第一章 3 第2课时 直角三角形全等的判定-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

全程导练·数学·北师版·八年级·下册 的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，捕捉到昆 虫甲需x8, 易知AF=xcm,C1F=xcm. AB=BC =6 cm,AA1 =14 cm, .'.AC=12 cm,CF=(14-x)cm. AF2 =AC2 +CF2, 2=12+(14-x)2,解得x= 71 “昆虫乙至少需要。才能辅捉到昆虫甲 A C E--- A B C 16题答图 第2课时直角三角形全等的判定 【知识要点分类练】 1.A 2.AC=DE 3.解：CB=DA.理由：由题意易知AC=BD. ·CB⊥AB,DA⊥AB, ∴.∠DAB=∠CBA=90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， [BD=AC, AB=BA. ∴.Rt△DAB≌Rt△CBA(HL),.DA=CB. 4.D 5.(答案不唯-)(1)BP=DP SAS (2)AB=CD HL (3)∠A=∠CASA (4)∠B=∠DAAS 6.B7.B 8.69.①②③④ 10.证明：AC⊥BD,EF⊥BD, .∠ACB=90°，∠EFD=90. CD=BF,..CD+CF=BF CF, .'DF=BC. 在Rt△ABC和Rt△EDF中， 「AB=ED, BC=DF, .∴.Rt△ABC≌Rt△EDF(HL), .∠B=∠D,.AB∥DE. 【能力提升综合练】 11.55°12.5cm或10cm 13.证明：AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形 ABE的高， .∴.∠D=∠F=90 在RL△ADC和RL△AFE中， …6… TAC =AE, LAD =AF, ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴CD=EF. 在Rt△ABD和Rt△ABF中， 「AB=AB, AD=AF, ∴.Rt△ABD≌Rt△ABF(HL), ∴.BD=BF, ∴BD-CD=BF-EF, 即BC=BE. 14.证明：(1)AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC, .∴.DE=DC 在RL△CFD和Rt△EBD中， [DF=DB, CD =ED. ∴.Rt△CFD≌Rt△EBD(HL), .CF=EB. (2)由(1)知CF=EB. .AD平分∠CAB, ∴.∠CAD=∠EAD 又，∠C=∠AED=90°，AD=AD, ..△ACD≌△AED, .AC=AE. .AB=AE EB=AC EB=AF FC+EB=AF +2EB. 【素养探究创新练】 15.解：李乐的说法正确.理由如下：如答图，在△ABC和 △DEF中，AB>AC,ED>DF,AB=DE,AC=DF,∠ACB= ∠DFE,过点A作AG垂直BC的延长线于点G,过点D作 DH垂直EF的延长线于点H. G E 15题答图 ·∠ACB=∠DFE, ∴.∠ACG=∠DFH. 在△ACG和△DFH中， r∠G=∠H=90°， ∠ACG=∠DFH, LAC DF, ∴.△ACG≌△DFH(AAS), .AG=DH. 在Rt△ABG和Rt△DEH中， [AB=DE, AG=DH, ∴.Rt△ABG≌Rt△DEH(HL), .∠B=∠E 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, ∠ACB=∠DFE, LAB=DE. ∴.△ABC≌△DEF(AAS) 当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似， .李乐的说法正确. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 【知识要点分类练】 1.B2.C3.A4.D 5.证明：DE垂直平分AC,DF垂直平分BA, .∴.DC=DA,DB=DA, ∴.DB=DC. 6.证明：点P在AB的垂直平分线上， ∴.PA=PB. 又点P在BC的垂直平分线上， ∴.PB=PC， ∴，PA=PC, ∴.点P在AC的垂直平分线上 7.证明：在△BPQ和△CQR中， BP=CQ, LB=∠C, LBO=CR, .△BPQ≌△CQR(SAS), .PQ=OR, ∴.点Q在线段PR的垂直平分线上 【能力提升综合练】 8.D9.B 10.4-23[解析]DE是AB的垂直平分线，.AE=BE. 在△AEC中，∠ACE=90°，∠AEC=30°，AE=2AC,∴CE =AE2 AC2 =3AC..BC BE CE=2,..2AC +3AC =2,.AC=4-25故答案为4-25， 11.10 12.(1)证明：.·PB⊥AB,PC⊥AC ∴.∠ABP=∠ACP=90°. 在Rt△ABP和Rt△ACP中， [AP=AP, LAB=AC. ∴.RL△ABP≌Rt△ACP(HL),.BP=CP, ·.点P在BC的垂直平分线上. .AB=AC,∴.点A在BC的垂直平分线上， .AP垂直平分BC. (2)解：AP=5,AB=4,∠ABP=90°， .PB=√JAP2-AB2=3. 由(1)知Rt△ABP≌Rt△ACP,∴.S△ABP=S△ACP, .四边形ABPC的面积=2S△ABP, 7P:BC=2x2AB·B即， 参考答案及解析 2×5BC=4×3,BC=24 1 1 【素养探究创新练】 13.解：(1)20(2)35(3)60 (4)猜想：∠MB=子∠A 证明：，AB=AC, LB=∠4CB=7(180-L)=90-7LA :MN⊥AB,∴.∠MNB=90° ∠NMB=90-(90-2LA）-号∠A 第2课时 三角形三边的垂直平分线 【知识要点分类练】 1.C2.B 3.解：如答图，BH即为所求 B C 3题答图 4.C5.B6.D 7.解：(1)点P在BC的垂直平分线上.