重难01 力学三大观点在多过程问题中的综合应用（重难专练）（山东专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

重难01 力学三大观点在多过程问题中的综合应用 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 与板块有关的多过程问题【重难】 考向02 与传送带有关的多过程问题【重难】 考向03 与弹簧有关的多过程问题【重难】 考向04 多物体的多次碰撞问题【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 力学三大观点（动力学、能量、动量）在多过程问题中的综合应用是高考物理的核心难点与高频考点，尤其在压轴题中占重要地位。该题型贯穿于力学与部分电磁学综合情景，侧重考查学生分段建模、过程衔接及规律选用的能力，是区分考生综合分析能力的关键。 考向主要包括：板块问题、传送带问题、弹簧问题、多物体多次碰撞问题等，命题多依托计算题形式出现，常融合匀变速运动、能量转化与守恒、动量守恒等规律，要求学生能灵活选用整体法、隔离法、图像法及临界分析法。 学生主要错误集中在：过程划分不清晰、衔接条件遗漏（如速度突变、能量损失）、规律选用不当（尤其在非弹性碰撞与摩擦生热问题中）、未能注意矢量性与系统性。备考中应强化多过程拆解训练与综合列式能力。 考向01 与板块有关的多过程问题 【例1-1】（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【例1-2】（2025·浙江·一模）质量为m1的滑块a放置在光滑水平面上，滑块a的右上部分为半径R=1.2m的光滑圆弧BA，圆弧上A点的切线水平。质量m2=1kg可视为质点的小滑块b从B点静止释放，b运动到A点时的对地速度v=4m/s，离开A后，恰好从滑板c的上端滑入，速度方向与c平行，c足够长，其质量m3=4kg。斜面的倾角θ=37°，c与斜面之间的动摩擦因数µ1=0.76，b与c之间的动摩擦因数µ2=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)求b刚滑入c的速度大小v1； (2)若将c锁定在斜面上，求b在c上滑行的距离l； (3)求a的质量m1； (4)c不锁定，给c一个沿斜面向下的瞬时冲量I=10kg·m/s，此时b刚好滑入c，从b滑入c到两者相对静止的过程中，求b、c间摩擦产生的热量Q。 1.板块问题通常包含“滑块滑上木板→相对滑动→共速运动→分离/碰撞”等阶段，需按以下步骤拆解： (1)过程划分：拆分阶段，明确每个阶段的运动状态 初始阶段：滑块以初速度滑上木板，两者相对滑动，受滑动摩擦力。 中间阶段：滑块减速、木板加速，直到两者共速（若摩擦力足够使共速）。 末阶段：共速后一起匀速运动，或因外力作用再次发生相对滑动。 (2)受力分析：判断摩擦力类型（静摩擦/滑动摩擦） 若滑块与木板相对滑动：两者间为滑动摩擦力，方向与相对运动方向相反。 若两者相对静止：需用静摩擦力提供加速度，此时需验证静摩擦力是否超过最大值。 (3)规律选择：根据阶段特点匹配力学观点 根据每个阶段的已知条件和求解目标，优先选择守恒定律（简化计算），再考虑定理或牛顿定律。 2.应用技巧：多观点结合，简化复杂过程 (1)先守恒后定理：优先判断系统动量/机械能是否守恒，快速求解初末状态量（如共速速度），再用动能定理或能量守恒分析能量变化。 (2)过程与状态结合：对每个阶段用动力学或动量观点分析状态变化，对全过程用能量观点分析总能量转化。 (3)临界条件分析：板块问题常涉及“相对滑动与共速”“滑块滑离木板”等临界状态，需通过受力分析和运动学公式判断临界条件（如静摩擦力达到最大值时的加速度）。 【变式1-1】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，质量的平板车由长度的平直光滑部分和固定在车右端的半径的光滑四分之一圆弧轨道平滑连接组成，平板车静止在光滑水平面上，质量的物块A放在平板车的左端。平板车上方固定着一光滑水平杆，杆上套着质量的物块P，质量的物块Q通过长度的轻绳与物块P相连。现将物块Q拉起至轻绳水平且伸直，然后由静止释放，物块Q运动至最低点时恰好与物块A发生弹性正碰，碰撞时间极短。已知所有物块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度。 (1)求释放物块Q时，物块Q与物块A的水平距离； (2)求物块A滑离圆弧轨道末端后上升的最大高度； (3)若平板车的上表面平直轨道部分不光滑，为使物块A能进入圆弧轨道，且不能从圆弧轨道末端滑离轨道，求物块A与平板车上表面平直轨道间的动摩擦因数的取值范围。 【变式1-2】（2025·山东·模拟预测）如图所示，光滑曲面末端水平固定于水平面上。曲面右侧紧靠一足够长的木板C，木板上表面粗糙，与曲面末端等高，下表面光滑，木板右侧有一竖直墙壁P。物块A置于曲面距末端高处，物块B置于木板左端。已知物块A、B均可视为质点，质量均为，长木板C的质量为，B、C间的动摩擦因数，取。物块A由静止释放，与发生弹性碰撞（不考虑物块A的后续运动），之后C与B第一次共速时恰好与墙壁P发生碰撞，碰后C被原速率弹回，所有碰撞时间均极短。求： (1)物块A、B碰后瞬间，B的速度大小； (2)木板C从与墙壁P第3次碰撞前瞬间到木板C与墙壁P第4次碰撞前瞬间的时间间隔。 (3)从木板C第一次与墙壁P碰撞到停止运动的总路程。 考向02 与传送带有关的多过程问题 【例2-1】（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 【例2-2】（2025·湖南·二模）如图所示，长为 的水平传送带在电机带动下沿顺时针方向以 的速度匀速运动。在传送带右侧光滑地面上有一小车，小车上固定有一个“ㄱ”型硬杆，车和硬杆的总质量为 ，杆的左端 点系有一条长为 的轻绳，绳的下端系有质量为 的小球，小球下端刚好与传送带右端接触，但无压力。质量为 的小物块以初速度 从传送带左端沿传送带水平向右滑上传送带，小物块与传送带之间的动摩擦因数为 ，小物块运动到传送带右端时与小球发生弹性碰撞。小球和小物块均可视为质点，忽略空气的阻力，重力加速度 取 ，整个过程小车不会翻转。求： (1)物块与小球碰撞后各自的速度大小； (2)小球摆到右侧最高点时细绳与竖直方向夹角的余弦值； (3)从物块滑上传送带到滑离传送带的过程中，由于传送小物块电机多消耗的电能 。 与传送带有关的多过程问题的处理策略： (1)分段拆解：将复杂过程划分为多个子过程（如“加速→匀速→减速”“水平传送→倾斜传送”），每个过程单独分析受力、运动状态。 (2)观点选择： ①涉及加速度、时间、位移：优先用动力学观点； ②涉及能量转化、热量、电能：优先用能量观点； ③涉及碰撞瞬间、冲量：优先用动量观点。 (3)关键衔接点：在“共速时刻”“滑离传送带”“碰撞瞬间”等转折点，分析物理量的突变（如摩擦力方向变化、速度突变），确保过程衔接正确。 (4)辅助工具：利用v−t图像直观展示物体与传送带的运动过程，快速计算相对位移和时间。 【变式2-1】（2025·新疆·二模）如图所示，光滑水平面MN，其左端与竖直固定的光滑斜面用小圆弧平滑连接，其右端与水平传送带相连，且与传送带上表面平齐。传送带以的速率逆时针方向转动，其上表面长。物块A从斜面上高的位置由静止开始下滑，与水平面上静止的物块B发生碰撞，碰撞后物块B滑上传送带。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数，物块A、B均可看作质点且质量相等，物块间碰撞均为弹性正碰，取重力加速度。 (1)求物块B滑上传送带时的速度； (2)判断物块A能否再返回光滑斜面上，若能，求物块A被反弹后在光滑斜面上上升的高度H。 【变式2-2】（2026·陕西渭南·一模）如图所示，长度的水平传送带以速度顺时针匀速运动。传送带的左侧有一高的固定斜面，斜面顶端距传送带左端的水平距离，斜面底端与水平面平滑连接。传送带的右侧水平面光滑且足够长，质量的滑块B静止于传送带右侧水平面上，滑块B的左面为光滑弧形轨道，轨道的最低点与水平面相切。质量的小物块A（可视为质点）从斜面顶端无初速下滑，在水平面上运动一小段距离后滑上传送带。斜面、传送带及传送带左侧水平面与小物块的动摩擦因数均为。小物块A离开传送带又冲上滑块B，没有从滑块B的弧形轨道上端滑出。重力加速度取。求： (1)A刚进入传送带时的速度大小； (2)A冲上B前在传送带上运动的时间； (3)最终A与B的速度大小。 考向03 与弹簧有关的多过程问题 【例3-1】（2025·山东·高考真题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求： (1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、； (2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。 【例3-2】（2025·山东·模拟预测）如图所示，一长木板质量，长，静止放置于光滑水平面上，距离木板右端处有一与木板等高的固定平台，平台上表面光滑，其上放置有质量的滑块。平台上方有一水平光滑固定滑轨，其上穿有一质量的滑块，滑块与通过一轻弹簧连接，开始时弹簧处于竖直方向。一质量的滑块以滑上木板，带动向右运动，与平台碰撞后即粘在一起不再运动。随后继续向右运动，滑上平台，与滑块碰撞并粘在一起向右运动。、组合体随后运动过程中一直没有离开水平面，且没有滑离滑轨，与木板间动摩擦因数为。忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。，，重力加速度 (1)求滑块与滑块碰撞前的速度大小； (2)若弹簧第一次恢复原长时，的速度大小为。则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大？ 与弹簧有关的多过程问题的处理策略： (1)能量观点是主线：在绝大多数弹簧多过程问题中，能量转化与守恒是贯穿始终的主线。优先考虑是否满足机械能守恒条件，这是解题的突破口。 (2)动量观点是关键节点：当过程涉及相互作用、碰撞、分离时，动量定理和动量守恒定律是处理这些“节点”的关键工具。 (3)动力学观点是基础与补充：用于分析瞬时力、加速度、运动性质（如简谐运动），为能量和动量观点提供中间分析。 (4)核心思维流程：拆分过程 → 确定各过程主导规律（能量/动量）→ 抓住过程衔接点（速度等）→ 联立方程求解。 【变式3-1】（2025·安徽蚌埠·三模）如图所示，在倾角的足够长固定斜面的下端垂直斜面固定着一挡板，底部光滑的物块A与物块B用足够长的轻弹簧拴接并静止在斜面上，物块A与挡板接触。初始时弹簧处于原长状态，现在将底部光滑而侧面有粘性的物块C从距离B物块处由静止释放，C与B发生完全非弹性碰撞并粘合成一个整体（碰后C，B与斜面依然保持良好接触）继续运动。已知：C、B质量均为，B与斜面的动摩擦因数，弹簧劲度系数且始终处在弹性限度内，弹性势能（为弹簧形变量），简谐运动的周期为，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B、C均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为。 (1)求B和C碰撞过程中系统损失的机械能； (2)C与B碰后并粘在一起运动的过程中A恰好未离开挡板，求A的质量； (3)求弹簧从第一次压缩到最短到最终稳定所用的时间t。 