第五章 分式与分式方程 课前导学-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

第五章分式与分式方程 第五章 分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时 分式的认识 [答案P52] 知识要点 对点训练 知识点①分式的概念 1.下列式子，哪些是整式，哪些是分式？ (1)一般地，用A,B表示两个整式，A÷B可以表 m'y,2,3y2,a+,15-4 -3x,-,x12 y’2-x7, 示成合的形式如果B中含有回 0,-6,x-1a2 那么称合为见 x’a ,其中A称为分式的 3 ,B称为分式的④ .对于 任意一个分式，分母都不能为⑤ (2)一个式子是分式，需要满足的三个条件： ①是形如名的式子； ②A,B为⑥ ③分母B中含有☑ 知识点2分式有（无）意义的条件 (1)分式有意义的条件：分式的分母8 0. 2若要使本有意义，则x的取值范围是 (2)分式无意义的条件：分式的分母⑨ 0. 使+3无意义，则x的取值范 ;若要使七+2 围是 知识点③分式的值及分式值为0的条件 3.当x为何值时，下列分式的值为0？ (1)当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值 (1)+2 为⑩ 2)-7,( x-1 (2)分式的值是在分式有意义的条件下才可以 考虑的，所以使分式 的值为0的条件是 回 且2 二者缺一不可. 知识点④列分式 4.列式表示下列各量： 列式表示下列各量： 若小王每小时能做x个零件，则他4小时能做 若一辆汽车bh行驶了akm,则它的平均速度为 个零件，做40个零件需 13 km/h;一列火车行驶akm比这辆汽 小时. 车少用1h,则它的平均速度为4 km/h. -31 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第2课时分式的基本性质及约分 [答案P52] 知识要点 对点训练之 知识点①分式的基本性质 1.利用分式的基本性质填空： (1)分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 ）(x≠0)； 回 的整式，分式的值2 2c (2)用式子表示： (2)8a2c 12a2b() =圆 b =④ (m≠0). a e (3)+=(、) ab a2b i (3)速记口决： 分式变形用性质，变形上下要同时； (4)2+=x+y x2（) 分子分母同乘除，相同整式且非零. 知识点2分式的约分及最简分式 2.约分： 1.分式的约分 (1)根据分式的基本性质，把一个分式的分子 和分母的固 约去，这种变形称为 ,- 分式的约分.约分的关键是确定分子与分 母的公因式。 (3)3(x+2=()】 x(x+y) (2)约分的一般方法： ①当分式的分子与分母都是单项式时，可 直接约分； ②当分式的分子或分母是多项式时，应先 3.把下列分式化为最简分式： 进行因式分解，再约分； (1)6mn 29 (2)4 3mn xy+2y ③约分是对分子、分母的整体进行的，也 就是分子的整体和分母的整体都除以 同一个因式 2.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，称为最简 分式.化简分式时，通常要使结果成为最简分 式或者整式 32 第五章分式与分式方程 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 [答案P52] 知识要点 对点训练 知识点①分式的乘法 1.计算： (1)分式的乘法法则：两个分式相乘，把工 (1)3a.462 8be5a2i (2)a+2 1 相乘的积作为积的分子，把② a-2 a2+2a 相乘的积作为积的分母 (2)用武子表示为2.4=固 a c (3)进行分式的乘法运算时，如果分式的分子 分母是多项式，那么要把分子、分母分别作 为一个整体放到括号里参与运算. 知识点2分式的乘方 2.计算： 分式的乘方法则：一般地，当是正整数时， 32 n个 a·a·…a_a" b·b·…·bb1 n个不 n个 即（会）”=国 这就是说，分式的乘方要 39 把分子、分母分别⑤ 知识点③分式的除法 3.计算： (1)分式的除法法则：两个分式相除，把除式的 2-1，片(x+1) 6 和☑ 颠倒位置后再与 (2)2-2x+1 被除式相乘， 2)用式子表示为名+是=名·音-回 (3)进行分式的除法运算时，如果除式是整式， 那么可把它化为分母为1的形式，然后转化 为乘法运算 知识点④分式的乘方、乘除混合运算 4.对于a÷b· 6,小明是这样计算的：a÷b· h (1)先乘方，再乘除，同级运算按从左到右的顺 序依次进行。 =a÷1=a.他的计算过程正确吗？为什么？ (2)分式的运算与分数的运算一样，结果必须是 最简形式. (3)结果中分子或分母的系数是负数时，一般要 把“-”提到分式的前面. 33 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第2课时 同分母分式的加减 [答案P52] 知识要点 对点训练 知识点①同分母分式的加减 1.计算： (1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相 (1)m 1 ）m+i+m+i 回 用式子表示为。±二☑ a (2)3+2= (2)若分子是多项式，则添加括号后再相3 (3)y-x x-yx-y (3)同分母分式相加减的一般步骤： (4)2 *6 x+3x+3 ①分母不变，把分子相加减，若分子是多项 式，则添加括号后相加减； (5)x2 x+y x+y ②分子去括号，合并同类项； ③把结果化成最简分式或整式 知识点2分母互为相反数的分式的加减 2.计算： (1)先用转化的思想将分母互为相反数的分式 (1)x+y=x 加减运算转化成同分母分式的加减运算，再 x-y y-x x-y 进行计算. (2)举例：+=1 1 1 (2)a a=at x-y y-x x-y 第3课时 异分母分式的加减 [答案P52] 知识要点 对点训练 知识点①通分与最简公分母 1(1)分式站和 的最简公分母是 (1)根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为 回 的分式，这一过程称为分式的通分 分为 (2)几个分式通分时，通常取各分母系数的最小 (②)分式是和的是简公分号是 通 公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公 分为 分母，它叫作2 (3)通分的一般步骤： (8)分试2和 +2的最简公分母是 ①求各分式的最简公分母； 通分为 ②用这个最简公分母分别除以各分式的分母； 的最简公分母是 ③分别用所得的商去乘各分式的分子、分 母，此时分母化为最简公分母。 通分为 注意：如果分母是多项式，一般应先因式分 解，再确定最简公分母。 34 第五章分式与分式方程 知识点②异分母分式的加减 2.计算： (1)异分母的分式相加减，先3 ,化为 (1)3 +a-15」 同分母的分式，然后再按同分母分式的加减 a 5a 法法则进行计算， 2)1-1= a-6 用武子表示为2±4=e±叫-④ a c ac ac (3)2+2+1-龙 x2-1x-19 (2)当分子与分母有公因式时，一般先⑤ 再6 (4)1.1 x-1x+1 (3)异分母分式相加减的一般步骤： ①找出各分式的最简公分母，将各分式进行 (5)1+y x+y 通分，化为同分母分式； ②按同分母分式相加减的一般步骤进行 计算 知识点③利用分式运算解决实际问题 3.五一黄金周，学人中学选拔一批优秀学生去千 艘轮船顺流航行20km从甲地到达乙地， 山旅行.已知学人中学到千山的距离是skm, 然后又返回甲地，已知水流速度为每小时2km, 旅游车从学校按vkm/h的速度行驶，可按规 轮船在静水中的速度为每小时xkm,则从甲地 定时间到达千山，为了让同学们到山顶看日 到乙地所用时间比返回时所用时间少多少小时？ 出，旅游车每小时需多行驶akm,问：同学们 可提前多长时间到达？ -35 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第4课时 分式的混合运算 [答案P53] 知识要点 对点训练 知识点①分式的混合运算 1.计算： (1)①式与数有相同的混合运算顺序： 先① ,再2 ,然后3 3x y 3 ,有括号要先算④ ②同级运算按从左到右的顺序依次进行； ③在运算过程中，可灵活运用交换律、结合 律、分配律. (2)要注意各分式中的分子、分母的符号的处 .a+2b 理.结果中分子或分母的系数是负数时，一 般要把分子或分母本身的“-”提到分式的 5 (3)分式的运算与分数的运算一样，结果必须是 最简形式 知识点2分式的化简求值 分式的化简求值的解题思路： 2先化简，再求值：24÷(2小，其中 (1)解决分式求值问题时，关键是利用分式的运 a=3. 算法则进行化简； (2)化简过程中可以按运算顺序进行，也可以适 当运用运算律简化计算； (3)在取字母的值代入计算时，要注意所取字母 的值要使所有分式有意义， 3 分式方程 第1课时 分式方程的概念 [答案P53] 知识要点 对点训练 知识点①分式方程的概念 1.下列关于x的方程： (1)概念：工 中含有未知数的方程叫作 ②t 分式方程 =0： (2)分式方程的重要特征： ③a2=6+1: ④+L-1-x ①是方程；②分母中含有未知数 3 二者缺一不可. 