第五章 3 第1课时 分式方程的概念&第2课时 分式方程的解法&专题11 巧用分式方程的解求字母的值或取值范围-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

又全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第1课时 分 知识要点分类练学： 知识点1分式方程的概念 1.下列关于x的方程，是分式方程的是 ( A交-3=芳 5 R-=5 音+ C.龙= D.1=1-2 2+x 2有下列方程：①2x+兮=10：②x-上-2： ③、1 2x+1 -3=0:④2+1=0.其中属于分式 3 2 方程的是 ·(请填写序号) 知识点2列分式方程 3.（广东深圳期末)数学家斐波那契编写的《算经》 中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若 干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所 得钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数.设第 一次分钱的人数为x,则可列方程为 A.10、40 B.10、40 xx+6 xx-6 C.10-40 x+6 D.10-40 x-6=x 4.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器， 现在生产400台机器所需时间比原计划生产450 台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是 () A.400_450 x-50-1 B.450-400=1 x-50x C.400_450 D.450.400=5 x+1 x 5.(广东中考)某社区植树60棵，实际种植人数是 原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原 计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下列方 94 见此图标盟微信打码进人初中智意学园自自 分式方程 式方程的概念 [答案P31] 程正确的是 () A.60_60=3 B.60_60=3 x 2x 2x x G.0 2×60 x+3 D.60=2×60 x-3 能力提升综合练中： 6.新情境某校组织学生开展以“茶韵与书画”为主 题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为 4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇 子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单 价比茶具的单价便宜3元.设购买扇子的单价为 x元，则x满足的方程为 A.4000=2×3200 B.2×4000_3200 x+3 x+3 c.4000-2×320D.2×400=3200 x-3 x-3 x 7.(江西中考)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电 汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与 纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且 每百千米的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽 车每百千米的耗电费.设纯电汽车每百千米的耗 电费为x元，可列分式方程为 8.东营是一个富饶美丽的地方，是黄河入海之地.它 有中国暖温带保存最完整、最广阔、最年轻的湿地 生态系统，其中著名的黄河三角洲湿地被人们誉 为“鸟类的国际机场”.九年级(1)班的学生周末 从学校出发至黄河入海口研学，两地相距180千 米.一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一 部分学生乘快车前往，结果同时到达.已知快车的 速度是慢车速度的1.2倍，若设慢车的速度为x 千米/时，则可列方程为 第2课时 知识要点分类练学 知识点1分式方程的解法 1(广索中)方程，名32的解是 A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9 2把分式方料，24化为能式方程，方程两边 都乘 A.2x B.2x-4 C.2x(x-2) D.2x(2x-4) 3若式子 y-2+1的值为0，则y= 4.（四川成都期末)当x= 时，分式写 分式223的值互为相反数 5.解下列方程： (12x3+32=4 5 （2224。=1: (3)3x1-2=gx-3 6.观察下列解答过程： 解方程2中1=1 方程的两边都乘(x+2)(x+1), 得x(x+1)-(x+2)=1. 解得x=±√5. 第五章分式与分式方程又 分式方程的解法 [答案31] 检验：当x=±√3时，(x+2)(x+1)≠0. 所以原方程的根是x=±√3 上述解答过程是否正确？若不正确，请写出正确 的解答过程。 餐知识点2分式方程的增根 7(四川眉山期中)已知关于x的分式方程，2 3=1有增根，则k= 2- () A.-3 B.1 C.2 D.3 8者关于x的分式方程，己3+”3=1有增根，则m 的值为 能力提升综合练中： 9(木苏哈款中雪)如果关于x的分式方程十 ,产12无解，那么实数m的值是 () A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1D.m≠1且m≠-1 10.