【变式3-2】（2025·湖南湘西·一模）如图所示，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，初始时在电场力的作用下A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降一段距离后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为0.1J。已知A、B、C的质量分别为0.2kg、0.5kg、0.3kg，匀强电场的电场强度大小为，重力加速度大小g取，弹簧弹性势能与劲度系数、形变量之间的关系满足，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。 (1)求小球C的带电量； (2)求A与B间的动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小； (3)若时电场方向改为竖直向下，B与A发生相对滑动后，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中的最大速度（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰）。 考向04 多物体的多次碰撞问题 【例4-1】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 【例4-2】（2025·湖南·一模）物块A静止在木板B上，A、B的质量分别为2m、m，A、B之间的动摩擦因数为2μ，木板B与地面间的动摩擦因数在P点左侧为μ，在P点右侧为。P点右侧某处有N个质量均为3m的光滑小球沿直线紧密排列，球的直径等于木板的厚度且小球足够多。用带有橡胶指套的手指作用在物块A的上表面并以某一恒定速度水平向右运动，手指对物块A施加的压力大小恒为mg，运动时间后撤离手指。手指作用过程中，物块A上表面留下的指痕长度恰好等于物块A在木板B上痕迹长度的。手指撤离后再经过时间，木板B的右端刚好抵达P点，此时物块A、木板B速度恰好相等。木板B完全通过P点又经过一段距离后其右端与小球1相接触，此时速度为木板B右端刚到P点速度的。已知物块A始终未脱离木板B且木板B的左端不再回到P点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间忽略不计，重力加速度大小为g。 (1)求、过程中木板B的加速度大小； (2)求木板B右端刚好到达P点时的速度大小； (3)求橡胶指套与物体A上表面间的动摩擦因数； (4)求木板B第一次与小球碰撞到静止的总运动时间及此过程中A、B间因摩擦产生的热量。 多物体的多次碰撞问题具体解题方法与步骤: 1. 过程拆解与阶段划分 (1)拆分单次碰撞：将多次碰撞分解为独立的单次碰撞过程，明确每次碰撞的参与对象、初始状态（速度、质量）和相互作用类型（弹性/非弹性碰撞）。 (2)整体分析简化：若系统在连续碰撞中不受外力（或内力远大于外力），可将多次碰撞视为一个整体过程，直接应用动量守恒定律（需注意机械能是否守恒）。 2. 动量观点：碰撞瞬间的核心规律。判断单次碰撞是否动量守恒，同时关注碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞，列出单次碰撞的相应方程。对于多次重复性碰撞，通过前几次碰撞结果推导速度递推公式，利用数学归纳法总结第n次碰撞后的状态。 3. 能量观点：碰撞与后续运动的能量分析。非弹性碰撞中机械能转化为内能，用能量守恒计算损失的机械能；碰撞后运动的能量转换可以用动能定理分析做功与动能变化。 4. 动力学观点：碰撞后运动细节的求解。若碰撞后物体做匀变速运动，需结合牛顿定律与运动学公式，求加速度和速度位移。 5. 临界条件判断： (1)再次碰撞的判断：碰撞后若后面物体速度大于前面物体且同向，则会发生再次碰撞；若速度相等或反向，则停止碰撞。 (2)运动状态临界分析：如碰撞后物体是否脱离轨道、是否停止运动，需结合受力条件（如向心力、摩擦力）和速度阈值判断。 【变式4-1】（2025·四川资阳·一模）如图所示，足够长的光滑水平地面上有1000个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为，将其从左到右依次编号。质量为的小圆环套在足够长的光滑水平杆上，位于1小球正上方处。现将质量为的小球通过长度为的轻绳与连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，、均静止。某时刻释放小球，到达最低点时轻绳恰好断裂，之后在水平地面上与1号球发生碰撞，已知1号小球的质量为，号小球的质量均为。题中所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为，不计空气阻力，小球大小忽略不计。求： (1)轻绳断裂时的速度大小； (2)1号球与2号球第一次碰撞后，2号球所获得的速度； (3)若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力（图中未画出，远远小于1、2球碰撞时的作用力），使1号球每次以相同速度与2号球相碰，且该速度等于两球第一次碰前瞬间1号球的速度，直到1~1000号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力作用下1号球的位移及最终1号球与1000号球之间距离。 【变式4-2】（2025·河北衡水·三模）如图所示，竖直面内有半径的光滑圆弧轨道，最低点与水平传送带左端相切，传送带右端与水平轨道平滑连接，圆弧所对的圆心角，传送带长，以速率顺时针匀速转动。质量的物块P以大小为的初速度从圆弧轨道的最高点沿切线进入圆弧轨道，P与传送带间的动摩擦因数。在点右侧的水平轨道上等间距摆放个相同的滑块，相邻滑块间距离，每个滑块的质量均为，编号依次为1、2、3、…、n，滑块1与点距离也为，物块P及各滑块与水平轨道间的动摩擦因数均为。物块P从点滑上水平轨道后，与滑块1碰撞并粘在一起，再向前运动与滑块2碰撞并粘在一起…，碰撞时间极短，物块P及各滑块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取。 已知。求： (1)物块P经过点时对圆弧轨道的压力大小； (2)物块P从点滑上水平轨道时的速度大小； (3)物块P停止运动时距点的距离（结果保留两位小数）。 1．（2026·湖南·一模）如图所示，传送带的左侧为足够长的光滑水平面，右侧为光滑曲面，传送带与左右两边的台面等高且平滑对接。一轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端与质量的小物块B连接。传送带始终以的速度逆时针转动。现将质量的小物块A从曲面上距水平面高度处由静止释放。物块A、B之间每次发生的都是完全非弹性碰撞，但碰后并不粘连，第一次碰撞前物块B静止于平衡位置，且每次回到平衡位置时物块B都会立即被锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解除。已知传送带长，物块A与传送带之间的摩擦因数，g取。 (1)求物块A第一次与物块B碰撞前的速度大小； (2)求物块A第一次与物块B碰撞后弹簧弹性势能的最大值； (3)与物块B第一次碰后运动的全过程中，求物块A与传送带间因摩擦而产生的热量。 2．（2026·福建·一模）如图所示，质量mA=1kg的木板A静置在光滑水平面上，另一质量mB=2kg的带电小滑块以初速度v0=3m/s从左端冲上A，恰好不从A的右端掉落，A、B间动摩擦因数μ=0.2，A、B相对静止运动一段时间后，A与右侧平台碰撞，B冲上平台。平台与木板A上表面齐平，表面也光滑，平台上方PQ区域内存在大小方向水平向右的匀强电场，电场左边界P与平台左边缘对齐，质量mc=1kg的小滑块C静止在与P间距d=1.5m处，B、C间的碰撞均为弹性碰撞，当B、C即将发生第4次碰撞时，C恰好达到电场右边界Q。B、C均视为质点，小滑块B的带电量始终不变，其余物体均始终不带电，碰撞时间均极短，重力加速度g取10m/s2，求： (1)木板A的长度； (2)B与C从第1 次碰后到第2次碰前的最大距离； (3)C与电场右边界Q的距离。 3．（2025·四川凉山·一模）如图甲所示，一水平面除AB段外其余均光滑。轻弹簧左端与固定挡板相连，质量为m的物块a放在水平面上A点，刚好与处于自然伸长的轻弹簧右端接触。质量为3m的物块b静止在B点，A、B间距离为R。质量为3m、半径为R的四分之一光滑圆弧静止于B点右侧，圆弧面BC的最低点B与水平面相切。物块a与水平面上AB间的动摩擦因数大小与离A点距离x的关系如图乙所示。现用外力将物块a向左推移并锁定在P点，此时弹簧弹性势能为8.2mgR，解锁物块a，物块a向右滑去并与物块b碰撞。若物块a、b均视为质点，且每次碰撞均为弹性碰撞，重力加速度为g，求： (1)物块a与b第一次碰撞前一瞬间a的速度大小； (2)物块a与b第一次碰撞后一瞬间a、b的速度大小、； (3)若物块b从圆弧面上返回时与a在水平面上相碰，则b最终的速度为多大。 4．（2025·浙江·一模）如图所示，AB为足够长的粗糙斜面，斜面倾角，与水平面CG通过极小的一段光滑曲面平滑连接，CG长为S=1.2m的粗糙水平面，DFE为与水平面平滑连接的光滑竖直圆轨道，该竖直光滑圆轨道在CG的位置可调，最低点D、E水平方向略微错开。长木板紧挨着G，静止在光滑、足够长的水平面HT上。长木板右端固定一弹性挡板K (物块与它的碰撞为弹性碰撞)。一质量为m=1kg可视为的质点物块P自斜面上距水平面高为h处由静止释放，P与斜面、CG间、木板间动摩擦因数均为，圆轨道半径R=0.4m,木板质量M=2kg，长为、，，取，求： (1)若滑块恰能过最高点F，求滑块经D点时受到轨道的支持力大小。 (2)当时，CD的距离S₁为多少时滑块恰能滑过F点。 (3)当圆轨道最低点D位于CG中点时，P刚好滑至木板中点时与木板相对静止，求滑块释放的高度h2。 5．（2025·四川成都·一模）如图所示，水平地面上固定一倾角的斜面，斜面底端有一挡板N，在距斜面底端的c点设置一机关，当有物块穿过c点后会立即弹出薄挡板M阻止物块再穿过。将质量为的光滑物块P和质量为的物块Q同时从斜面上的a、b两点由静止释放。与距离均为，物块Q与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块间及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，两物块均可视为质点，重力加速度大小为g。 (1)求P、Q第一次碰前瞬间P的速度大小； (2)若，两物块是否会发生第二次碰撞。如果会，求前两次碰撞所间隔的时间；如果不会，请说明理由； (3)要使Q最终停在c点，求的最大值和最小值。 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，水平地面上P点左侧粗糙、右侧光滑，物块A静止放置在木板B上。物块A、木板B的质量分别为2m和m，A、B之间的动摩擦因数为2μ，木板B与粗糙地面之间的动摩擦因数为μ。P点右侧足够远处有N个（N≥10）质量均为3m的光滑小球向右沿直线紧密排列，球的直径等于木板的厚度。用带有橡胶指套的手指作用在物块A的上表面，手指以某一恒定速度向右运动。手指对物块A施加的压力大小为mg，运动时间t0后手指立即撤离。手指作用过程中，物块A上表面留下的指痕长度恰好等于物块A在木板B上滑过距离的。