5900=15000 (3)分式方程和整式方程的区别就在于分母中 x+3 其中， 是整式方程， 是 是否含有未知数，如日1和1,2都 分式方程.（请填写序号） 是分式方程，而方程x-2x+1=0和号= x1都是整式方程，不是分式方程。 -36— 第五章分式与分式方程) 知识点②列分式方程 2.甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地 列分式方程的一般步骤： 到乙地比乘特快列车少用9h.已知高铁列车 (1)审：即审题，根据题意找出已知量和未知量， 的平均行驶速度是特快列车的2.8倍 并找出等量关系； (1)你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ (2)设：即设未知数，用含未知数的代数式表示 (2)如果设特快列车的平均行驶速度为 相关量； xkm/h,那么x满足怎样的方程？ (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程， (3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 yh,那么y满足怎样的方程？ 第2课时 分式方程的解法 [答案P53] 知识要点之 对点训练立 知识点①分式方程的解法 1.(1)方程3 1 解分式方程的方法和步骤 2x+的解为 (1)解分式方程的基本思路： B.s=-2 分式方图臣式方恩 →解整式方程 C.x=-2 D.无解 (2)解分式方程的一般步骤： （2)解方程222=0 去分母一→解整式方程一检验 回答原分式 方程有无解 知识点2分式方程的增根 2.(1)若方程产3-2=”3有增根，则m的值 (1)根据分式方程有增根，求字母参数的值的 般步骤： 为 A.-3 B.3 ①把分式方程化为整式方程； C.0 D.以上都不对 ②令最简公分母为0，求出未知数的值： ③把未知数的值代入整式方程，求字母参数 (2)若关于x的分式方程-}1在实数花围 的值 内无解，则实数a的值为 (2)根据分式方程无解，求字母参数的值的一般 方法： 去分母得到的整式方程无解 分两种情况讨论， 去分母得到的整式方程的解 是原分式方程的增根 -37 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第3课时 分式方程的应用 [答案P53] 知识要点 ￥ 对点训练 知识点○分式方程的应用 1.为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进 1.列分式方程常用的等量关系 A,B两种机器，A型机器比B型机器每天多处 (1)工程问题： 理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用 工作量=工作效率×工作时间； 天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相 工作总量(“1”)=各部分工作量之和 等.问：B型机器每天处理多少吨垃圾？ (2)利润问题： 利润=售价-进价； 利润本-翠 ×100%; 总利润=单件的利润×销售的数量 (3)行程问题：路程=速度×时间 (4)储蓄问题：本息和=本金+利息. 2.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题，根据题意找出已知量和未知 量，并找出等量关系； (2)设：即设未知数，用含未知数的代数式表 2.某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了 示相关量； A,B两种型号的机器人模型.A型机器人模型 (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式 的单价比B型机器人模型的单价多200元，用 方程； 2000元购买A型机器人模型和用1200元购 (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数 买B型机器人模型的数量相同.求A型机器 的值； 人模型的单价. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值 是否适合分式方程，也要检验此解是否符 合实际意义； (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整 -38全程导练·数学·北师版·八年级·下册 (3)a(x+y)(x-y) 4.獬：原式=3(4x2-y2)=3(2x+y）(2x-y). 