新考法对于非零实数a,b,规定a⊙6=1-1 a b 若(2x-1)④2=1，则x的值为 () A. C.1 D.2 6 11.(湖南中考)将分式方程上 ,1去分每后得到 、2 的整式方程为 () A.x+1=2x B.x+2=1 .1=2x D.x=2(x+1)》 12.(宜宾中考)分式方程1 程，2+=0的解为 见此图标器微信码进人初中智慧学园自 95 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 13.解下列方程： （0)5==+0-1: x-23x-6 (2)1+1=2x2 51 (3)2+x元- =0. 14已知方之)*5，，3g的解为y=6,求关 于x的方程3-￥十-1的解 2 3 15关于：的分式方程2+号是-1的解为正数， 求a的取值范围. 96 见此图标盟微信打码进人初中智慧学园自 16.已知关于x的分式方程--3=1. x-1 x (1)若方程的增根为x=1,求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值. 素养探究创新练中' 17.观察下面分数的规律，解决问题： 2=1-32g=334=日 (1)若n为正整数，按照上面式子的形式，请你 猜想，1 n(n+1) ,并说明理由 (2)2+23+34+4k5+5x6 1 1 1 1 ； 1,11 (3)解关于n的分式方程1×2+2x3+3x4+ 1 =n+7 'n(n+1)n+9 第五章分式与分式方程 专题11巧用分式方程的解求字母的值或取值范围[答案2] 类型1利用分式方程解的定义求字母的值 5若关于x的方程二号3+2有解，求m的取 1已知关于x的分式方程子4？与分式方程 值范围. 的解相同，求-2m的值 类型3利用分式方程有增根求字母的值 6若关于x的分式方程-+2+昌 2 1 2.若关于x的分式方程(x-1)(x+2)+x-1 mx 2 x+2有增根，求m的值。 中的解比方程2口的解大5.求m的值 7若关于x的方程)+：3,3有塔根，则端 根是多少？并求方程有增根时m的值， 类型2利用分式方程解的情况求字母的值或取值 范围 3.(光东地区中考)已知关于x的分式方程+ x-4 2k=3解为负数，则k的值为 4-x A.k<-4 B.k>-4 C.k<-4且k≠-4 3 D>-4且-青 类型4利用分式方程无解求字母的值 4若关于的方程，音二23有整数解，且-48（宁中）若关于的分式方程21 x-11-x ≤m<3,则所有满足条件的整数m的和是 无解，则a的值为 () A.2 B.3 A.-1 B.-2C.-3D.-4 C.0或2 D.-1或3 见此图标器微信码进人初中智慧学园自3分式方程 第1课时分式方程的概念 【知识要点分类练】 1.D2.②③3.A4.B5.A 【能力提升综合练】 6.A7.6000=10008.180-1=180 x+50= -2=1.2x 第2课时分式方程的解法 【知识要点分英练】 1.D2c3.04号 5.解：(1)x=1.(2)x=-6.(3)原分式方程无解。 6.解：不正确.正确的解答过程如下： 方程的两边都乘(x+2)(x+1), 得x(x+1)-(x+2)=(x+2)(x+1). 解得x=-子 4 检验：当x=-号时，(x+2)(x+1)0 所以原方程的根是x=一子 7.A[解析]去分母，得k+3=x-2.:分式方程有增根，∴x-2 =0,解得x=2.把x=2代入k+3=x-2,得k+3=2-2,解 得k=-3.故选A. 8.-2 【能力提升综合练】 9.C[解析]方程去分母，得mx-x=2(1-x),整理，得(m+ 1)x=2.原方程无解，∴.①整式方程无解，则m+1=0,解 得m=-1:②分式方程有增根，则x-1=0,解得x=1,把 x=1代入(m+1)x=2,得m+1=2,解得m=1.综上，m=1 或m=-1.故远C. 10.A【解折]由题高，得分=1，方程的两边率兔 2(2x-1),得2-(2x-1)=2(2x-1).去括号，得2-2x+ 1=4x-2.移项，得-2x-4x=-2-2-1.合并同类项，得 -6=-5.两边都除以-6，得x=各，经检验，=名是原 方程的根，所以x的位为寻 11.A[解析]原方程的两边都乘x(x+1),得x+1=2x.故选A 1.1 12.x=1[解析]x一2+文=0，方程的两边都乘x(x-2), 得x+x-2=0,解得x=1.检验：当x=1时，x(x-2)≠0， 所以原方程的根是x=1.故填x=1. 13.解：(1)方程的两边都乘3(x-2), 得3(5x-4)=4x+10-3x+6,解得x=2. 检验：当x=2时，3(x-2)=0. ∴.x=2是原方程的增根， .原分式方程无解 (2)方程的两边都乘2(x-1), 3 得2+2x-2=3,解得x=2 参考答案及解析 检验：当=2时，2(x-1)0 3 ·原方程的根为x=之 5 (3)原方程变形为x(x+)x(x-=0, 去分母，得5(x-1)-(x+1)=0. 去括号，得5x-5-x-1=0. 移项、合并同类项，得4x=6 两边都除以4，得x=2 3 检验：当x=弓时，(x+1)(x-1)0 :原方程的根为x=2 3 14解：方程产)十与÷)，3的两边都(2-9).得 1 y-(y+3)=3(y-3).解这个方程，得y=2, 经检验，y=2是原方程的根， 所以k=2,所以+3_￥+2-1， 2 3 解得x=-11. 15.解：去分母，得1-a+2=x-2,解得x=5-a. .5-a>0,.∴.a<5,而x-2≠0，即5-a-2≠0. .a≠3，故a的取值范围为a<5且a≠3. 16.