理由： 如答图，连接AP. l1是AB边的垂直平分线，∴.PA=PB, 2是AC边的垂直平分线， ∴.PA=PC,.PB=PC ∴点P在BC的垂直平分线上 2 B 7题答图 (2).∠BAC=100°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-100°=80°. L1是AB边的垂直平分线，l2是AC边的垂直平分线， ∴.DA=DB,EA=EC ∴，∠BAD=∠ABC,LEAC=∠ACB, .∠BAD+∠EAC=80°， .∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°-80°=20°. 【能力提升综合练】 8.A9.22.5或67.5° 10.解：(1)如答图所示，点P即为所求.(2)30° 10题答图 .7全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第2课时 直角 知识要点分类练学： 知识点1用“HL”判定两个直角三角形全等 1.如图，P为∠CAB内一点，且点P到AB,AC的距 离PE=PF,则直接判断△PEA≌△PFA的理由是 A.HL B.SSS C.ASA D.AAS B 1题图 2题图 2.如图，已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE.若直接用 “HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条 件是」 3.如图，小明和小芳以相同的速度分别从A,B同时 出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到 达C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB与DA相等 吗？为什么？ 3题图 餐知识点2用其他方法判定两个直角三角形全等 4.小明在学习了直角三角形全等后，总结了满足以 下条件的两个直角三角形全等，你认为不正确的 是 A.斜边和一条直角边对应相等 B.两条直角边对应相等 C.一个锐角和斜边对应相等 D.两个锐角对应相等 5.新考向如图，已知AC1BD于点P,AP=CP,请 增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅 助线). 5题图 (1)添加条件 ,依据是 (2)添加条件 ,依据是 (3)添加条件 ,依据是 (4)添加条件 ,依据是 16 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 角形全等的判定 [答案P6] 知识点3直角三角形全等的判定(HL)与性质的 应用 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE⊥BC,AC =EC.若∠ACB=60°，则∠ACD= A.45° B.30° C.20° D.15° E D B∠ E 6题图 7题图 7.如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上.已知 左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC与 ∠DFE的度数和是 A.60° B.90° C.120°D.180° 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D,交 AC于点E.若BC=BD,AE=4,ED=2,则AC= DB 8题图 9题图 9.如图，在△ABC和△DEC中，∠C=90°，AB= DE,AC=DC,下列结论：①∠A=∠D;②∠A+ ∠DEC=90°；③AE=DB;④OA=OD.正确的是 ·（请填写序号) 10.如图，D,C,F,B四点在一条直线上，AB=DE, AC⊥BD,EF⊥BD,垂足分别为C,F,CD=BF.求 证：AB∥DE. C入 10题图 能力提升综合练学： 11.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E,DF⊥BC 交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD= 145°，则∠B的度数为 C P 11题图 12题图 12.如图，有一直角三角形ABC,∠C=90°，AC= 10cm,BC=5cm.一条线段PQ=AB,P,Q两点 分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线 AQ上运动，当AP= 时，△ABC和 △APQ全等 13.如图，已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝 角三角形ABE的高，如果AD=AF,AC=AE,求 证：BC=BE. 13题图 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平 分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD=DF. 证明： (1)CF=EB; (2)AB=AF +2EB. ch 14题图 第一章三角形的证明及其应用又 素养探究创新练尊： 15.如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一 起，摆出△ABC,固定住长木棍，转动短木棍，得 到△ABD,这个实验说明了什么？图中△ABC与 △ABD满足两边和其中一边的对角分别相等， 即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与 △ABD不全等.这说明，有两边和其中一边的对 角分别相等的两个三角形不一定全等.李乐通过 对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这 两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等， 请你判断李乐的说法是否正确。 D 15题图 见此图标器微信码：进人初中智慧学园自 17