， 是坐标原点，直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点T（2,1）．直线 平行于 ，与椭圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 ，证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值． 例1（真题改编）已知椭圆 ： ， 是坐标原点，直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点T（2,1）．直线 平行于 ，与椭圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 ，证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值． 例2 【2025年高考天津卷】已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，且直线 的斜率为 ， 的面积为 ，离心率为 . (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 . （1）依题意，设椭圆 的半焦距为 ，则左焦点 ，右顶点 ，离心率 ，即 ，因为 为 上一点，设 ， 又直线 的斜率为 ，则 ，即 ，所以 ，解得 ，则 ，即 ，因为 的面积为 ， ，高为 ， 所以 ，解得 ，则 ， ， 所以椭圆的方程为 . 例2 【2025年高考天津卷】已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，且直线 的斜率为 ， 的面积为 ，离心率为 . (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 . （2）解法一：（常规方法）由（1）可知 ， ， ，易知直线 的斜率存在，设其方程为 ，则 ，即 ，联立 ，消去 得， ，因为直线与椭圆有唯一交点，所以 ，即 ，则 ，解得 ，则 ， 所以直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，则 ，则 ，所以 ， ，则 ，又 ，所以 ，即 平分 . 例2 【2025年高考天津卷】已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，且直线 的斜率为 ， 的面积为 ，离心率为 . (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 . 例2 【2025年高考天津卷】已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，且直线 的斜率为 ， 的面积为 ，离心率为 . (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 . 例3 【2024年新课标全国Ⅰ卷】已知 和 为椭圆 上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程． （1）由题意得 ，解得 ，所以 . （2）解法一：（常规解法） ，则直线 的方程为 ，即 ， ，由（1）知 ，设点 到直线 的距离为 ，则 ，则将直线 沿着与 垂直的方向平移 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点 ，设该平行线的方程为： ， 则 ，解得 或 ，当 时，联立 ，解得 或 ， 即 或 ，当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ， 当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，当 时，联立 得 ， ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线 的方程为 或 . 例3 【2024年新课标全国Ⅰ卷】已知 和 为椭圆 上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程． 例3 【2024年新课标全国Ⅰ卷】已知 和 为椭圆 上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程． $