解：方程整理，得(a+2)x=3. (1)因为x=1是原分式方程的增根，所以(a+2)×1=3, 解得a=1. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x-1)=0, 解得x=0或x=1. 因为x=0不可能是整式方程(a+2)x=3的根， 所以原分式方程的增根为x=1,所以(a+2)×1=3, 解得a=1. (3)①当a+2=0时，整式方程(a+2)x=3无解， 此时a=-2; ②当a+2≠0时，要使原方程无解，则x(x-1)=0. 由(2)，得a=1. 综上所述，a=-2或a=1. 【素养探究创新练】 17.解：(1)1- nn+l 理由如下： 1 _n+1-n nn+1n(n+1)n(n+1) “n中成立 2)8 1 1 (3)1x2+23+3x4+…+n _n+7 n(n+1)n+9 1n*9n=1-t31 即11n+7、 2 -n+9心n+1n+9 去分母，得n+9=2(n+1). 去括号，得n+9=2n+2. 移项、合并同类项，得n=7. ·31· 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 检验：当n=7时，(n+1)(n+9)≠0， ∴.n=7是原方程的根. 专题11巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 1解：解分式方程得3， 1 经检验，x=3是原方程的根。 将=3代人子4=，得号=号，解得m x+4x 7 所以2-2m=(-2×乡-8 2解：解分式方程2得3， 经检验，x=3是原方程的根。 ~分式方程-+2+子-中2的解比分式方程 2 是-士7的解大5， 3 六分式方程(，-+2+名中2的解为=8， +号0解得m=号 8 8A【解标营2治=3艺-3+33 x-4 12,解得x-3弘+12根据题意，得x-3张+12<0，即3张+12< 2 2 0,解得k<-4.分母x-4≠0，即x≠4，即3弘十12≠4，解 2 得≠-专<-4故选入 4.D 5.解：去分母并整理，得x+m-4=0,解得x=4-m. ·分式方程有解， .x=4-m不能为增根， ∴.4-m≠3，解得m≠1， ∴，当m≠1时，原分式方程有解. 6解：分式方程-1+2+名=中2有增限，且其 mx 化为整式方程的解为x=二5 m+1' 1名-2，解得m-6或 7.解：原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x+3)(x- 3)=0. x=3和x=-3是原方程的增根. 原方程的两边都乘(x+3)(x-3),得m+2(x-3)=x+3. 当x=3时，m+2×(3-3)=3+3,解得m=6: 当x=-3时，m+2×(-3-3)=-3+3,解得m=12. 综上所述，原方程的增根是x=3和x=-3.当x=3时，m= 6;当x=-3时，m=12. 8.D 第3课时分式方程的应用 【知识要点分类练】 1.解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉 米(x+2)筐 ·32 根据题意，得2一识解得=10， 经检验，x=10是原方程的根，且符合题意， 答：小李平均每小时掰玉米10筐。 2.解：设乙工程队每小时能改造x平方米的绿化面积，则甲工 程队每小时能改造2x平方米的绿化面积，甲工程队改造 300平方米的绿化面积所需的时间为小时，乙工程队改 造300平方米的绿化面积所需的时间为300小时 根据题意，得30_300=3，解得x=50. x 2x 检验：当x=50时，2x≠0， ∴.原方程的根为x=50. 答：乙工程队每小时能改造50平方米的绿化面积。 3.解：设B车的行驶时间为xh, 则A车的行驶时间为(1+40%)xh, B车的平均速度为四kn, 700 A车的平均速度为1+40%)xkm/h 根据题意，得700、700 x(1+40%)x=80, 解得x=2.5.检验：当x=2.5时，(1+40%)x≠0， ∴.原方程的根为x=2.5, .(1+40%)x=3.5. 答：B车的行驶时间为2.5h,A车的行驶时间为3.5h 4.解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元 依题窟，相920-70=5， 解得x=150, 经检验，x=150是原方程的根，且符合题意， .∴.1.2x=1.2×150=180. 答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元. 【能力提升综合练】 5.解：(1)设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为 3x元. 依题意，得0+1275.60-25 3x 解得x=15, 经检验，x=15是原方程的根，且符合题意， ∴.4x=60.3x=45. 答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元. (2)设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件， 依题意，得60m+45n=1275,÷.n-85,4m 3 ,·m,n均为正整数，且4≤m≤10， 18 ∴.共有3种购买方案， 方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品； 方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品； 方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品，