第四章数列期末通关训练题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章数列期末通关训练题 一、单选题 1．已知两个等差数列，的首项分别为1和2，且，则数列的前20项的和为（   ） A．165 B．630 C．60 D．330 2．在等差数列中，若，则（   ） A．24 B．28 C．32 D．36 3．已知数列中，且，则（ ） A． B．2 C． D． 4．已知数列满足：，，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．数列满足，且，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．设等比数列的前n项和为，且满足，，若，则数列的前10项和是（   ） A． B． C．25 D．35 7．已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 8．已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列的前项和，则（    ） A． B．前项和为 C． D． 10．已知数列满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的前项和 D．的前项和 11．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．数列的前20项的和为250 三、填空题 12．已知数列的前n项和为，则数列的前n项和为 ． 13．已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 14．已知数列的前项和为，且，则 ． 四、解答题 15．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 16．设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 18．已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 19．在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而求出，结合等差数列前项和公式计算即可求解. 【详解】设等差数列的公差分别为， 由，，得， 解得，所以， 所以前项和为 . 故选：B 2．D 【分析】根据给定条件，利用等差数列的通项公式列式化简求解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 则，所以. 故选：D. 3．A 【分析】根据题意，推得，得到数列是周期为的数列，结合，即可求解. 【详解】由题意知，数列满足且， 则， 所以数列是周期为的数列，则. 故选：A. 4．D 【分析】利用分段数列的特点，将代入，求出的项判断奇偶后继续代入即可求出. 【详解】数列满足：，， 则，所以， 则，所以， 则，所以， ，所以. 故选：D. 5．B 【分析】变形已知条件得：，由递推公式分析可得答案. 【详解】法一：由已知，则，则， 则，归纳可得，所以. 法二：由题可得，，即，所以是常数数列， ，即，所以. 故选：B. 6．C 【分析】根据等比数列通项公式及等比数列前n项和公式基本量运算得出，再应用等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为q，由题意易知， 则解得 所以，所以， 所以数列的前10项和． 故选：C． 7．B 【分析】由题意可得是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可, 【详解】由可得， 所以，则是公比为的等比数列， 所以，所以. 故选：B. 8．B 【分析】由，分为偶数和奇数讨论，当为偶数时，可得，当为奇数时，可得，结合条件分析得解. 【详解】因为， 当为偶数时，， 且时，； 当为奇数时，， 且时，； 由对任意，， 故当为偶数时，；当为奇数时，， 则实数只能为1. 故选：B. 9．ABD 【分析】利用给定的前项和求通项判断AC；利用分组求和法求解判断B；利用裂项相消法求和判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，数列前项和为0，则前项和为，B正确； 对于C，当时，，而不满足上式，C错误； 对于D，当时，， 因此 ，D正确. 故选：ABD 10．BCD 【分析】运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题. 【详解】由题可得，可构造为， 又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列. ，得. 对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误； 对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确； 对于C：，其前项和.故C正确； 对于D：设. 又注意到，. 因此 因此的前项和 .故D正确. 故选：BCD. 11．ACD 【分析】由和的关系可得，进而可得，将代入可得，计算可判断ABC，求得，分和求解即可判断D. 【详解】已知数列的前项和为，且满足 时，，， 时，， 由得， 化简得， 两边同除以，得， 因此，数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 代入得 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：数列中，所以， 令，得，则前项和需分和讨论： 当时，，则前5项和为； 当时，，则前项和为： ，故D正确. 故选：ACD 12．/ 【分析】先求出数列的通项公式，再用裂项相消求和即可. 【详解】由题意知，，时，， 则时，， 两式相减得，可得， 又也满足上式， 故. 则 所以 ． 故答案为：. 13．9 【分析】根据等差数列的性质推出，，即可得解. 【详解】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 14． 【分析】根据，可求出的通项公式. 【详解】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， 故. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系推导出满足的关系式，再据此求解即可； （2）解法一：求出的通项表达式，结合错位相减法即可求解；解法二：对进行裂项，即，再直接求和相加即可． 【详解】（1）因为，当时，，∴， 当时，， ∴，即， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列， 故． （2）解法一：， 故， 所以， 错位相减得 ， 故． 解法二：∵， ∴． 17．(1)； (2) 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 18．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用与的关系求解，即当时，，将式子中的换成，计算出的值；当时，，将式子中的换成，计算得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，继而得到，将代入求出； （2）求出，设，求出，利用裂项相消法求和，放缩法得到证明. 【详解】（1）， 当时，，，，，， 当时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立，； （2），，， 设，，，， . 19．(1)； (2). 【分析】（1）将变形为，即可得通项公式；（2）首先去绝对值给出的表达式，再进行求和即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 又，故， 所以. （2）由（1）知，所以. 设，的前项和为，其中， 故. 当时，，当时，， 所以，当时，； 当时，. 综上，. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $