2025-2026学年高三上学期期末数学模拟试卷（适用于江苏省南京市）

2025-2026学年高三上学期期末数学模拟试卷（适用于江苏省南京市） 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．已知全集U＝{a、b、c、d、e、f、g、h}，A＝{c、d、e}，B＝{a、c、f}，那么集合{b、g、h}＝（　　） A．A∪B B．A∩B C．（∁uA）∪（∁uB） D．（∁uA）∩（∁uB） 2．若＝（x，1），＝（2，x﹣1），则“x＝2”是“∥”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在△ABC中，AB＝7，BC＝3，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 4．已知i是虚数单位，，复数，共轭，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f（x）＝x3+4x2+9x﹣1的极值点，则a5＝（　　） A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3 6．设f（x）＝2x+x﹣8，用二分法求方程2x+x﹣8＝0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（　　） A．[1，2]或[2，3]都可以 B．[2，3] C．[1，2] D．不能确定 7．一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件A＝“两次向上的数字都为3”，B＝“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（　　） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互斥 C． D．P（AB）＝ 8．已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M（﹣1，﹣1）满足，则|AB|＝（　　） A． B． C．5 D．6 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分） （多选）9．等差数列{an}中，S6＜S7，S7＞S8，则下列命题中为真命题的是（　　） A．公差d＜0 B．S9＜S6 C．a7是各项中最大的项 D．S7是Sn中最大的值 （多选）10．已知函数（e为自然对数的底数），则（　　） A．函数f（x）的定义域为（﹣1，1） B．函数f（x）是增函数 C．函数f（x）是奇函数 D．若f（4x﹣2x+1）＜1，则x＜1 （多选）11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用．双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，，点M的坐标为（1，0），则下列结论正确的是（　　） A．双曲线C的离心率为2 B．若从F2射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C．∠F1AM＝∠F2AM D．过双曲线左支上B点作双曲线的切线交x轴于，则 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．已知角α终边上一点P（﹣4，3），则的值为 　 　 ． 13．有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为 　 　 ． 14．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，⋯记这个数列前n项和为S（n），则S（31）＝　 　 ． 四．解答题（共5小题，共77分） 15．已知函数f（x）＝sinxcos（x+）+cos2x． （1）求f（x）在[0，]上的最值； （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（）＝1，a＝2，△ABC的面积为，求sinB+sinC的值． 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，∠ABC＝∠BAD＝90°． （1）求证：CD⊥平面PAC； （2）设E为棱PD上一点，若平面ABC与平面EAC的夹角的正弦值为，求． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N．证明：直线MN与x轴垂直． 18．已知函数f（x）＝． （1）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值； （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）若函数y＝f（x）+（a+1）x的最小值为0，求a的值． 19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+2n﹣6． （1）证明：{an﹣1}是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）记，记数列{bn}的前n项和为Tn． ①求T2n；②对∀n∈N*，都有λ≤Tn成立，求λ的取值范围． 答案 一．选择题（共8小题） 1．已知全集U＝{a、b、c、d、e、f、g、h}，A＝{c、d、e}，B＝{a、c、f}，那么集合{b、g、h}＝（　　） A．A∪B B．A∩B C．（∁uA）∪（∁uB） D．（∁uA）∩（∁uB） 【解答】解：如图{b、g、h}＝（∁uA）∩（∁uB） 故选：D． 2．若＝（x，1），＝（2，x﹣1），则“x＝2”是“∥”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：若x＝2，则＝（2，1），＝（2，1）， 所以， 所以由“x＝2”可以推出“∥”， 若，则＝， 所以（x，1）＝λ（2，x﹣1）， 即， 解得或， 所以由“∥”推不出“x＝2”， 所以“x＝2”是“∥”的充分不必要条件． 故选：A． 3．在△ABC中，AB＝7，BC＝3，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】解：在△ABC中，因为AB＝7，BC＝3，， 由余弦定理可得，AB2＝CA2+CB2﹣2CA•CB•cosC， 即，所以CA2+3CA﹣40＝0， 解得，CA＝5或﹣8（舍去）， 所以． 故选：A． 4．已知i是虚数单位，，复数，共轭，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】对A，，，故，错误； 对B，，，故B错误； 对C，虚数不能比较大小，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：D 5．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f（x）＝x3+4x2+9x﹣1的极值点，则a5＝（　　） A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3 【解答】解：函数f（x）＝x3+4x2+9x﹣1，求导得f′（x）＝x2+8x+9， Δ＝64﹣36＝28＞0，则f′（x）＝0存在两根x1，x2， 不妨设x1＜x2，则由f′（x）＞0得，x＜x1或x＞x2；f′（x）＜0得，x1＜x＜x2， 所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减， 所以x＝x1为函数的极大值点，x＝x2为函数的极小值点， 又a3，a7是函数f（x）的极值点，所以a3，a7是方程f′（x）＝x2+8x+9＝0的两个根， 所以a3+a7＝﹣8，a3a7＝9， 又因为{an}为等比数列， 所以，则a5＝±3， 由a3+a7＝﹣8＜0，且a3a7＝9＞0，可知a3＜0，a7＜0， 在等比数列中，奇数项的符号相同，所以a5＜0，因此a5＝﹣3． 故选：D． 6．设f（x）＝2x+x﹣8，用二分法求方程2x+x﹣8＝0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（　　） A．[1，2]或[2，3]都可以 B．[2，3] C．[1，2] D．不能确定 【解答】解：因为f（1）＝2+1﹣8＝﹣5＜0，f（5）＝32+5﹣8＝29＞0，f（3）＝8+3﹣8＝3＞0， 所以f（1）•f（3）＜0， 所以函数f（x）的零点落在区间[1，3]内， 又因为f（2）＝4+2﹣8＝﹣2＜0， 所以f（2）•f（3）＜0， 所以函数f（x）的零点落在区间[2，3]内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为[2，3]． 故选：B． 7．一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件A＝“两次向上的数字都为3”，B＝“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（　　） A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互斥 C． D．P（AB）＝ 【解答】解：根据题意，设样本空间为Ω，则n（Ω）＝6×6＝36， 事件A＝{（3，3）}，B＝{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}， 依次分析选项： 对于A，易得A⊆B，P（A）＝，P（B）＝，则P（AB）＝P（A）＝， 由于P（AB）≠P（A）P（B），则事件A、B不相互独立，A错误； 对于B，P（AB）＝P（A）＝，事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选C：因为n（B）＝5，所以，故C错误； 对于D：因为n（AB）＝n（A）＝1，所以，故D正确． 故选：D． 8．已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M（﹣1，﹣1）满足，则|AB|＝（　　） A． B． C．5 D．6 【解答】解：由题意知，抛物线C的准线为x＝﹣1，即，得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F（1，0）． 因为直线l过抛物线的焦点F（1，0），所以直线l的方程为y＝k（x﹣1）． 因为，所以M在以AB为直径的圆上． 设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组两式相减可得． 设AB的中点为Q（x0，y0），则．因为点Q（x0，y0）在直线l上， 所以，所以点是以AB为直径的圆的圆心． 由抛物线的定义知，圆Q的半径， 因为，所以，解得k＝﹣2， 所以弦长． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．等差数列{an}中，S6＜S7，S7＞S8，则下列命题中为真命题的是（　　） A．公差d＜0 B．S9＜S6 C．a7是各项中最大的项 D．S7是Sn中最大的值 【解答】解：∵数列{an}为等差数列，又S6＜S7，S7＞S8， ∴a7＝S7﹣S6＞0，a8＝S8﹣S7＜0， ∴等差数列{an}是一个单调递减的数列， ∴公差d＜0，∴A选项正确； 又S9﹣S6＝a7+a8+a9＝3a8＜0，∴S9＜S6，∴B选项正确； ∵等差数列{an}是一个单调递减的数列， ∴a1是各项中最大的项，∴C选项错误； ∵等差数列{an}中a7＞0，a8＜0， ∴S7是Sn中最大的值，∴D选项正确． 故选：ABD． （多选）10．已知函数（e为自然对数的底数），则（　　） A．函数f（x）的定义域为（﹣1，1） B．函数f（x）是增函数 C．函数f（x）是奇函数 D．若f（4x﹣2x+1）＜1，则x＜1 【解答】解：＝sinx+1+ln， 令＞0，得﹣1＜x＜1， ∴f（x）的定义域为（﹣1，1），A正确； ∵y＝＝﹣1﹣在（﹣1，1）上单调递增，y＝sinx在（﹣1，1）上单调递增， ∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增，B正确； ∵f（﹣x）+f（x）＝sin（﹣x）+1+ln+sinx+1+ln＝2≠0， ∴函数f（x）不是奇函数，C错误； 令x＝0，40﹣20+1＝1﹣2＝﹣1∉（﹣1，1），故f（4x﹣2x+1）＜1的解不是x＜1，D错误． 故选：AB． （多选）11．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用．双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，，点M的坐标为（1，0），则下列结论正确的是（　　） A．双曲线C的离心率为2 B．若从F2射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C．∠F1AM＝∠F2AM D．过双曲线左支上B点作双曲线的切线交x轴于，则 【解答】解：对于A，双曲线，焦点在x轴， 则，， 所以双曲线C的离心率，故A错误； 对于B，如图，反射光PQ所在直线为直线PF1， 根据双曲线的性质可知直线PF1斜率介于两条渐近线斜率之间， 又渐近线斜率， 所以反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意得F1（﹣3，0），F2（3，0），又，M（1，0）， 则，，直线AF2的斜率不存在， 所以，AF2⊥F1F2， 所以，又， 所以，故C正确； 对于D，由题意知，切线斜率不为零，可设方程为， 联立，化简得（4m2﹣2）y2﹣4my﹣11＝0， 则Δ＝16m2+44（4m2﹣2）＝0，解得， 即切点B的纵坐标， 所以， 解得：，又点B在左支上，所以xB＝﹣6， 所以，故D错误． 故选：BC． 三．填空题（共3小题） 12．已知角α终边上一点P（﹣4，3），则的值为 　　 ． 【解答】解：角α终边上一点P（﹣4，3），∴， 则原式＝． 故答案为：． 13．有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为 　．　 ． 【解答】解：根据题意可作出示意图如下： 则，解得． 故答案为：． 14．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，⋯记这个数列前n项和为S（n），则S（31）＝　951　 ． 【解答】解：由“杨辉三角”性质，得： ＝ ＝ ＝＝136+816﹣1＝951． 故答案为：951． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝sinxcos（x+）+cos2x． （1）求f（x）在[0，]上的最值； （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（）＝1，a＝2，△ABC的面积为，求sinB+sinC的值． 【解答】解：（1）f（x）＝sinxcos（x+）+cos2x， ＝sinx（）+cos2x ＝2× ＝﹣ ＝， ＝， 由x∈[0，]得， 故sin（2x+）∈[]，f（x）∈[]， 即函数f（x）的最大值，最小值； （2）f（）＝+＝1， 所以sin（A+）＝， 由A为三角形内角得， 故A＝， 因为a＝2，△ABC的面积S＝＝＝， 所以bc＝4， 由余弦定理得b2+c2﹣a2＝bc， 故b2+c2﹣12＝4， 所以， 解得b+c＝2， 由正弦定理得＝＝4， 故b＝4sinB，c＝4sinC， sinB+sinC＝＝． 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，∠ABC＝∠BAD＝90°． （1）求证：CD⊥平面PAC； （2）设E为棱PD上一点，若平面ABC与平面EAC的夹角的正弦值为，求． 【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD， 因为AB＝BC＝1，∠ABC＝90°， 所以，∠BAC＝45°，因为∠BAD＝90°，所以∠CAD＝45°， 因为AD＝2，所以， 所以CD2+AC2＝AD2，所以CD⊥AC， 因为AC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A， 所以CD⊥平面PAC． （2）因为PA⊥平面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD， 所以PA⊥AD，PA⊥AB，因为∠BAD＝90°， 所以AB⊥AD， 所以AB，AD，AP三线两两垂直， 如图所示，分别AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，1，0），所以，． 设，则，， 设平面EAC的法向量为， 则，所以， 令x＝t，则＝（t，﹣t，2﹣2t）， 由题易知是平面ABC的一个法向量， 所以， 解得， 所以，即． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N．证明：直线MN与x轴垂直． 【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c， 由题意可得e＝＝＝，即b＝a， 由短轴长为2，可得b＝1，a＝2， 所以椭圆的方程为+y2＝1； （2）证明：由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），D（0，﹣1）， 设P（s，t），则s2+4t2＝4， 由可得xM＝＝， 由可得xN＝＝， 由xM﹣xN＝﹣， 上式化后的分子为2（s+2+2t）（s﹣2+2t）﹣2（s+2﹣2t）（﹣s+2+2t） ＝2（s2+4st+4t2﹣4+s2+4t2﹣4st﹣4）＝2（2s2+8t2﹣8）＝2（8﹣8）＝0， 所以M，N的横坐标相等，故直线MN与x轴垂直． 18．已知函数f（x）＝． （1）若a＝﹣1，求函数f（x）的极值； （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）若函数y＝f（x）+（a+1）x的最小值为0，求a的值． 【解答】解：（1）当a＝﹣1时，，， 当f′（x）＝0，解得x＝1（负值舍去）， 当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0， 因此当x＝1时函数有极小值，极小值为f（1）＝． （2） 若a≤0，则x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 若0＜a＜1，则x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（a，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 若a＝1，则x∈（0，+∞）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增； 若a＞1，则x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， x∈（1，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． （3）令，，（x＞0）， 当a≥0时，h′（x）≥0，故无最小值， 所以a＜0，由， 所以时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（y﹣a，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增单增， 所以，所以ln（﹣a）＝1，a＝﹣e． 19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+2n﹣6． （1）证明：{an﹣1}是等比数列，并求{an}的通项公式； （2）记，记数列{bn}的前n项和为Tn． ①求T2n；②对∀n∈N*，都有λ≤Tn成立，求λ的取值范围． 【解答】解：（1）证明：在数列{an}中，2Sn＝3an+2n﹣6， 可得n＝1时，2a1＝2S1＝3a1+2﹣6，即a1＝4， 当n≥2时，由2Sn＝3an+2n﹣6， 可得2Sn﹣1＝3an﹣1+2（n﹣1）﹣6， 两式相减得2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝3an﹣3an﹣1+2， 整理得an＝3an﹣1﹣2，即an﹣1＝3（an﹣1﹣1）， 而a1﹣1＝3， 所以数列{an﹣1}是首项和公比均为3的等比数列； 可得，； （2）①由（1）知，，， 所以T2n＝﹣（+）+（+）+...﹣（+）+（+） ＝． ②由①知，，， ， 由数列单调递增，得，因此， 由对∀n∈N*，λ≤Tn，得， 所以λ的取值范围是． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $