23.1 多边形（第2课时 多边形的外角和）（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦“多边形的外角和”，通过复习四边形、五边形内角和及内角和公式，结合三角形外角和证明引入新知，搭建从已知内角和到探究外角和的学习支架，引导学生逐步理解外角定义与外角和定理。 其亮点在于以生活实例（冰裂纹窗格、跑步路线）培养数学眼光，通过从三角形到n边形的逻辑推导发展数学思维，借助方程思想和综合应用提升数学语言表达。小结系统梳理知识，助力学生构建体系，教师可高效开展教学。

23.1 多边形（2） 多边形的外角和十 第二十三章 四边形 学 习 目 标 1 2 3 理解多边形外角、多边形外角和的定义，知晓多边形外角和中“每个顶点只取一个外角”的规则； 理解多边形外角和定理——任意多边形外角和等于360°，明确该性质与多边形边数无关，适用于所有多边形 能运用多边形外角和性质，解决简单的几何问题，以及结合内角和知识综合解决问题. 复习引入 1. 四边形的内角和是__________; 2. 从五边形的一个顶点出发可以引_____条对角线，将五边形分成____个三角形，所以五边形的内角和是__________________； 3. 一个多边形的内角和是1080，那么这个多边形是______边形； 4. 我们在七年级学过三角形的外角和是360，那么四边形呢？五边形？ 5.一个多边形每个内角能都是80吗？为什么？ 360 2 3 (5-2)×180=540 8 答案：360 答案：不能. 第4题、第5题的具体过程等学完本节课再来解答. 复习引入 　　对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫作三角形的外角和。三角形的外角和等于360°，这个结果是怎样得到的？ 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，求证：∠1+∠2+∠3=360° 证明：∵∠1+∠BAC=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠ACB=180°, ∴∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠ACB=3×180°=540°. 又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠1+∠2+∠3+180°=540°, ∴∠1+∠2+∠3=360°. 多边形的外角 新知探究 1.定义：多边形内角的一边的___________与 __________所组成的角叫作多边形的外角. 2.思考：如图，五边形ABCDE中，∠EAB的外角有 _______、_____； ∠MAN是不是五边形的一个外角？为什么？ 总结：多边形与同一个内角相邻的外角有两个，这两个角为对顶角，它们相等. 延长线 另一边 ∠EAN ∠1 ∠MAN不是五边形的外角，因为它是两条延长线的夹角. 五边形的外角和 新知探究 1.对多边形的每个内角，从与它相邻的两个外角中任取_____个，这样得到的所有外角的和，叫作_____________________. 答：360.因为一个外角加上它的相邻的内角,和是180 1 多边形的外角和 五个外角加上五个内角,和就是_______ 900 又因为，五边形的内角和是_______________ (5-2)×180540， 所以,五边形的外角和就是____________. 900-540=360 2.五边形的五个外角和是多少度？ n边形的外角和是多少呢？ 新知探究 解：因为多边形的任意一个外角与同它相邻的内角______， 总结：多边形的外角和不随着边数的变化而变化，是一个常数. (n-2)·180° 360° 多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360° 互补 即它们的和等于180°, 所以n边形的外角和加内角和等于_________, n·180° 于是n边形的外角和等于:________________________ n·180°减去n边形的内角和， 即:n·180°-_____________=________, 典例分析 例1 如果一个多边形的每个外角都是72°，那么这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形是n边形.根据题意， 知识加油站：各边相等，各角都相等的多边形叫作正多边形，如等边三角形、正方形都是正多边形.那么例1中的五边形是正多边形吗？ 答：不能确定.如右图，将一个正五边形的两边延长相等的长度，得到一个新的五边形虽然各角都相等，但各边却不都相等，所以每个外角都是72°的五边形不能确定是正五边形. 得 n·72°=360°. 解得n=5. 所以，这个多边形是五边形. 讨论交流 复习引入时，一个多边形的每个内角可能都是80吗？为什么？ 答：不可能，因为如果多边形的每个内角都是80时，它的外角就都是100，而多边形的外角和360不能被100整除，所以每个内角不可能都是80. 这道题可以单纯地用多边形的内角和公式来说理吗？ 可以：设多边形边数为n，则由题意得n·80=(n-2)·180 解之得，n=3.6 因为3.6不是整数，所以不存在一个多边形的每个内角都是80. 典例分析 例2 已知一个多边形的内角和是外角和的6倍，问这个多边形是几边形？ 用方程思想计算 解：设这个多边形是n边形.则内角和是（n-2）·180° 根据题意，得 （n-2）·180°=6×360°. 解得n=14. 所以，这个多边形是十四边形. 巩固新知 1.如果一个多边形的外角和与内角和相等，那么这个多边形是几边形？ 2.如果一个多边形的每一个外角都是20，那么它的内角和是多少？ 解：1.由题意可知多边形的内角和为360，所以这是一个四边形. 2.因为每个外角都是20，所以多边形的边数为18，且每个内角为160. 因为160×18=2880,所以这个多边形的内角和为2880. 拓展提升 外角和的实际应用 例3 如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”． 图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是这个五边形的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为________°． 360 解：因为多边形的外角和是360，所以答案为360. 拓展提升 外角和的实际应用 例4 如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转40，再前进10米后再向右转40，这样一直跑下去，他惊奇的发现，右转若干次后他竟然回到出发点，请问小明一共做了_______米． 90 解：因为多边形的外角和是360，360÷40=9,10×9=90(米) 所以答案为90米. 拓展提升 内角和、外角和的综合应用 例5 如图，五边形ABCDE的一个内角∠A=110，则 ∠1+∠2+∠3+∠4=_________． ． 290 解：因为多边形的外角和是360，360-(180-110=290 所以答案为290. 新知巩固 内角和、外角和的综合应用 变式练习: 根据图形填空, ． 270 解：因为多边形的外角和是360，360-90=270 所以答案为270. 拓展提升 最多几个钝角？ 例6 四边形的四个外角中最多有钝角（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【详解】解：假设四个外角均为钝角 ∵四边形的外内角和为360°， ∴外角和大于360°，这与多边形外角和定理矛盾， ∴最多有三个外角为钝角． 新知巩固 最多几个锐角？ 变式练习: 在一个多边形中，它的内角最多可以有_____个锐角． 【答案】3 【详解】∵任意多边形的外角和是360度， ∴在任意多边形的外角中，最多有3个钝角 ∴内角中，最多有3个锐角； 故答案为：3． 当场反馈 1.在一个多边形中，每个外角都是45，则边数是多少？ 2.如果一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数是多少？ 3.小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从A点出发，沿直线走6米后向左转x，接着沿直线前进6米后，再向左转x，如此下去……，当他重新回到A点时，发现自己走了72米，则x的度数为_______． 【答案】(1)8;(2)12;(3)30. 考试链接 1.（24-25·上海嘉定·期末）如果正多边形的每一个外角都是60，那么这个正多边形的边数为________ ． 2．（2025·上海·模拟预测）关于多边形，下列说法中正确的是（　　） A．过七边形一个顶点引对角线可以将其分割为6个三角形 B．凸多边形的外角和随着边数增加而增加 C．凸多边形若各边都相等则一定为正多边形 D．凸多边形的内角和不一定大于它的外角和 【答案】(1)6;(2)D. 课堂小结 多边形的外角和 多边形外角的定义 多边形外角和定理 多边形外角和定理的应用 感谢聆听！ $