手指撤离后经过时间t0，木板B右端刚好抵达P点，且A、B速度恰好相等。木板B完全通过P点的速度为其右端刚到P点时速度的。已知物块A始终未脱离木板B，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间忽略不计，重力加速度为g。求： (1)手指作用过程中和撤离手指时木板B的加速度各是多大？ (2)木板B第一次与球碰撞到第二次与球碰撞的时间间隔； (3)从木板B开始与小球碰撞到最后一次与小球刚好相碰的过程中，A、B之间因摩擦产生的热量； (4)橡胶指套与A上表面间的动摩擦因数μ'。 7．（2025·浙江·一模）如图，为一段光滑轨道，其中段是半径为的圆弧形轨道，与圆心的连线与竖直方向夹角为。是水平足够长直轨道，与段在点平滑连接。滑块从距点高度处水平抛出，恰好能从点切入轨道。在水平轨道某位置静止放置一长的木板，木板左右两侧各有一固定挡板。木板紧靠右挡板放置一滑块。滑块在轨道上与木板发生碰撞，碰撞后立即从轨道移去滑块。若，且，滑块、均可视为质点，与之间、与挡板之间的碰撞均为弹性碰撞。、之间的动摩擦因数为，求： (1)滑块到达点时的速度； (2)滑块与木板碰后木板的速度； (3)滑块与左右两侧挡板碰撞的总次数。 8．（2025·浙江金华·一模）如图所示为半径的四分之一竖直圆弧轨道、传送带、水平轨道平滑连接组成的模型，端的竖直挡板上固定有劲度系数为的轻质弹簧。现将质量的小物块从圆心等高处点静止释放，经过水平传送带后，与静止在轨道处、质量也为的物块发生碰撞，碰撞后结合为一整体。初始时与弹簧接触但不粘连。已知传送带的长度，以顺时针匀速转动。之间的距离，两物块与传送带间的动摩擦因数均为，其余部分均光滑，物块可视为质点，弹簧振子做简谐运动的周期（为弹簧的劲度系数）。求： (1)物块第一次滑过传送带，摩擦力对滑块的冲量； (2)、两物块结合压缩弹簧至最短后，第101回到处的时间（取）； (3)物块从静止释放到第次经过处时，系统摩擦产生的热量。 9．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示，质量为的长木板A静止在光滑水平地面上，质量为的小物块B（看做质点）放在长木板的左端，在木板A右侧的地面上固定着一个弹性挡板。现使木板A和物块B以的速度一起向右运动，木板碰撞弹性挡板后立即以碰前的速率反向弹回。已知物块与长木板的动摩擦因数为，重力加速度。 (1)求木板A与挡板第一次碰后向左运动的时间； (2)如果物块B始终不会从长木板A上滑落，求整个过程中物块B相对A运动的路程； (3)若长木板A的长度，求物块B从木板A上滑落之前木板A与挡板之间的碰撞次数。 10．（2025·河南·三模）如图所示，光滑的水平平台上劲度系数的水平轻质弹簧左端与竖直固定挡板相连，质量分别为、的木板、靠在一起并静止在水平地面上，且的长度，其左端与平台右端接触。质量的物块静止在的左端。在平台上用质量的物块向左缓慢压缩弹簧，当弹簧压缩量时，将由静止释放，脱离弹簧后滑上，若将与发生弹性正碰的时刻记为。时从的右端滑离。已知与、之间，以及与之间的动摩擦因数均为，与地面之间的动摩擦因数，与地面之间的摩擦不计，、上表面与平台平齐，、可视为质点且碰撞时间极短，弹簧在弹性限度内，取。求： (1)滑离平台时的速度大小； (2)、碰撞后瞬间的速度大小； (3)的长度。 11．（2025·陕西榆林·模拟预测）超市购物车为顾客带来了极大的购物便利，若某小朋友将5辆购物车以等距d依次排列在一条直线上。已知每个购物车的与地面的动摩擦因数为μ，每辆车的质量为m。这个小朋友在第一辆购物车上施加了一个水平推力（恒力），使购物车依次与正前方的购物车发生碰撞，并推动他们一起向前运动。已知第二辆购物车与第三辆购物车碰撞后（碰撞时间极短），它们恰好一起做匀速直线运动，重力加速度为g，求： (1)水平推力F； (2)第一辆购物车的最大速度v1； (3)小朋友在推车过程中运动的最远距离x。 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）如下图，劲度系数为100N/m的轻弹簧一端固定在倾角足够长斜面的顶端，另一端拴接物块A，弹簧与斜面平行。物块B锁定在A上，点为弹簧原长位置，A与斜面间的动摩擦因数。A、B质量均为。不计厚度的挡板P固定在水平面上，P左侧的平面光滑，木板C长度，质量，紧挨着挡板P。木板C右端与足够长的固定平台间的距离。物块A、挡板P、木板C的上表面及平台等高。质量均为的个物块从左向右依次静置于平台上，相邻两物块间的距离均为，物块1位于平台的最左端。已知B与木板间的动摩擦因数，木板与水平面间的动摩擦因数，各物块与平台间的动摩擦因数均为。将弹簧压缩，使AB从斜面上距点处由静止释放，重力加速度，所有物块均可视为质点。AB释放后的运动过程中： (1)求AB物块下滑速度最大时离点的距离； (2)求A对B作用力的最大值； (3)调整斜面长度使AB物块速度最大时恰好到达斜面底端，此时撤去弹簧并解除AB间的锁定。A与挡板碰撞后物块B滑上木板C，木板C与平台碰撞后立即停止，物块B与物块1相碰后粘在一起，两物块继续运动，然后与物块2相碰，碰后三物块粘在一起继续运动……，所有碰撞时间极短。已知，不计物块由斜面到平面的能量损失。求物块B与前个物块碰后粘成的整体与物块碰撞前的动能。 13．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图（a），光滑水平面上有一质量为的足够长木板，在上放置一质量为的小物块，与之间的动摩擦因数，右侧有一下端略高于长木板的固定挡板。时刻起，对B施加沿水平方向的力（未画出），和由静止开始运动。以水平向右为正方向，相对于的速度用表示，其中和分别为和相对水平面的速度。从到与挡板碰撞的过程，相对速度随时间变化的关系如图（b）所示。时刻，恰好与挡板发生碰撞，同时撤掉作用在木板上的力。已知与挡板的碰撞时间极短，且每一次碰撞后都以碰前速率的0.6倍反弹，运动过程中始终未脱离，重力加速度取。求： (1)时，B的速度大小； (2)内，作用在B上的水平拉力； (3)要使A不从B上滑下，B的最小长度。 14．（2025·福建泉州·模拟预测）如图甲所示，在光滑水平地面上有质量分别为、的两小物块、B，用细线连接并使中间的轻弹簧处于压缩状态（弹簧与两物块未拴接），弹簧的弹性势能为。轴间距为的水平传送带左端与水平地面平滑连接，传送带以的速度顺时针匀速转动。传送带右侧放置一个倾角为的足够长的固定斜面，小物块静置于距斜面顶端处。现将、间的细线烧断，与弹簧分离后冲上传送带，在传送带上运动后，从传送带右端水平飞出，恰好无碰撞地由斜面顶端滑入斜面，一段时间后与发生碰撞。时恰完成第一次碰撞，时刚要发生第二次碰撞，在内运动的图像如图乙所示（以沿斜面向下为正方向）。B、C每次碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短，不计空气阻力，与传送带间的动摩擦因数，物块均可看作质点，重力加速度，求： (1)B刚滑上传送带时的速度大小； (2)的质量以及与斜面间的动摩擦因数； (3)C沿斜面下滑的最大距离。 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，水平桌面上点左侧固定有一弹簧，点右侧处静置一质量为的滑块长度。现用此弹簧来弹射一质量为的滑块D，弹簧储存的弹性势能，滑块D从点释放，获得弹簧储存的全部弹性势能后向右运动，到达点与滑块C发生弹性碰撞，碰撞后滑块C向右运动，到达桌面边缘点。长度，滑块C、D与桌面间的动摩擦因数均为。滑块C运动到点后做平抛运动，通过固定在光滑水平地面上的光滑圆弧装置无机械能损失地滑上静止在地面上的长木板，经过一段时间，长木板右端与固定挡板（宽度忽略不计）碰撞并粘连。长木板质量，板长，板右端到挡板的水平距离为（其中）。滑块C与长木板间的动摩擦因数也为，挡板和长木板等高，桌面右端点距长木板上表面的高度，不计空气阻力，滑块都可看作质点，重力加速度大小为。 (1)求滑块D与滑块C碰撞前瞬间的速度大小； (2)求滑块C到达点时的动能； (3)讨论滑块C从滑上长木板到离开长木板右端的过程中，克服摩擦力做的功与的关系。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难01 力学三大观点在多过程问题中的综合应用 目录 第一部分 题型解码 高屋建瓴，掌握全局 第二部分 考向破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 考向01 与板块有关的多过程问题【重难】 考向02 与传送带有关的多过程问题【重难】 考向03 与弹簧有关的多过程问题【重难】 考向04 多物体的多次碰撞问题【重难】 第三部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 力学三大观点（动力学、能量、动量）在多过程问题中的综合应用是高考物理的核心难点与高频考点，尤其在压轴题中占重要地位。该题型贯穿于力学与部分电磁学综合情景，侧重考查学生分段建模、过程衔接及规律选用的能力，是区分考生综合分析能力的关键。 考向主要包括：板块问题、传送带问题、弹簧问题、多物体多次碰撞问题等，命题多依托计算题形式出现，常融合匀变速运动、能量转化与守恒、动量守恒等规律，要求学生能灵活选用整体法、隔离法、图像法及临界分析法。 学生主要错误集中在：过程划分不清晰、衔接条件遗漏（如速度突变、能量损失）、规律选用不当（尤其在非弹性碰撞与摩擦生热问题中）、未能注意矢量性与系统性。备考中应强化多过程拆解训练与综合列式能力。 考向01 与板块有关的多过程问题 【例1-1】（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1)(2)，(3)(4) 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有，解得。 【例1-2】（2025·浙江·一模）质量为m1的滑块a放置在光滑水平面上，滑块a的右上部分为半径R=1.2m的光滑圆弧BA，圆弧上A点的切线水平。质量m2=1kg可视为质点的小滑块b从B点静止释放，b运动到A点时的对地速度v=4m/s，离开A后，恰好从滑板c的上端滑入，速度方向与c平行，c足够长，其质量m3=4kg。斜面的倾角θ=37°，c与斜面之间的动摩擦因数µ1=0.76，b与c之间的动摩擦因数µ2=0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)求b刚滑入c的速度大小v1； (2)若将c锁定在斜面上，求b在c上滑行的距离l； (3)求a的质量m1； (4)c不锁定，给c一个沿斜面向下的瞬时冲量I=10kg·m/s，此时b刚好滑入c，从b滑入c到两者相对静止的过程中，求b、c间摩擦产生的热量Q。 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）b在离开A后到滑入c的过程中做平抛运动，水平方向分速度不变，则有 解得 （2）b在c上滑行时受到自身重力、c对其的支持力和沿斜面向上的摩擦力根据牛顿第二定律可知，沿斜面方向有解得根据匀变速直线运动速度位移关系，有解得 （3）滑块b从B运动到A的过程，根据动量守恒有 根据机械能守恒有联立解得 （4）由于可知c受力平衡，先做匀速运动；b减速运动的加速度为根据动量定理可得c的初速度为，b减速到与c共速过程中有，b在c上滑行的距离为，b、c间摩擦产生的热量Q=联立代入数据解得 1.