5.D 第2课时运用完全平方公式因式分解 知识要点 四完全平方式2分解因式3(a+b)2④(a-b)2 ⑤平方 对点训练 1.D2.C 3.解：(1)(m-8)2.(2)(2x+1)2. 4.解：(1)2(a-1)2.(2)-y(2x-y)2. 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式的认识 知识要点 四字母②分式③分子④分母⑤零⑥整式 ⑦字母⑧不等于⑨等于00回4=02B≠0 国；四，“ 对点训练 1解整式有-3，日2号，50，-6 分式有产+产2：1， y'2-x’x’a 2.x≠-1x=-3 3.解：(1)x=-2.(2)x=-7. (3)没有使分式的值为0的x值. 4.4x 40 第2课时分式的基本性质及约分 知识要点 ①不等于零②不变B:m④m⑤公因式 a.m a÷m 对点训练 1.(1)2x2(2)3b(3)a2+ab(4)x 2.(1)3x3xx(2)14x(3)3 .5 (4)x-1x-1y 3.解：(1)原式=3mn·2m=2m 3mn·nn (2)原式=（x+2)(x-2)=x-2 y(x+2) 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 知识要点 ①分子区分母3处④%5乘方⑥分子 ac 回分母国船 对点训练 1.解：(1)原式=3a·462-36 8bc 5a2-10ac (2)原式= a+2 1 (a-2)·a(a+2)a2-2a ）25(2)2a24a 2.(1)9 3o253)6-9 a2b2 3.解：(1)原式=6ab.bc_26 c2 3a2 ac （2)原武=女 4.解：不正确.因为运算顺序错误，应该按从左到右的顺 1 序进行.正确的是a÷6·方=a· 1.1=8 bb-621 第2课时同分母分式的加减 知识要点 工加减[ 的±e 3加减 a 对点训练 1.(1)1(2)5 a (3)-1(4)2(5)x-y 2.(1)'1(2)a2a x-Y x-Y x-Y 第3课时异分母分式的加减 知识要点 ①同分母②最简公分母B通分④c±ad ac 5约分⑥通分 知识点3 解：根据题意，得20-20-20(x+2)-20(x-2) x-2x+2 (x+2)(x-2) 80 (x+20x-2)小时). 答：从甲地到乙地所用时间比返回时所用时间少 80 (x+2)(x-2)小时. 对点训练 1(6y高品a12品器 6xy'6xy (3)(x-2)(x+2) x+2 x-2 (x-2)(x+2)'(x-2)(x+2) 1 (4)x(x+1) x(x+1)'x(x+1) 2(片(2品(6)(42 ab (5)+2 x+y 3.解：根据题意，得3-；=s(v+a) vv+av(v+a）v(v+a) 4a小时). 答：同学们可提前，(。中。小时到达 第4课时分式的混合运算 知识要点 工乘方②乘除3加减④括号里面的⑤前面 对点训练 1.解：(1)原式=0.(2)原式= a atb 2a 2a 2.解：原式=(a+2)a-2)a2 2a (a+2)(a-2)2a=a13. 当a=3时，原武=32行 3分式方程 第1课时分式方程的概念 知识要点 工分母 对点训练 1.②③④⑥①⑤ -5 参考答案卫 2.解：(1)等量关系有：①乘高铁列车所用的时间+9h =乘特快列车所用的时间；②高铁列车的平均速度= 2.8×特快列车的平均速度. (22 2+9=1400 (3)1400=2.8×1400 y y+9 第2课时分式方程的解法 对点训练 1.(1)B(2)解：x=6. 2.(1)B(2)1 第3课时分式方程的应用 对点训练 1.解：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天 处理(x+40)吨垃圾. 根据题意，得500=300 x+40=x’ 解得x=60, 经检验，x=60是原方程的根， 答：B型机器每天处理60吨垃圾. 2.解：设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人 模型的单价是(x-200)元 根据题意，得2000-1200 xx-200' 解得x=500, 经检验，x=500是原方程的根， 答：A型机器人模型的单价是500元. 第六章平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边和角的性质 知识要点 □平行②口3口ABCD④中心对称⑤对角线 6相等TCD⑧BC⑨∠DCAO∠CAD▣CD 2BC3相等4BC固CD6180°7180° 8∠BCD四∠D 对点训练 1.CDBC平行四边形 2.C3.(1)4722(2)5 4.(1)155°25°155°(2)D 第2课时平行四边形对角线的性质及梯形 知识要点 ①I互相平分2BC3BC④∠BCO⑤LCBO