板块问题通常包含“滑块滑上木板→相对滑动→共速运动→分离/碰撞”等阶段，需按以下步骤拆解： (1)过程划分：拆分阶段，明确每个阶段的运动状态 初始阶段：滑块以初速度滑上木板，两者相对滑动，受滑动摩擦力。 中间阶段：滑块减速、木板加速，直到两者共速（若摩擦力足够使共速）。 末阶段：共速后一起匀速运动，或因外力作用再次发生相对滑动。 (2)受力分析：判断摩擦力类型（静摩擦/滑动摩擦） 若滑块与木板相对滑动：两者间为滑动摩擦力，方向与相对运动方向相反。 若两者相对静止：需用静摩擦力提供加速度，此时需验证静摩擦力是否超过最大值。 (3)规律选择：根据阶段特点匹配力学观点 根据每个阶段的已知条件和求解目标，优先选择守恒定律（简化计算），再考虑定理或牛顿定律。 2.应用技巧：多观点结合，简化复杂过程 (1)先守恒后定理：优先判断系统动量/机械能是否守恒，快速求解初末状态量（如共速速度），再用动能定理或能量守恒分析能量变化。 (2)过程与状态结合：对每个阶段用动力学或动量观点分析状态变化，对全过程用能量观点分析总能量转化。 (3)临界条件分析：板块问题常涉及“相对滑动与共速”“滑块滑离木板”等临界状态，需通过受力分析和运动学公式判断临界条件（如静摩擦力达到最大值时的加速度）。 【变式1-1】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，质量的平板车由长度的平直光滑部分和固定在车右端的半径的光滑四分之一圆弧轨道平滑连接组成，平板车静止在光滑水平面上，质量的物块A放在平板车的左端。平板车上方固定着一光滑水平杆，杆上套着质量的物块P，质量的物块Q通过长度的轻绳与物块P相连。现将物块Q拉起至轻绳水平且伸直，然后由静止释放，物块Q运动至最低点时恰好与物块A发生弹性正碰，碰撞时间极短。已知所有物块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度。 (1)求释放物块Q时，物块Q与物块A的水平距离； (2)求物块A滑离圆弧轨道末端后上升的最大高度； (3)若平板车的上表面平直轨道部分不光滑，为使物块A能进入圆弧轨道，且不能从圆弧轨道末端滑离轨道，求物块A与平板车上表面平直轨道间的动摩擦因数的取值范围。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）将物块Q拉起至轻绳水平且伸直，然后由静止释放，物块Q运动至最低点时恰好与物块A发生弹性正碰；该过程物块P、Q组成的系统满足水平方向动量守恒，可得则有又联立解得释放物块Q时，物块Q与物块A的水平距离为 （2）物块Q从释放到最低点过程，物块P、Q组成的系统满足水平方向动量守恒，可得 根据系统机械能守恒可得联立解得物块Q运动至最低点时恰好与物块A发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒可得，解得碰后瞬间物块A的速度为物块A与平板车组成的系统满足水平方向动量守恒，当物块A到达圆弧轨道末端时，两者具有相同的水平速度，物块A滑离圆弧轨道末端后上升的最大高度时，两者仍具有相同的水平速度，则有根据系统机械能守恒可得联立解得物块A滑离圆弧轨道末端后上升的最大高度为 （3）若平板车的上表面平直轨道部分不光滑，若物块A刚好能到达圆弧轨道最低点，则有，联立解得若物块A刚好能到达圆弧轨道末端，则有，联立解得综上分析可知，为使物块A能进入圆弧轨道，且不能从圆弧轨道末端滑离轨道，物块A与平板车上表面平直轨道间的动摩擦因数的取值范围为 【变式1-2】（2025·山东·模拟预测）如图所示，光滑曲面末端水平固定于水平面上。曲面右侧紧靠一足够长的木板C，木板上表面粗糙，与曲面末端等高，下表面光滑，木板右侧有一竖直墙壁P。物块A置于曲面距末端高处，物块B置于木板左端。已知物块A、B均可视为质点，质量均为，长木板C的质量为，B、C间的动摩擦因数，取。物块A由静止释放，与发生弹性碰撞（不考虑物块A的后续运动），之后C与B第一次共速时恰好与墙壁P发生碰撞，碰后C被原速率弹回，所有碰撞时间均极短。求： (1)物块A、B碰后瞬间，B的速度大小； (2)木板C从与墙壁P第3次碰撞前瞬间到木板C与墙壁P第4次碰撞前瞬间的时间间隔。 (3)从木板C第一次与墙壁P碰撞到停止运动的总路程。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）A由静止下滑到与B碰撞前，由动能定理得分解得， A和B发生弹性碰撞过程，由动量守恒和能量守恒得， 解得 （2）B和C第一次达到共速时，由动量守恒得解得 C与P碰撞后，原速率弹回，此后B和C第二次达到共速，由动量守恒得 解得 B和C第三次达到共速，由动量守恒得解得同理 设从C第三次与P碰撞前瞬间到B和C第四次达到共速所用时间为，由（或用动量定理）得 从B和C第四次达到共速到C第四次与P碰撞前瞬间所用时间为，对木板C由牛顿第二定律得 得设匀速直线运动的距离为，则（或均可）又得 则从C第三次与P碰撞前瞬间到C第四次与P碰撞前瞬间所用时间为 （3）从木板C第一次与墙壁P碰撞到第二次与墙壁P碰撞前的路程为 由（2）中分析可知第二次及以后的共速的速度大小 第二次碰撞到第三次碰撞期间木板C的路程 第三次碰撞到第四次碰撞期间木板C的路程 …… 考向02 与传送带有关的多过程问题 【例2-1】（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 【答案】(1)4m/s(2)0.9J(3)0.2m(4)3N 【详解】（1）滑块从P点到B点由动能定理 解得到达B点的速度 （2）物块滑上传送带后做加速运动直到与传送带共速，摩擦力对其做的功 （3）物块在传送带上加速运动的加速度为 加速到共速时用时间 在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度 （4）从滑块开始进入圆弧槽到到达圆弧槽最高点由水平方向动量守恒和能量关系可知，联立解得 （另一组，因不合实际舍掉） 对滑块在最高点时由牛顿第二定律解得F=3N 【例2-2】（2025·湖南·二模）如图所示，长为 的水平传送带在电机带动下沿顺时针方向以 的速度匀速运动。在传送带右侧光滑地面上有一小车，小车上固定有一个“ㄱ”型硬杆，车和硬杆的总质量为 ，杆的左端 点系有一条长为 的轻绳，绳的下端系有质量为 的小球，小球下端刚好与传送带右端接触，但无压力。质量为 的小物块以初速度 从传送带左端沿传送带水平向右滑上传送带，小物块与传送带之间的动摩擦因数为 ，小物块运动到传送带右端时与小球发生弹性碰撞。小球和小物块均可视为质点，忽略空气的阻力，重力加速度 取 ，整个过程小车不会翻转。求： (1)物块与小球碰撞后各自的速度大小； (2)小球摆到右侧最高点时细绳与竖直方向夹角的余弦值； (3)从物块滑上传送带到滑离传送带的过程中，由于传送小物块电机多消耗的电能 。 【答案】(1)2m/s、4m/s(2)0.4(3)3.6J 【详解】（1）对物块 解得 根据运动学公式可得 解得 说明物块到达传送带右端时与传送带共速，物块与小球碰撞过程，根据动量守恒定律以及能量守恒定律可得， 解得，方向水平向左。，方向水平向右。 （2）小球摆到右侧最高点时与小车共速，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 小球摆到右侧最高点时细绳与竖直方向夹角的余弦值为 解得 （3）物块在传送带向右运动的时间为传送带的位移为 多消耗的电能为 物块与小球碰撞后向左运动，有 解得 可见物块从传送带左侧滑出，物块向左运动的时间为 传送带位移为 多消耗的电能为 则从物块滑上传送带到滑离传送带的过程中，由于传送小物块电机多消耗的电能 与传送带有关的多过程问题的处理策略： (1)分段拆解：将复杂过程划分为多个子过程（如“加速→匀速→减速”“水平传送→倾斜传送”），每个过程单独分析受力、运动状态。 (2)观点选择： ①涉及加速度、时间、位移：优先用动力学观点； ②涉及能量转化、热量、电能：优先用能量观点； ③涉及碰撞瞬间、冲量：优先用动量观点。 (3)关键衔接点：在“共速时刻”“滑离传送带”“碰撞瞬间”等转折点，分析物理量的突变（如摩擦力方向变化、速度突变），确保过程衔接正确。 (4)辅助工具：利用v−t图像直观展示物体与传送带的运动过程，快速计算相对位移和时间。 【变式2-1】（2025·新疆·二模）如图所示，光滑水平面MN，其左端与竖直固定的光滑斜面用小圆弧平滑连接，其右端与水平传送带相连，且与传送带上表面平齐。传送带以的速率逆时针方向转动，其上表面长。物块A从斜面上高的位置由静止开始下滑，与水平面上静止的物块B发生碰撞，碰撞后物块B滑上传送带。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数，物块A、B均可看作质点且质量相等，物块间碰撞均为弹性正碰，取重力加速度。 (1)求物块B滑上传送带时的速度； (2)判断物块A能否再返回光滑斜面上，若能，求物块A被反弹后在光滑斜面上上升的高度H。 【答案】(1) (2)物块A能再返回斜面上； 【详解】（1）物块A滑到光滑斜面底端，根据机械能守恒定律可得 物块A、B碰撞为弹性碰撞，根据动量守恒定律，则有 根据能量守恒定律，则有 联立解得 （2）物块B在传送带上运动时，根据牛顿第二定律可得 解得 物块B在传送带上向右运行的最大距离满足 解得 则物块B会返回光滑水平面与物块A发生碰撞，使物块A返回光滑斜面上，物块B返回光滑水平面的速度为，与物块A发生弹性碰撞后，物块A的速度为，根据能量守恒可得 解得 【变式2-2】（2026·陕西渭南·一模）如图所示，长度的水平传送带以速度顺时针匀速运动。传送带的左侧有一高的固定斜面，斜面顶端距传送带左端的水平距离，斜面底端与水平面平滑连接。传送带的右侧水平面光滑且足够长，质量的滑块B静止于传送带右侧水平面上，滑块B的左面为光滑弧形轨道，轨道的最低点与水平面相切。质量的小物块A（可视为质点）从斜面顶端无初速下滑，在水平面上运动一小段距离后滑上传送带。斜面、传送带及传送带左侧水平面与小物块的动摩擦因数均为。小物块A离开传送带又冲上滑块B，没有从滑块B的弧形轨道上端滑出。重力加速度取。求： (1)A刚进入传送带时的速度大小； (2)A冲上B前在传送带上运动的时间； (3)最终A与B的速度大小。 【答案】(1) (2)1.1s (3)A的速度，B的速度 【详解】（1）设斜面底边长为，斜面底端到传送带左端距离为，斜面倾角为，小物块A从斜面顶点滑到传送带左端，摩擦力做功大小为 由动能定理有 代入数据解得 （2）A刚滑上传送带，因，A加速到与传送带共速，根据牛顿第二定律有 解得 时间为 A运动的位移为 因，随后A在传送带匀速运动，有 故A冲上B前在传送带上运动时间为 （3）A没有从上端滑出B，最后从B的左端与B分离，整个过程有水平方向动量守恒 系统机械能守恒代入数据解得：， 这说明B向右匀速运动，A反向运动，随后又进入传送带，在传送带上先向左匀减速 运动位移又向右做匀加速，因运动对称，A滑出传送带的速度 物块A追上B，与B再次发生相互作用，最后仍从左端与B分离。由水平方向动量守恒 A、B系统机械能守恒联立以上两式并代入数据解得：， A、B均向右运动，且，所以A不可能再次与B相遇。最终小物块A的速度大小为，滑块B的速度大小为。 考向03 与弹簧有关的多过程问题 【例3-1】（2025·山东·高考真题）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求： (1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、； (2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。 【答案】(1)，水平向左，，水平向右 (2)，水平向左， 【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到处过程中，水平方向上动量守恒，则有 由能量守恒定律有 联立解得， 即小球速度为，方向水平向左，大物块速度为，方向水平向右。 （2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块水平方向上动量守恒，则有 解得 设当弹簧形变量为时物块的固定解除，此时小球和物块的速度为，根据胡克定律 系统机械能守恒 联立解得， 固定解除之后，小球、物块和物块组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有 解得，方向水平向左。 由能量守恒定律可得，最大弹性势能为 【例3-2】（2025·山东·模拟预测）如图所示，一长木板质量，长，静止放置于光滑水平面上，距离木板右端处有一与木板等高的固定平台，平台上表面光滑，其上放置有质量的滑块。平台上方有一水平光滑固定滑轨，其上穿有一质量的滑块，滑块与通过一轻弹簧连接，开始时弹簧处于竖直方向。一质量的滑块以滑上木板，带动向右运动，与平台碰撞后即粘在一起不再运动。随后继续向右运动，滑上平台，与滑块碰撞并粘在一起向右运动。、组合体随后运动过程中一直没有离开水平面，且没有滑离滑轨，与木板间动摩擦因数为。忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。，，重力加速度 (1)求滑块与滑块碰撞前的速度大小； (2)若弹簧第一次恢复原长时，的速度大小为。则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）假设滑块在木板上运动过程中，与木板共速后木板才到达右侧平台 设共速时速度为，相对运动的距离为 由、系统动量守恒 系统能量守恒 解得 设木板开始滑动到共速滑过距离 由动能定理有 解得即假设成立； 木板撞平台后静止，滑块继续向右运动，设滑块与滑块碰撞前速度为 由动能定理有 解得 （2）随后滑块将以的速度滑上平台，与滑块发生完全非弹性碰撞，在水平方向动量守恒，设碰后共同速度为 由动量守恒定律 接下来，滑块组合体与滑块组成的系统水平方向动量守恒； ①假设弹簧开始处于原长状态，则第一次恢复原长时，滑块速度向右，设弹簧原长时组合体速度大小为由动量守恒定律解得 代入数据后，发现不符合能量守恒定律，所以假设错误。 ②由以上推理可知，弹簧开始只能处于压缩状态，第一次恢复原长时，滑块速度向左， 设弹簧原长时组合体速度大小为，由动量守恒和能量守恒有 第一次原长到弹簧伸长最长过程中，动量守恒和能量守恒。设与组合体达到共同速度，弹簧的最大弹性势能为，由动量守恒和能量守恒有 解得共速时弹簧最大弹性势能为 与弹簧有关的多过程问题的处理策略： (1)能量观点是主线：在绝大多数弹簧多过程问题中，能量转化与守恒是贯穿始终的主线。优先考虑是否满足机械能守恒条件，这是解题的突破口。 (2)动量观点是关键节点：当过程涉及相互作用、碰撞、分离时，动量定理和动量守恒定律是处理这些“节点”的关键工具。 (3)动力学观点是基础与补充：用于分析瞬时力、加速度、运动性质（如简谐运动），为能量和动量观点提供中间分析。 (4)核心思维流程：拆分过程 → 确定各过程主导规律（能量/动量）→ 抓住过程衔接点（速度等）→ 联立方程求解。 【变式3-1】（2025·安徽蚌埠·三模）如图所示，在倾角的足够长固定斜面的下端垂直斜面固定着一挡板，底部光滑的物块A与物块B用足够长的轻弹簧拴接并静止在斜面上，物块A与挡板接触。初始时弹簧处于原长状态，现在将底部光滑而侧面有粘性的物块C从距离B物块处由静止释放，C与B发生完全非弹性碰撞并粘合成一个整体（碰后C，B与斜面依然保持良好接触）继续运动。已知：C、B质量均为，B与斜面的动摩擦因数，弹簧劲度系数且始终处在弹性限度内，弹性势能（为弹簧形变量），简谐运动的周期为，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B、C均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为。 (1)求B和C碰撞过程中系统损失的机械能； (2)C与B碰后并粘在一起运动的过程中A恰好未离开挡板，求A的质量； (3)求弹簧从第一次压缩到最短到最终稳定所用的时间t。 【答案】(1)(2)(3)s 【详解】（1）C下滑过程由动能定理得 C和B碰撞过程由动量守恒定律得 由能量守恒定律得解得 （2）由分析可知整体第一次向下运动的最大位移等于弹簧的最大形变量，C、B从碰后到第一次运动至最低点的过程，由能量守恒定律 解得 C、B整体向下运动过平衡位置点时，回复力为零，此时弹簧形变量为则 解得 设C、B整体经平衡位置点向下运动一小段距离后，偏离平衡位置的位移为，弹簧形变量为则 故形变量为时，回复力的大小为 又因为回复力方向和位移的方向相反，证得C、B整体向下的运动为单方向简谐运动。 则C、B整体向下运动的振幅 在最低点时，整体所受弹簧弹力为 此后将向上运动。同理可证整体向上的运动也是单方向简谐振动，平衡位置为点，此时弹簧形变量设为，平衡位置回复力为零，则 解得 若记本次为第1次单方向简谐振动，运动的振幅为 向上运动到达最高点时弹簧的伸长量为0.14m，此时弹簧弹力为14N 由于A恰好未离开挡板，对A物块受力分析 解得 （3）分析可知，向上运动到达最高点之后整体将向下做第2次单方向简谐振动，平衡位置又变成点，振幅为 向下运动到达最低点之后整体将向上做第3次单方向简谐振动，平衡位置又变成点，振幅为 由上述分析发现整体振幅的变化将依次递减0.02m，则第次振动的振幅为 考虑整体最后停止的位置一定位于弹簧压缩状态，设停止时弹簧压缩量为，则由整体静止条件得 解得0.01m≤≤0.03m 当整体向上运动以为点为平衡位置做第9次单方向简谐振动的振幅m，则当整体从最低点往上运动后速度会变为零，此时弹簧形变量为m，整体将停止运动。 综上，弹簧从第一次压缩到最短到最终稳定的所用的时间为：9次单方向简谐振动的总时间 【变式3-2】（2025·湖南湘西·一模）如图所示，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，初始时在电场力的作用下A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降一段距离后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为0.1J。已知A、B、C的质量分别为0.2kg、0.5kg、0.3kg，匀强电场的电场强度大小为，重力加速度大小g取，弹簧弹性势能与劲度系数、形变量之间的关系满足，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。 (1)求小球C的带电量； (2)求A与B间的动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小； (3)若时电场方向改为竖直向下，B与A发生相对滑动后，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中的最大速度（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰）。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）撤去电场前，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，对A、B整体分析可知，此时绳中拉力为0，所以对C进行受力分析，根据共点力平衡条件有 解得小球C的带电量为 （2）C开始做匀速直线运动后，设绳的拉力为，则对C列平衡方程有 对B列平衡方程有 其中 联立解得 设C开始匀速运动瞬间，弹簧的弹力为F，则有 解得 设C下降高度x后开始匀速运动，则由功能关系可知，弹簧N对A做的功为 解得 由能量守恒定律有 解得C做匀速运动时的速度大小为 （3）设弹簧劲度系数为k，则根据（2）有 解得 当电场方向改为竖直向下后，设B与A即将发生相对滑动时，C下降高度为。此时A与B间的摩擦力达到了最大值，即 对A根据牛顿第二定律可得 对B、C整体根据牛顿第二定律可得 联立解得 设即将发生相对滑动时A、B、C的速度为，由能量守恒定律有 A向右运动，当弹簧弹力等于摩擦力时，加速度为0，设速度最大为，此时弹簧形变量与（2）中相同，由动能定理有 由对称性可知，A第一次从右向左运动过程中，加速度为0时，速度最大，与大小相等，即最大速度为联立解得 考向04 多物体的多次碰撞问题 【例4-1】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为。 （2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得， 负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 （3）根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞次后速度大小为 则玻璃球碰撞次后最终动能大小 【例4-2】（2025·湖南·一模）物块A静止在木板B上，A、B的质量分别为2m、m，A、B之间的动摩擦因数为2μ，木板B与地面间的动摩擦因数在P点左侧为μ，在P点右侧为。P点右侧某处有N个质量均为3m的光滑小球沿直线紧密排列，球的直径等于木板的厚度且小球足够多。用带有橡胶指套的手指作用在物块A的上表面并以某一恒定速度水平向右运动，手指对物块A施加的压力大小恒为mg，运动时间后撤离手指。手指作用过程中，物块A上表面留下的指痕长度恰好等于物块A在木板B上痕迹长度的。手指撤离后再经过时间，木板B的右端刚好抵达P点，此时物块A、木板B速度恰好相等。木板B完全通过P点又经过一段距离后其右端与小球1相接触，此时速度为木板B右端刚到P点速度的。已知物块A始终未脱离木板B且木板B的左端不再回到P点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间忽略不计，重力加速度大小为g。 (1)求、过程中木板B的加速度大小； (2)求木板B右端刚好到达P点时的速度大小； (3)求橡胶指套与物体A上表面间的动摩擦因数； (4)求木板B第一次与小球碰撞到静止的总运动时间及此过程中A、B间因摩擦产生的热量。 【答案】(1)，(2)(3)(4)， 【详解】（1）0~t0过程中，对木板B分析可得 解得 t0~2t0过程中，对木板B分析可得 解得 （2）在0~2t0过程中，对木板B由运动学分析可得，木板B右端刚好到达P点时的速度大小 （3）t0~2t0过程中，对物块A分析可得 解得 设手指与物块A间相对滑动的时间为t，手指、物块A、木板B的速度时间关系图像如下 则可得 解得 由运动学规律可得 解得 则有 对物块A受力分析有 解得 （4）物块A和木板B越过P点和小球碰前速度 木板B与小球1发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 解得， 此后，A、B发生相对滑动，1号小球与后边小球碰撞后速度交换，1号球仍停留在原处，最后一个小球向右运动，碰后木板B向左减速运动，对木板B分析可得 木板B速度减为0后，又反向向右运动，对木板B分析可得 设木板B向左最远运行距离为xB1，则有 代入数据，联立解得，，， 则有 此时可得出 即木板B再次返回时，未与物块A达到共速，且第二次碰撞前木板B的速度为第一次碰撞前木板B速度的，同理可得木板B此后的运动时间为等比数列，公比为，且碰撞次数足够多 从木板B第一次与小球碰撞到静止的过程，物块A的位移 木板B的位移 产生的热量为 多物体的多次碰撞问题具体解题方法与步骤: 1. 过程拆解与阶段划分 (1)拆分单次碰撞：将多次碰撞分解为独立的单次碰撞过程，明确每次碰撞的参与对象、初始状态（速度、质量）和相互作用类型（弹性/非弹性碰撞）。 (2)整体分析简化：若系统在连续碰撞中不受外力（或内力远大于外力），可将多次碰撞视为一个整体过程，直接应用动量守恒定律（需注意机械能是否守恒）。 2. 动量观点：碰撞瞬间的核心规律。判断单次碰撞是否动量守恒，同时关注碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞，列出单次碰撞的相应方程。对于多次重复性碰撞，通过前几次碰撞结果推导速度递推公式，利用数学归纳法总结第n次碰撞后的状态。 3. 能量观点：碰撞与后续运动的能量分析。非弹性碰撞中机械能转化为内能，用能量守恒计算损失的机械能；碰撞后运动的能量转换可以用动能定理分析做功与动能变化。 4. 动力学观点：碰撞后运动细节的求解。若碰撞后物体做匀变速运动，需结合牛顿定律与运动学公式，求加速度和速度位移。 5. 临界条件判断： (1)再次碰撞的判断：碰撞后若后面物体速度大于前面物体且同向，则会发生再次碰撞；若速度相等或反向，则停止碰撞。 (2)运动状态临界分析：如碰撞后物体是否脱离轨道、是否停止运动，需结合受力条件（如向心力、摩擦力）和速度阈值判断。 【变式4-1】（2025·四川资阳·一模）如图所示，足够长的光滑水平地面上有1000个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为，将其从左到右依次编号。质量为的小圆环套在足够长的光滑水平杆上，位于1小球正上方处。现将质量为的小球通过长度为的轻绳与连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，、均静止。某时刻释放小球，到达最低点时轻绳恰好断裂，之后在水平地面上与1号球发生碰撞，已知1号小球的质量为，号小球的质量均为。题中所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为，不计空气阻力，小球大小忽略不计。求： (1)轻绳断裂时的速度大小； (2)1号球与2号球第一次碰撞后，2号球所获得的速度； (3)若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力（图中未画出，远远小于1、2球碰撞时的作用力），使1号球每次以相同速度与2号球相碰，且该速度等于两球第一次碰前瞬间1号球的速度，直到1~1000号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力作用下1号球的位移及最终1号球与1000号球之间距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）从球释放到轻绳断裂的过程中，A、B组成的系统水平方向动量守恒： 系统机械能守恒有：   联立可得： （2）绳断后，球在水平地面向右运动与1号球碰撞，设碰后球和1号球速度分别为、 根据动量守恒定律 根据机械能守恒定律 联立解得：    1、2号球碰撞后，两球的速度分别为，，由动量守恒定律和机械能守恒定律，有： ， 联立解得： （3）1、2号球碰后，2号小球以速度向右运动一个，与3号小球碰撞后速度交换，然后依次交换下去。由于1号球与2号球后续碰撞前速度与第一次碰撞相同，从1号球碰前瞬间到再一次碰前瞬间，由能量守恒有：   设作用下1号球的总位移记为，将号小球作为系统，由功能关系有：   联立可得：      设作用的总时间记为，将号小球作为系统，由动量定理有： 联立可得： 最终1号球与1000号球间距离为： 联立可得： 【变式4-2】（2025·河北衡水·三模）如图所示，竖直面内有半径的光滑圆弧轨道，最低点与水平传送带左端相切，传送带右端与水平轨道平滑连接，圆弧所对的圆心角，传送带长，以速率顺时针匀速转动。质量的物块P以大小为的初速度从圆弧轨道的最高点沿切线进入圆弧轨道，P与传送带间的动摩擦因数。在点右侧的水平轨道上等间距摆放个相同的滑块，相邻滑块间距离，每个滑块的质量均为，编号依次为1、2、3、…、n，滑块1与点距离也为，物块P及各滑块与水平轨道间的动摩擦因数均为。物块P从点滑上水平轨道后，与滑块1碰撞并粘在一起，再向前运动与滑块2碰撞并粘在一起…，碰撞时间极短，物块P及各滑块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取。 已知。求： (1)物块P经过点时对圆弧轨道的压力大小； (2)物块P从点滑上水平轨道时的速度大小； (3)物块P停止运动时距点的距离（结果保留两位小数）。 【答案】(1)28N (2)4m/s (3)5.69m 【详解】（1）设物块经过点的速度为，受轨道支持力为，物块P从点运动到点的过程中，根据机械能守恒有 在点时有 根据牛顿第三定律可知物块P经过点时对圆弧轨道的压力大小为 联立解得 （2）设物块P在传送带上一直做减速运动，到点速度为，根据动能定理有 解得 由于，则假设成立，物块P一直做减速运动，即物块P从点滑上水平轨道时的速度大小为。 （3）物块P与滑块1碰撞前瞬间的动能 物块P与滑块1碰撞过程中动量守恒，规定向右为正方向，则 碰撞后瞬间系统动能 解得碰撞后瞬间系统动能 同理可知物块、1和2碰撞前瞬间，系统动能 物块P、1和2碰撞后瞬间，系统动能 物块P、1、2和3碰撞前瞬间，系统动能 以此类推，在物块P、1、2、…、和滑块碰撞前瞬间，系统动能 设一共碰撞次，则代入数据解得即最多可以碰撞到滑块5且与滑块5碰后系统动能设继续运动的距离为，则由解得物块P停止运动时距点的距离联立解得 1．（2026·湖南·一模）如图所示，传送带的左侧为足够长的光滑水平面，右侧为光滑曲面，传送带与左右两边的台面等高且平滑对接。一轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端与质量的小物块B连接。传送带始终以的速度逆时针转动。现将质量的小物块A从曲面上距水平面高度处由静止释放。物块A、B之间每次发生的都是完全非弹性碰撞，但碰后并不粘连，第一次碰撞前物块B静止于平衡位置，且每次回到平衡位置时物块B都会立即被锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解除。已知传送带长，物块A与传送带之间的摩擦因数，g取。 (1)求物块A第一次与物块B碰撞前的速度大小； (2)求物块A第一次与物块B碰撞后弹簧弹性势能的最大值； (3)与物块B第一次碰后运动的全过程中，求物块A与传送带间因摩擦而产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块A滑到曲面底部速度为v0，根据动能定理，有 解得 则物块A在传送带上开始做匀减速运动。 假设物块A一直做减速滑过传送带前速度为vA，则有 解得 由于，说明假设成立，即物块A与物块B第一次碰撞前的速度大小为6m/s （2）设第一次碰后物块A与物块B的速度为，则对物块A与物块B系统在碰撞过程,根据动量守恒，有 解得 之后物块A与物块B一起减速至速度为零时，弹簧弹性势能最大，可得 代入解得 （3）物块A与B第一次碰撞后当弹簧恢复原长时A、B分离，此时物块A的速度大小仍为 物块A在传送带上先向右做匀减速运动，减速到零的位移 所以物块A在传送带上先向右做匀减速到零的运动，再向左做匀加速运动以原速率返回左端，所以物块A与物块B第二次碰撞前的速度为 设第二次碰后物块A与物块B的速度为，则对物块A与B系统在第二次碰撞过程，有 解得 同理可推物块A每次碰撞后都将被传送带带回与物块B发生下一次碰撞，则A与B碰撞n次后返回传送带，速度大小为 第n次与物块B碰撞后，在传送带上运动的时间 物块A与传送带的相对位移 与物块B第一次碰后运动的全过程，物块A与传送带间因摩擦而产生的热量 2．（2026·福建·一模）如图所示，质量mA=1kg的木板A静置在光滑水平面上，另一质量mB=2kg的带电小滑块以初速度v0=3m/s从左端冲上A，恰好不从A的右端掉落，A、B间动摩擦因数μ=0.2，A、B相对静止运动一段时间后，A与右侧平台碰撞，B冲上平台。平台与木板A上表面齐平，表面也光滑，平台上方PQ区域内存在大小方向水平向右的匀强电场，电场左边界P与平台左边缘对齐，质量mc=1kg的小滑块C静止在与P间距d=1.5m处，B、C间的碰撞均为弹性碰撞，当B、C即将发生第4次碰撞时，C恰好达到电场右边界Q。B、C均视为质点，小滑块B的带电量始终不变，其余物体均始终不带电，碰撞时间均极短，重力加速度g取10m/s2，求： (1)木板A的长度； (2)B与C从第1 次碰后到第2次碰前的最大距离； (3)C与电场右边界Q的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对B受力分析，牛顿第二定律 解得 对A受力分析，牛顿第二定律 解得 B恰好不从 A 的右端掉落，即共速时刚好走到A右端，设经过时间共速，有 解得 解得 （2）对B受力分析，牛顿第二定律 解得 B、C碰撞前匀加速运动，设碰撞前速度为, 解得 B、C弹性碰撞，动量守恒 机械能守恒 解得第一次碰撞后B、C速度分别为， 碰撞后B加速运动，C匀速运动，共速时相距最远，设经过时间共速，有 解得 最远距离为 （3）设经过时间第二次碰撞 解得 第一次碰撞到第二次碰撞C位移 第二次碰撞前B、C的速度分别为， 第二次B、C弹性碰撞，动量守恒 机械能守恒 解得第二次碰撞后B、C速度分别为， 设经过时间第三次碰撞 解得 第二次碰撞到第三次碰撞C位移 第三次碰撞前B、C的速度分别为， 第三次B、C弹性碰撞，动量守恒 机械能守恒 解得第三次碰撞后B、C速度分别为， 设经过时间即将第四次碰撞 解得 第三次碰撞到即将第四次碰撞前C位移 C起始位置与电场右边界Q的距离为 3．（2025·四川凉山·一模）如图甲所示，一水平面除AB段外其余均光滑。轻弹簧左端与固定挡板相连，质量为m的物块a放在水平面上A点，刚好与处于自然伸长的轻弹簧右端接触。质量为3m的物块b静止在B点，A、B间距离为R。质量为3m、半径为R的四分之一光滑圆弧静止于B点右侧，圆弧面BC的最低点B与水平面相切。物块a与水平面上AB间的动摩擦因数大小与离A点距离x的关系如图乙所示。现用外力将物块a向左推移并锁定在P点，此时弹簧弹性势能为8.2mgR，解锁物块a，物块a向右滑去并与物块b碰撞。若物块a、b均视为质点，且每次碰撞均为弹性碰撞，重力加速度为g，求： (1)物块a与b第一次碰撞前一瞬间a的速度大小； (2)物块a与b第一次碰撞后一瞬间a、b的速度大小、； (3)若物块b从圆弧面上返回时与a在水平面上相碰，则b最终的速度为多大。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）物块a从P到B过程，根据动能定理有 其中 联立解得 （2）a、b第一次碰撞过程，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 联立解得， 即物块a与b第一次碰撞后一瞬间a、b的速度大小分别为、； （3）b与圆弧质量相等，根据动量守恒定律和能量守恒定律有， 可得， 即b返回到圆弧底端速度为零，且在B点右侧静止，圆弧体速度大小为，a再次返回B点，由动能定理 解得 a、b第二次碰撞，根据动量守恒定律 根据能量守恒定律 联立解得， 故物块b最终的速度大小 4．（2025·浙江·一模）如图所示，AB为足够长的粗糙斜面，斜面倾角，与水平面CG通过极小的一段光滑曲面平滑连接，CG长为S=1.2m的粗糙水平面，DFE为与水平面平滑连接的光滑竖直圆轨道，该竖直光滑圆轨道在CG的位置可调，最低点D、E水平方向略微错开。长木板紧挨着G，静止在光滑、足够长的水平面HT上。长木板右端固定一弹性挡板K (物块与它的碰撞为弹性碰撞)。一质量为m=1kg可视为的质点物块P自斜面上距水平面高为h处由静止释放，P与斜面、CG间、木板间动摩擦因数均为，圆轨道半径R=0.4m,木板质量M=2kg，长为、，，取，求： (1)若滑块恰能过最高点F，求滑块经D点时受到轨道的支持力大小。 (2)当时，CD的距离S₁为多少时滑块恰能滑过F点。 (3)当圆轨道最低点D位于CG中点时，P刚好滑至木板中点时与木板相对静止，求滑块释放的高度h2。 【答案】(1)60N (2)0.2m (3)4.05m或8.55m 【详解】（1）物块恰能经有① 解得 物块自到，由机械能守恒定律有② 解得 物块经过时，由牛顿第二定律有 ③ 代入数据解得 （2）对物块，自释放到，由动能定理有 由(1) 知，代入数据解得 （3）当圆轨道位于中点时，能过点。则有 解得 设经度为时，恰第1次滑至第一块木板的中点，对物块和木板组成的系统，由动量守恒定律 由能量守恒定律有 解得 对滑块，自释放到，由动能定理 解得 即，符合题意     当物块与挡板碰后在木板中点与木板相对静止，由动量守恒定律得 由能量守恒定律有 解得 对滑块，自释放到，由动能定理有 解得 所以或。 5．（2025·四川成都·一模）如图所示，水平地面上固定一倾角的斜面，斜面底端有一挡板N，在距斜面底端的c点设置一机关，当有物块穿过c点后会立即弹出薄挡板M阻止物块再穿过。将质量为的光滑物块P和质量为的物块Q同时从斜面上的a、b两点由静止释放。与距离均为，物块Q与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块间及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，两物块均可视为质点，重力加速度大小为g。 (1)求P、Q第一次碰前瞬间P的速度大小； (2)若，两物块是否会发生第二次碰撞。如果会，求前两次碰撞所间隔的时间；如果不会，请说明理由； (3)要使Q最终停在c点，求的最大值和最小值。 【答案】(1) (2)会， (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）因 即 则物块Q释放后保持静止。物块P从a点匀加速至b点的过程中，由牛顿第二定律和运动学公式得 又     解得 （2）物块P与物块Q第一次发生弹性碰撞后，设物块P、Q的速度大小分别为、，由动量守恒得     由机械能守恒得     解得， 当时，， 物块Q碰后将做匀减速直线运动，假设物块Q匀减速至停下前两物块未碰撞，设该过程物块Q的加速度大小为，运动时间为，位移大小为，由牛顿第二定律和运动学公式得，，     解得， 物块P撞后将做初速度为0的匀加速直线运动，在时间内位移大小为，由运动学公式得，解得 即物块Q恰好运动至c点速度减为0，机关尚未触发，此时物块P恰好也运动至c点，故两物块会发生第二次弹性碰撞，两次碰撞所间隔的时间为 （3）①当时，结合（2）的计算结果分析可得，第一次碰撞后物块Q先经过c点，触发机关，物块不会与物块Q发生第二次碰撞。假设物块Q与挡板发生了次碰撞后最终停在点，物块Q从第一次碰撞后至最终停止运动的过程中，由动能定理可得     解得 又因为 故 此时最大， 解得     ②当时，结合（2）计算结果分析可得，第一次碰撞后物块Q沿斜面向下匀减速至0，物块P先沿斜面向上做匀减速直线运动，再沿斜面向下做匀加速直线运动，直至与已静止的物块Q再次发生碰撞，此后重复该过程。当最小时，经过无数次碰撞后，两物块最终恰好均停在c点。对两物块全过程根据能量守恒可得     解得 综上，要使得物块Q最终停在点，的最大值为，最小值为。 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，水平地面上P点左侧粗糙、右侧光滑，物块A静止放置在木板B上。物块A、木板B的质量分别为2m和m，A、B之间的动摩擦因数为2μ，木板B与粗糙地面之间的动摩擦因数为μ。P点右侧足够远处有N个（N≥10）质量均为3m的光滑小球向右沿直线紧密排列，球的直径等于木板的厚度。用带有橡胶指套的手指作用在物块A的上表面，手指以某一恒定速度向右运动。手指对物块A施加的压力大小为mg，运动时间t0后手指立即撤离。手指作用过程中，物块A上表面留下的指痕长度恰好等于物块A在木板B上滑过距离的。手指撤离后经过时间t0，木板B右端刚好抵达P点，且A、B速度恰好相等。木板B完全通过P点的速度为其右端刚到P点时速度的。已知物块A始终未脱离木板B，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所有碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间忽略不计，重力加速度为g。求： (1)手指作用过程中和撤离手指时木板B的加速度各是多大？ (2)木板B第一次与球碰撞到第二次与球碰撞的时间间隔； (3)从木板B开始与小球碰撞到最后一次与小球刚好相碰的过程中，A、B之间因摩擦产生的热量； (4)橡胶指套与A上表面间的动摩擦因数μ'。 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）手指作用期间，A、B发生相对滑动，B相对地面做向右的加速运动。 对B有 解得 撤去手指后，B依然向右做加速运动，有 解得 （2）B右端到达P点时A、B的速度均为 解得 设木板B完全通过P点时的速度为，由题意可知 随后木板B做匀速运动，直到与小球相碰，根据牛顿摆原理可知最左侧小球不动，最右侧小球被弹出。 根据动量守恒定律有 根据机械能守恒可得 解得， 碰撞后木板B的速度方向向左，设A、B再次达到共速时速度为，根据动量守恒有 解得 则第一次碰撞后木板B先减速再加速，再次与球相撞，设加速度为，第一次碰撞与第二次碰撞相隔时间，对木板B有 解得 根据匀变速直线运动速度与时间关系可得 解得 （3）木板B第一次与球碰撞到第二次与球碰撞的过程中，物块A相对木板B的位移为 第二次碰撞后木板的速度大小为第一次碰撞后木板速度大小的一半，则第二次碰撞到第三次碰撞过程中，物块A相对木板B的位移为 则碰撞阶段A、B摩擦生热为 解得 （4）撤去手指后，A向右减速，对A有 解得 撤去手指的瞬间，A的速度为 解得 手指作用时有 设经过时间手指与A共速，随后保持相对静止，则指套在A上留下的指痕长度为 手指作用阶段，A在B上滑动的距离为 由题意知 解得 联立解得 7．（2025·浙江·一模）如图，为一段光滑轨道，其中段是半径为的圆弧形轨道，与圆心的连线与竖直方向夹角为。是水平足够长直轨道，与段在点平滑连接。滑块从距点高度处水平抛出，恰好能从点切入轨道。在水平轨道某位置静止放置一长的木板，木板左右两侧各有一固定挡板。木板紧靠右挡板放置一滑块。滑块在轨道上与木板发生碰撞，碰撞后立即从轨道移去滑块。若，且，滑块、均可视为质点，与之间、与挡板之间的碰撞均为弹性碰撞。、之间的动摩擦因数为，求： (1)滑块到达点时的速度； (2)滑块与木板碰后木板的速度； (3)滑块与左右两侧挡板碰撞的总次数。 【答案】(1)，和水平方向夹角沿轨道切线方向 (2)，方向向右 (3)6次 【详解】（1）滑块A从距M点高度处水平抛出，根据动能定理 恰好能从点切入轨道可得 联立解得滑块A到达M点时的速度 水平方向夹角沿轨道切线方向。 （2）从M点到与木板B碰撞，有 解得 A与B发生弹性碰撞，有 解得 滑块与木板碰后木板的速度，方向向右。 （3）因C与挡板间的碰撞为弹性碰撞，B和C系统动量守恒，最终B与C共速做匀速直线运动。 故有 系统机械能损失为 系统损失的机械能转化为摩擦生热，有 解得 滑块C相对木板B上来回滑动的距离为，故C与左右两挡板碰撞的次数为 故滑块C与两侧挡板共碰撞6次。 8．（2025·浙江金华·一模）如图所示为半径的四分之一竖直圆弧轨道、传送带、水平轨道平滑连接组成的模型，端的竖直挡板上固定有劲度系数为的轻质弹簧。现将质量的小物块从圆心等高处点静止释放，经过水平传送带后，与静止在轨道处、质量也为的物块发生碰撞，碰撞后结合为一整体。初始时与弹簧接触但不粘连。已知传送带的长度，以顺时针匀速转动。之间的距离，两物块与传送带间的动摩擦因数均为，其余部分均光滑，物块可视为质点，弹簧振子做简谐运动的周期（为弹簧的劲度系数）。求： (1)物块第一次滑过传送带，摩擦力对滑块的冲量； (2)、两物块结合压缩弹簧至最短后，第101回到处的时间（取）； (3)物块从静止释放到第次经过处时，系统摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3)若为奇数，，若为偶数， 【详解】（1）滑块从滑到根据动能定理，有 解得 物块滑到传送带上时，根据牛顿第二定律，有 解得加速度为 当物块速度减为时，由运动学公式 解得运动的位移为 由此可知物块在传送带上运动时将会与传送带共速。 物块第一次与传送带共速的时间为，则有 解得 物块第一次滑过传送带，摩擦力对滑块的冲量 解得 （2）物块以第一次碰物块，设向右为正，由动量守恒 解得 由碰后做简谐运动，从弹簧压缩最短处再次回到点所用的时间为 弹回后在传送带上向左运动的位移为 根据运动的对称性可知整体以向左离开经传送带，再次回到所经历的时间为 所以两物块从弹簧压缩最短处第一次和第三次到达的时间间隔为 设为一个循环所需时间，、两物块第1次至第101次到达，经历了50次循环，所以、两物块第一次和第一百零一次到达的时间间隔为 则、两物块结合压缩弹簧至最短后，第101次回到处的时间 （3）物块第一次与传送带共速的时间为，则有 解得 物块运动的位移为 传送带运动的位移为 物块相对传送带运动的位移为 联立解得物块第一次滑过传送带系统摩擦产生的热量 碰撞后以向左滑上传送带，速度减为零时，所用的时间为 向左运动的位移为 传送带运动的位移为 此过程的相对位移为 物块反向加速时与传送带产生的相对位移为 这个过程产生的热量为 分类讨论： 若为奇数，满足 若为偶数，满足 9．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示，质量为的长木板A静止在光滑水平地面上，质量为的小物块B（看做质点）放在长木板的左端，在木板A右侧的地面上固定着一个弹性挡板。现使木板A和物块B以的速度一起向右运动，木板碰撞弹性挡板后立即以碰前的速率反向弹回。已知物块与长木板的动摩擦因数为，重力加速度。 (1)求木板A与挡板第一次碰后向左运动的时间； (2)如果物块B始终不会从长木板A上滑落，求整个过程中物块B相对A运动的路程； (3)若长木板A的长度，求物块B从木板A上滑落之前木板A与挡板之间的碰撞次数。 【答案】(1)0.8s (2)4.8m (3)2次 【详解】（1）木板与挡板发生弹性碰撞，第一次碰撞后的速度大小仍为 设木板向左减速到速度为零的时间为，由动量定理得 代入数据解得 （2）木板A与挡板碰后，木板A与物块B组成的系统动量守恒，木板A质量小，先减速到零后又反向加速，系统达到共同速度时，共同速度比开始的初速度小，所以共速时一定还未与挡板碰，接着第二次与挡板碰撞，如此经过反复的多次碰撞共速最终系统会处于静止状态，整个过程中根据功能关系可得 代入数据解得 （3）木板A与挡板碰后，木板A与物块B组成的系统动量守恒，取水平向左为正方向，第一次碰撞后，系统达到共同速度为，物块B相对木板A运动距离为，则 解得 又 第二次碰撞后，系统达到共同速度为，物块B相对木板A运动距离为，则 解得 又 第三次碰撞后，系统达到共同速度为，物块B相对木板A运动距离为，则 解得 又 …… 第次碰撞后，系统达到共同速度为，物块B相对木板A运动距离为，则 解得 又 联立上述各式可得 即 解得次 10．（2025·河南·三模）如图所示，光滑的水平平台上劲度系数的水平轻质弹簧左端与竖直固定挡板相连，质量分别为、的木板、靠在一起并静止在水平地面上，且的长度，其左端与平台右端接触。质量的物块静止在的左端。在平台上用质量的物块向左缓慢压缩弹簧，当弹簧压缩量时，将由静止释放，脱离弹簧后滑上，若将与发生弹性正碰的时刻记为。时从的右端滑离。已知与、之间，以及与之间的动摩擦因数均为，与地面之间的动摩擦因数，与地面之间的摩擦不计，、上表面与平台平齐，、可视为质点且碰撞时间极短，弹簧在弹性限度内，取。求： (1)滑离平台时的速度大小； (2)、碰撞后瞬间的速度大小； (3)的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）弹簧弹力与脱离弹簧前的位移成正比，此段位移内弹力的平均值 根据动能定理有弹簧对做的功 解得滑离平台时的速度大小 （2）设滑上后，加速度大小为，由牛顿第二定律可知 解得 设刚滑上时，B、C、D整体的加速度大小为，有 解得 设滑上后，经时间与发生碰撞，有 解得或（舍去） 设此时的速度大小为，则 设此时B、C、D的速度大小为，则 设A、D碰撞后其速度分别为、，A与D弹性碰撞过程中，动量守恒有 机械能守恒有 解得或（舍去）， （3）滑上后，、的加速度大小依然为，设此时的加速度大小为，则 解得 时刻后，设经过时间A与C共速，设此时速度为，因时刻的速度大小为，故有 解得， 设此段时间内在上相对滑动的位移为，则 设、共速后，的加速度大小为，有 解得 、停下来所需时间为 、共速后，设又经历，滑下，则 易知此时未停止运动。设此段时间内在上滑动的位移为，则 则的长度 11．（2025·陕西榆林·模拟预测）超市购物车为顾客带来了极大的购物便利，若某小朋友将5辆购物车以等距d依次排列在一条直线上。已知每个购物车的与地面的动摩擦因数为μ，每辆车的质量为m。这个小朋友在第一辆购物车上施加了一个水平推力（恒力），使购物车依次与正前方的购物车发生碰撞，并推动他们一起向前运动。已知第二辆购物车与第三辆购物车碰撞后（碰撞时间极短），它们恰好一起做匀速直线运动，重力加速度为g，求： (1)水平推力F； (2)第一辆购物车的最大速度v1； (3)小朋友在推车过程中运动的最远距离x。 【答案】(1)F=3μmg (2) (3)4d 【详解】（1）由题意可知，小朋友推着三辆购物车一起匀速直线运动，根据受力平衡可知， （2）当第一辆车与第二辆车碰前，第一辆车的速度最大，第一辆车运动的加速度为 碰前的速度 （3）第一辆车与第二辆车碰撞后的速度为v1′，根据动量守恒可知 解得 第一次碰撞后两购物车的加速度为 第二次碰撞前的速度为v2，碰撞后的速度为v2′，则 则 可得 之后匀速运动，再与第四辆车发生第三次碰撞后的速度为v3′，则 可得 此后的加速度a4为 若再经过x的距离停止时 解得 刚好与第五辆车相撞，故小朋友推车的最远距离为4d。 12．（2025·四川绵阳·模拟预测）如下图，劲度系数为100N/m的轻弹簧一端固定在倾角足够长斜面的顶端，另一端拴接物块A，弹簧与斜面平行。物块B锁定在A上，点为弹簧原长位置，A与斜面间的动摩擦因数。A、B质量均为。不计厚度的挡板P固定在水平面上，P左侧的平面光滑，木板C长度，质量，紧挨着挡板P。木板C右端与足够长的固定平台间的距离。物块A、挡板P、木板C的上表面及平台等高。质量均为的个物块从左向右依次静置于平台上，相邻两物块间的距离均为，物块1位于平台的最左端。已知B与木板间的动摩擦因数，木板与水平面间的动摩擦因数，各物块与平台间的动摩擦因数均为。将弹簧压缩，使AB从斜面上距点处由静止释放，重力加速度，所有物块均可视为质点。AB释放后的运动过程中： (1)求AB物块下滑速度最大时离点的距离； (2)求A对B作用力的最大值； (3)调整斜面长度使AB物块速度最大时恰好到达斜面底端，此时撤去弹簧并解除AB间的锁定。A与挡板碰撞后物块B滑上木板C，木板C与平台碰撞后立即停止，物块B与物块1相碰后粘在一起，两物块继续运动，然后与物块2相碰，碰后三物块粘在一起继续运动……，所有碰撞时间极短。已知，不计物块由斜面到平面的能量损失。求物块B与前个物块碰后粘成的整体与物块碰撞前的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）AB物块下滑速度最大时 整理得 （2）AB物块一起下滑到最低点，即将要向上运动时，A对B的作用力最大，此时速度为零，设离开O点的距离。根据动能定理得 整理得 根据牛顿第二定律，对AB整体 对物块B有 且 则 整理得 （3）AB物块一起下滑的速度最大时，根据动能定理得 整理得 对物块B与木板的相互作用过程，对物块B由牛顿第二定律得 设经时间t，B与C共速有 物块B的速度为 规定方向为正方向，根据动量守恒定律得 与物块1相碰后 解得 对B与物块1整体，根据动能定理 与物块2相碰前 与物块2相碰，根据动量守恒定律得 与物块2相碰后 对B与物块1、2整体，根据动能定理 归纳得，与物块n碰前 与物块n碰撞前瞬间粘到一起的物块总动能 整理得 13．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图（a），光滑水平面上有一质量为的足够长木板，在上放置一质量为的小物块，与之间的动摩擦因数，右侧有一下端略高于长木板的固定挡板。时刻起，对B施加沿水平方向的力（未画出），和由静止开始运动。以水平向右为正方向，相对于的速度用表示，其中和分别为和相对水平面的速度。从到与挡板碰撞的过程，相对速度随时间变化的关系如图（b）所示。时刻，恰好与挡板发生碰撞，同时撤掉作用在木板上的力。已知与挡板的碰撞时间极短，且每一次碰撞后都以碰前速率的0.6倍反弹，运动过程中始终未脱离，重力加速度取。求： (1)时，B的速度大小； (2)内，作用在B上的水平拉力； (3)要使A不从B上滑下，B的最小长度。 【答案】(1)； (2)，方向水平向左； (3) 【详解】（1）时间内，、都匀加速，对根据牛顿第二定律 得 时，， 解得 （2）时共速， 此后开始减速 解得 对 得 即力的大小为，方向水平向左。 （3）由图像可知和、的相对运动路程， 对A：匀加速直线运动，匀减速直线运动，时，， A与挡板相碰后 此时撤掉上的水平外力，至共速，对系统   得 又   得 再一起匀速向右至与挡板发生第二次碰撞，碰后 至共速，对系统   得 又 得 从开始，相对路程成等比数列，公比 从开始得总相对运动路程 所以木板B的长度至少为（或） 14．（2025·福建泉州·模拟预测）如图甲所示，在光滑水平地面上有质量分别为、的两小物块、B，用细线连接并使中间的轻弹簧处于压缩状态（弹簧与两物块未拴接），弹簧的弹性势能为。轴间距为的水平传送带左端与水平地面平滑连接，传送带以的速度顺时针匀速转动。传送带右侧放置一个倾角为的足够长的固定斜面，小物块静置于距斜面顶端处。现将、间的细线烧断，与弹簧分离后冲上传送带，在传送带上运动后，从传送带右端水平飞出，恰好无碰撞地由斜面顶端滑入斜面，一段时间后与发生碰撞。时恰完成第一次碰撞，时刚要发生第二次碰撞，在内运动的图像如图乙所示（以沿斜面向下为正方向）。B、C每次碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短，不计空气阻力，与传送带间的动摩擦因数，物块均可看作质点，重力加速度，求： (1)B刚滑上传送带时的速度大小； (2)的质量以及与斜面间的动摩擦因数； (3)C沿斜面下滑的最大距离。 【答案】(1)1m/s (2)7kg， (3) 【详解】（1）对A、B及弹簧系统由动量及能量守恒定律得①， 由①②得 （2）若在传送带上一直加速，由 得 由 得 不合题意，故在传送带上先做匀加速直线运动再做匀速直线运动 B在斜面顶端有③ 由图像可知每次在斜面上向上减速过程和向下加速过程的加速度大小分别为 ， 在斜面上由顶端向下匀加速滑动过程中有④ 由③④式得 对、第一次碰撞过程有⑤⑥ 由⑤⑥得， 由图像得， 若在经过程后速度恰减为0，则由 得 故与再次碰撞时早已停止运动 与第一次碰后对有⑦， 则由⑦⑧得 （3）设第次与碰前的速度为，由⑤⑥相同的规律可知碰后、的速度大小分别为⑨ 第次碰后上升过程有⑩ 减速过程有⑪ 与第次碰撞前的速度应满足⑫ 由⑨~⑫式得 由⑨（11）式可知第次碰撞后的位移为 第次碰撞后的位移为 又第一次碰后的位移为 则每次碰后的位移为 沿斜面下滑的最大距离为 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图所示，水平桌面上点左侧固定有一弹簧，点右侧处静置一质量为的滑块长度。现用此弹簧来弹射一质量为的滑块D，弹簧储存的弹性势能，滑块D从点释放，获得弹簧储存的全部弹性势能后向右运动，到达点与滑块C发生弹性碰撞，碰撞后滑块C向右运动，到达桌面边缘点。长度，滑块C、D与桌面间的动摩擦因数均为。滑块C运动到点后做平抛运动，通过固定在光滑水平地面上的光滑圆弧装置无机械能损失地滑上静止在地面上的长木板，经过一段时间，长木板右端与固定挡板（宽度忽略不计）碰撞并粘连。长木板质量，板长，板右端到挡板的水平距离为（其中）。滑块C与长木板间的动摩擦因数也为，挡板和长木板等高，桌面右端点距长木板上表面的高度，不计空气阻力，滑块都可看作质点，重力加速度大小为。 (1)求滑块D与滑块C碰撞前瞬间的速度大小； (2)求滑块C到达点时的动能； (3)讨论滑块C从滑上长木板到离开长木板右端的过程中，克服摩擦力做的功与的关系。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）滑块碰撞前瞬间，根据动能定理有 由功能关系有 解得； （2）滑块与发生弹性碰撞，设碰后瞬间的速度为，的速度为，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得 对滑块从到的运动过程，由动能定理有 解得； （3）设滑块到达时的速度为，对滑块从到的运动过程，以水平地面为重力势能的零参考面，由机械能守恒定律有 得 设长木板与滑块达到共同速度时，位移分别为、 由动量守恒定律有 得 由动能定理对长木板有 对滑块有 联立解得 滑块相对长木板的位移，即滑块与长木板达到共同速度时，滑块未离开长木板 ①若，则当长木板与挡板碰撞时，滑块尚未与长木板达到共速，之后滑块速度要减为零，要滑行 有 得 则有，即滑块从长木板滑离时速度不为零 有 解得 ②若，由前面分析知，长木板与挡板碰撞之前，滑块与长木板已经达到共同速度，当长木板与挡板碰撞时，长木板速度减为零，滑块继续向前滑行，因，滑块从长木板滑离时速度不为零，有 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $